浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编专题20：压轴题

- 1 - 浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）

专题20：压轴题

1. （2015年浙江杭州3分）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数

()20y d x e d =+≠的图象交于点1(0)x ，

，若函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，则【 】 A. 12

()a x x d -= B. 21()a x x d -= C. 212()a x x d -= D. ()2

12a x x d += 【答案】B.

【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵一次函数()20y dx e d =+≠的图象经过点1(0)x ，

， ∴110dx e e dx =+?=-.∴()211y dx dx d x x =-=-.

∴()()[]2112112()()()y y y a x x x x d x x x x a x x d =+=--+-=--+.

又∵二次函数11212()()(0)y a x x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数()20y dx e d =+≠的图象交于

点1(0)x ，

，函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点， ∴函数21y y y =+是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即()2211y y y a x x =+=-.

∴()[]()()212121()()x x a x x d a x x a x x d a x x --+=-?-+=-..

令1x x =，得()1211()a x x d a x x -+=-，即1221()0()0a x x d a x x d -+=?--=.

故选B.

2. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数1y x

= (x <0)图象上一点，AO 的延长线交函数2

k y x

=（x >0，k 是不等于0的常数)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接CC ′，交x 轴于点B ，连结AB ，AA ′，A ′C ′，若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于【 】

- 2 -

A.8

B.10

C.310

D.46

【答案】B.

【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；特殊元素法和转换思想的应用.

【分析】如答图，连接A ′C ，

∵点A 是函数1y x

= (x <0)图象上一点，∴不妨取点A ()1,1-- . ∴直线AB ：y x =.

∵点C 在直线AB 上，∴设点C (),x x .

∵△ABC 的面积等于6，∴()1162x x ??+=，解得123,4x x ==- （舍去）.

∴点C ()3,3 .

∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，

∴点A ′()1,1- ，点C ′()3,3- .

∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于'''1124621022

AA C CA C S S ??+=

??+??=. 故选B.

3. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b ， 0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<12x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62. 其中真命题的序号是

【 】

- 3 -

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

【答案】C.

【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.

【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：

①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；

②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为212

x =-

=-，点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-，则3b =，故命题“若1a =-，则4b =”不是真命题； ③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<12x x +，∴211>1x x --，

又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<12x x +，则12>y y ” 是真命题；

④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，

连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为

使四边形EDFG 周长最小的点.

∵2m =，

∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.

∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.

∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ，点P 的坐标为（2，4）. ∴2222112,3758DE MN =+==+= .

∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.

故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形

EDFG 周长的最小值为62” 不是真命题.

- 4 - 综上所述，真命题的序号是③.

故选C.

4. （2015年浙江金华3分）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH

的值是【 】

A. 26

B. 2

C. 3

D. 2

【答案】C.

【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.

【分析】如答图，连接AC,EC ，AC 与EF 交于点M .

则根据对称性质，AC 经过圆心O ，

∴AC 垂直 平分EF ，01EAC FAC EAF 302∠=∠=∠=.

不妨设正方形ABCD 的边长为2，则AC 22=.

∵AC 是⊙O 的直径，∴0AEC 90∠=.

在Rt ACE ?中，3AE AC cos EAC 2262

=?∠=?=， 1CE AC sin EAC 2222

=?∠=?=. 在Rt MCE ?中，∵0FEC FAC 30∠=∠=，∴12CM CE sin EAC 222

=?∠=?

=. 易知GCH ?是等腰直角三角形，∴GF 2CM 2==.

又∵A EF ?是等边三角形，∴EF AE 6==. ∴EF 63GH 2

==

.

- 5 - 故选C.

5. （2015年浙江丽水3分）如图，在方格纸中，线段a ，b ，c ，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线

段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有【

】

A. 3种

B. 6种

C. 8种

D. 12种

【答案】B ．

【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用.

【分析】由图示，根据勾股定理可得：2,5,25,5a b c d ==== .

∵<,<,,<

∴根据三角形构成条件，只有,,a b d 三条线段首尾相接能组成三角形.

如答图所示，通过平移,,a b d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.

故选B ．

6. （2015年浙江宁波4分） 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为【 】

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ①②③

【答案】A.

- 6 - 【考点】多元方程组的应用（几何问题）.

【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为2l ，①的长和宽分别为,a b ，②③的边长分别为,c d .

根据题意，得2a c d c b d a b c l =+??=+??++=?

①②③，

-①②，得2a c c b a b c -=-?+=，

将2a b c +=代入③，得1

422

c l c l =?=（定值）， 将122c l =代入2a b c +=，得()122a b l a b l +=?+=（定值）， 而由已列方程组得不到

d .

∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.

故选A.

7. （2015年浙江衢州3分）如图，已知等腰,ABC AB BC ?= ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的O e 的切线交BC 于点E ，若5,4CD CE == ，则O e 的半径是【 】

A. 3

B. 4

C.

256 D. 258 【答案】D ．

【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．

【分析】如答图，连接OD ，过点B 作BF OD ⊥于点F ，

∵AB BC =，∴A C ∠=∠.

∵AO DO =，∴A ADO ∠=∠.∴C ADO ∠=∠.∴//OD BC .

∵DE 是O e 的切线，∴DE OD ⊥.∴DE BC ⊥

.

- 7 - ∴90CED ∠=?，且四边形DEBF 是矩形.

∵5,4CD CE == ，∴由勾股定理，得3DE =.

设O e 的半径是x ，

则(),3,244OB x BF OF x BE x x x ===-=--=- .

∴由勾股定理，得222OB OF BF =+，即()2

2234x x =+-， 解得258

x =. ∴O e 的半径是

258

. 故选D ． 8. （2015年浙江绍兴4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【 】

A. ②号棒

B. ⑦号棒

C. ⑧号棒

D. ⑩号棒

【答案】D.

【考点】探索规律题（图形变化类）.

【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.

9. （2015年浙江台州4分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是【 】

A.若甲对，则乙对

B.若乙对，则甲对

C.若乙错，则甲错

D.若甲粗，则乙对

【答案】B.

【考点】逻辑判断推理题型问题；真假命题的判定.

- 8 - 【分析】针对逻辑判断问题逐一分析作出判断：

A.若甲对，即只参加一项的人数大于14人，等价于等于15或16或17或18或19人，则两项都参加的人数为5或4或3或2或1人，故乙不对；

B.若乙对，即两项都参加的人数小于5人，等价于等于4或3或2或1人，则只参加一项的人数为等于16或17或18或19人，故甲对；

C.若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对可能错；

D.若甲粗，即只参加一项的人数\小于或等于14人，则两项都参加的人数大于或等于6人，故乙错. 综上所述，四个命题中，其中真命题是“若乙对，则甲对”.

故选B.

10. （2015年浙江温州4分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为

边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，??AC BC

，的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长是【 】

A. 29

B.

7

90 C. 13 D. 16 【答案】C.

【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；

方程思想、转换思想和整体思想的应用.

【分析】如答图，连接OP 、OQ ， ∵DE ，FG ，??AC BC

，的中点分别是M ，N ，P ，Q ， ∴点O 、P 、M 三点共线，点O 、Q 、N 三点共线.

∵ACDE ，BCFG 是正方形，

- 9 - ∴AE=CD=AC ，BG=CF=BC.

设AB=2r ，则,OM MP r ON NQ r =+=+ .

∵点O 、M 分别是AB 、ED 的中点，

∴OM 是梯形ABDE 的中位线. ∴()()()1112222OM AE BD AE CD BC AC BC =

+=++=+，即()122

MP r AC BC +=+. 同理，得()122

NQ r BC AC +=+. 两式相加，得()322

MP NQ r AC BC ++=+ .∵MP+NQ=14，AC+BC=18，∴3142182132r r +=??=. 故选C.

11. （2015年浙江义乌3分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【 】

A. ②号棒

B. ⑦号棒

C. ⑧号棒

D. ⑩号棒

【答案】D.

【考点】探索规律题（图形变化类）.

【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.

12. （2015年浙江舟山3分） 如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b ， 0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<12x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为62. 其中真命题的序号

- 10 - 是【 】

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

【答案】C.

【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.

【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：

①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；

②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为212

x =-

=-，点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-，则3b =，故命题“若1a =-，则4b =”不是真命题； ③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<12x x +，∴211>1x x --，

又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<12x x +，则12>y y ” 是真命题；

④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，

连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为

使四边形EDFG 周长最小的点.

∵2m =，

∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.

∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.

∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ，点P 的坐标为（2，4）. ∴2222112,3758DE MN =+==+= .

∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为258DE MN +=+.

故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =

时，四边形

- 11 - EDFG 周长的最小值为62” 不是真命题.

综上所述，真命题的序号是③.

故选

C.

1. （2015年浙江杭州4分）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD = ▲

【答案】23+或423+.

【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.

【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C=30°.

如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平

行四边形：

如答图1，剪痕BM 、BN ，过点N 作NH ⊥BM 于点H ，

易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°.

设BN =DN =x ，则NH =12

x . 根据题意，得1222x x x ?=?=，∴BN =DN =2， NH =1.

易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ?中，CN =3.

∴CD =23+.

如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，

易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°.

设BC =CE =x ，则BH =12

x

.

- 12 - 根据题意，得1222x x x ?=?=，∴BC =CE =2， BH =1.

在Rt BCH ?中，CH =3，∴EH =23-.

易证BCD EHB ??∽，∴CD BC HB EH =，即2123

CD =-. ∴()()()223

4232323CD +==+-+.

综上所述，CD =23+或423+.

2. （2015年浙江湖州4分）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推?，若A 1C 1=2，且点A ，D 2， D 3，?，D 10都在同一直线上，则正方形A

9C 9C 10D 10的边长是 ▲

【答案】8

732

. 【考点】探索规律题（图形的变化）；正方形的性质；相似三角形的判定和性质.

【分析】如答图，设AD 10与A 1C 1相交于点E ，

则121AD E D A E ??∽，∴11211AD D E D A A E

=. 设1A E x =，

∵AD 1=1，A 1C 1=2，∴2112,1D A D E x ==- .

∴11223

x x x -=?=. 易得21322D A E D A D ??∽，∴

2113222D A A E D A A D =. 设32D A y =，则222A D y =-，∴2

2332

y y y =?=-即213232

22332C C D A --===.

- 13 - 同理可得，3141

4354324233,,22

C C C C ----==??? ∴正方形A 9C 9C 10

D 10的边长是918

1099273322

C C --==. 3. （2015年浙江嘉兴5分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）.

（1）当14

m =

时，n = ▲ ； （2）随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为 ▲

【答案】（1）1-；（2）233

. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.

【分析】（1）当14

m =时，090APM ∠=，∴045NAO ∠=. ∵A （0，1），∴1ON OA ==.∴1n =-.

（2）∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，

∴当m 从1

3变化到23

时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°. ∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径

起点和终点关于y 轴对称.

∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=.

∵点A （0，1），即OA =1，∴1

33

3ON ==. ∴当m 从1

3变化到23

时，点N 相应移动的路径长为323233?=. 4. （2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B

，

- 14 - C 在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD".

（1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲

（2）若AB ：BC=1：4，则tan ∠CAD 的值是 ▲

【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）815

. 【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.

【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD 变形为不稳定四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.

（2）∵AB ：BC=1：4，∴设AB x,CD y == ，则BC 4x,AC 5x == .

由旋转的性质知BC"BC 4x,AC"3x,C"D"y === = ，

∴AD AD"AC"C"D"3x y ==+=+.

在Rt ACD ?中，根据勾股定理得222AD AC CD =+，

∴()()2228

3x y 5x y y x 3

+=+?=. ∴8x CD y 83tan CAD AD 5x 5x 15

∠====. 5. （2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数x

k y =的图象经过点（-1，22-），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP .

（1）k 的值为 ▲ .

（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ▲ .

- 15 -

【答案】（1）22k = ；（2）（2，2-）.

【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.

【分析】（1）∵反比例函数k y x =

的图象经过点（-1，22-）， ∴22221

k k -=?=-. （2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x

轴于点N ， 设22,A x x ?

? ? ??? ，则22,B x x ??- ? ??

? -. ∴2282AB x x =+

. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴2282BC AC x x ??==+ ??

?，∠BAC =45°. ∵BP 平分∠ABC ，∴()BPM BPC AAS ??≌.∴2282BM BC x x ??==+ ??

?. ∴()22822AM AB BM x x =-=-+.∴()22

822PM AM x x ==-+. 又∵228OB x x =+，∴()22

821OM BM OB x x =-=-+. 易证OBN OPM ??∽，∴ON BN OB OM PM OP

==

.

- 16 - 由ON BN OM PM =得，()()

()222222882122x x x x x x ??-- ?--??=-+-+， 解得2x =. ∴()2,2A ，(

)2,2B - -. 如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，

过B 点作BE ⊥EF 于点E ，

易知，()BCE CAF HL ??≌，∴设CE AF y ==.

又∵23,22BC BE y ==+ ，

∴根据勾股定理，得222BC BE CE =+，即()()2222322y y =++. ∴22220y y +-=，解得22y =-或22y =+（舍去）. ∴由()2,2A ，()2,2B - -可得()2,2C -. 6. （2015年浙江宁波4分）如图，已知点A ，C 在反比例函数)0(>=

a x a y 的图象上，点B ，D 在反比例函数)0(<=

b x

b y 的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB =3，CD =2，AB 与CD 的距离为5，则b a -的值是 ▲ 【答案】6.

【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；特殊元素法和方程思想的的应用

【分析】不妨取点C 的横坐标为1，

∵点C 在反比例函数(0)a y a x

=>的图象上，∴点C 的坐标为()1,a . ∵CD ∥x 轴，CD 在x 轴的两侧，CD =2，∴点D 的横坐标为1-. ∵点D 在反比例函数(0)b

y b x =<的图象上，∴点D 的坐标为()1,b -- .

∵AB ∥CD ∥x 轴，AB 与CD 的距离为5，∴点A 的纵坐标为5b --.

∵点A 在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，∴点A 的坐标为,55a b b ??--- ?+?? . ∵AB ∥x 轴，AB 在x 轴的两侧，AB =3，∴点B 的横坐标为3

15355a b a b b +--

+=++.

- 17 - ∵点B 在反比例函数(0)b y b x =<的图象上，∴点B 的坐标为23155,5

315b a b b b b a ??+-+ ?++-?? . ∴225554155315a b b b b b b b b b a =-?+??--=?++--=?+-?

. ∵50b +≠，∴4153b b b --=?=-. ∴3a =.

∴6a b -=.

7. （2015年浙江衢州4分）如图，已知直线334

y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334

y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是 ▲

.

【答案】4或1-或425+或425-.

【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．

【分析】根据题意，设点P 的坐标为21,252a a a ??-

++ ??? ，则Q 3,34a a ??-+ ??? . 在334

y x =-+令0x =得3y =．∴()0,3B . ∵PQ BQ = ∴2

2213325333244a a a a a ????-++--+=+-+- ? ?????，即221185a a a -++=. 由221185a a a -++=解得4a =或1a =-.

- 18 - 由221185a a a -++=-解得425a =+或425a =-.

综上所述，a 的值是4或1-或425+或425-.

8. （2015年浙江绍兴5分） 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升6

5cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是

0.5cm. 【答案】35或3320或17140

【考点】方程思想和分类思想的应用 【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升

56cm ， ∴注水1分钟，甲、丙的水位上升103

cm. 设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.

甲与乙的水位高度之差0.5cm 时有三种情况： ①乙的水位低于甲的水位时，有5310.565

-=?=t t （分钟）. ②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时， ∵

5910.565-=?=t t （分钟），1096>535

?=，∴此时丙容器已向甲容器溢水. ∵103532÷=（分钟），535624?=（cm ），即经过32分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升54

cm ， ∴55333210.546220

??+?--=?= ???t t （分钟）. ③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底端的时间为35515522464

??+-÷÷= ???（分钟），

- 19 - ∴10151715120.53440

??--?-=?= ???t t （分钟）. 综上所述，开始注入

35或3320或17140分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 9. （2015年浙江台州5分）如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为 ▲

【答案】212

-. 【考点】面动旋转问题；正方形和正六边形的性质；数形结合思想的应用. 【分析】如答图，当这个正六边形的中心与点O 重合，两个对点刚好在正方形两边中点，这个六边形的边长最大，此时，这个六边形的边长为12

. 当顶点E 刚好在正方形对角线AC 的AO 一侧时，AE 的值最小，最小值为

2121OA OE 222

--=-=.

10. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成

- 20 - （不重叠，无缝隙）. 图乙中，7

6=BC AB ，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 ▲

cm

【答案】503

. 【考点】菱形和平行四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用.

【分析】如答图，连接MN 、PQ ，设MN=2x ，PQ=2y ， ∵67

AB BC =，∴可设AB=()6>0k k ，BC=7k . ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54， ∴272354672

x k k k k +??+=?，即()22735442x k k k +?+=①. ∵四边形DEMN 、AFMN 是平行四边形，∴DE=AF=MN=2x .∵EF=4，∴447x k +=，即7422k x -=

②. 将②代入①得，2747354422k k k k -??+?+= ???

，化简，得274360k k +-=. 解得12182,7

k k ==- （舍去）. ∴AB=12，BC=14，MN=5，52x =

. 易证△MCD ∽△MPQ ，∴145

122522

y -=，解得103

y =. ∴PM=222510025496

x y +=+=. ∴菱形MPNQ 的周长为2550463

?=

- 21 - 11. （2015年浙江义乌4分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升6

5cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是

0.5cm. 【答案】35或3320或17140

【考点】方程思想和分类思想的应用 【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升

56cm ， ∴注水1分钟，甲、丙的水位上升103

cm. 设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.

甲与乙的水位高度之差0.5cm 时有三种情况： ①乙的水位低于甲的水位时，有5310.565

-=?=t t （分钟）. ②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时， ∵

5910.565-=?=t t （分钟），1096>535

?=，∴此时丙容器已向甲容器溢水. ∵103532÷=（分钟），535624?=（cm ），即经过32分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升54

cm ， ∴55333210.546220

??+?--=?= ???t t （分钟）. ③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底端的时间为35515522464

??+-÷÷= ???（分钟）， ∴10151715120.53440

??--?-=?= ???t t （分钟）. 综上所述，开始注入35或3320或17140

分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.

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