基于奇异值分解的内模控制方法及在非方系统中的应用

第37卷第3期2011年3月

自动化学报ACTAAUTOMATICASINICA

Vol.37,No.3March,2011

基于奇异值分解的内模控制方法及在非方系统中的应用

靳其兵1,2

刘斯文2

权玲1,2

曹丽婷1,2

摘要针对复杂工业生产过程中常常出现的输入与输出变量数目不相等的非方系统,首次提出一种基于奇异值分解(Singularvaluedecomposition,SVD)的内模控制(Internalmodelcontrol,IMC)新方法.该方法通过添加补偿项实现对非方系统的解耦并消除不可实现因素,并应用SVD矩阵理论设计一种非对角型滤波器,使控制系统不仅具备良好的高维解耦能力和响应速度快的优点,而且因设置新型滤波结构而具备极强的鲁棒性.仿真结果表明了这种方法的有效性和可靠性.关键词DOI

非方系统,内模控制,解耦,奇异值分解10.3724/SP.J.1004.2011.00354

InternalModelControlBasedonSingularValueDecompositionandIts

ApplicationtoNon-squareProcesses

JINQi-Bing1,2

LIUSi-Wen2

QUANLing1,2

CAOLi-Ting1,2

AbstractAnovelinternalmodelcontrol(IMC)methodbasedonsingularvaluedecomposition(SVD)isproposedforthenon-squareprocessesofwhichtheinputnumbersdonotequaltheoutputnumbersincomplicatedindustrialmanufacturingprocesses.Themethodcanrealizedecouplingofnon-squareprocessesanderadicatingunrealizablefactorsbyinsertingcompensatedterms.Meanwhile,anondiagonal lterisdesignedonthebasisofSVDmatrixtheory,whichmakescontrolsystemnotonlybearthecapacityofhigh-dimensionaldecouplingandfastresponse,butalsohavestrongrobustnessduetothenovel lteringstructure.Simulationresultshaveprovedthee ectivenessandreliabilityoftheproposedmethod.Keywords

Non-squareprocesses,internalmodelcontrol(IMC),decoupling,singularvaluedecomposition(SVD)

当前多变量系统内模控制理论已经相当成熟[1].但在有些大规模工业生产过程中,往往存在输入变量与输出变量数目不相等的情况,即非方系统,例如三阶分裂蒸馏塔模型[2]和某些化学反应器.一段时间以来,非方系统的控制方法主要是在系统矩阵中增加或者删除适当数目的输入或输出变量使其转化为方形系统而实现的.文献[3]指出,通过增加或移除变量使非方系统变为方形系统会使系统因信息缺失而表现出很差的性能.而且,对于大多数非方系统,其对于模型失配极为敏感,此时,运用传统的调节滤波器参数的方法很难获得令人满意的鲁棒稳定性[4].本文针对复杂工业生产过程中常常出现的非方系统,首次提出一种基于奇异值分解(Singularvaluedecomposition,SVD)的内模控制(Internal

录用日期2010-09-15

ManuscriptreceivedJuly9,2010;acceptedSeptember15,2010国家重点基础研究发展计划(973计划)(2007CB714300),国家高技术研究发展计划(863计划)(2008AA042131)资助

SupportedbyNationalBasicResearchProgramofChina(973Program)(2007CB714300)andNationalHighTechnologyRe-searchandDevelopmentProgramofChina(863Program)(2008AA042131)

1.北京化工大学自动化研究所北京1000292.北京化工大学信息科学与技术学院北京100029

1.InstituteofAutomation,BeijingUniversityofChemicalTechnology,Beijing1000292.CollegeofInformationScienceandTechnology,BeijingUniversityofChemicalTechnology,Bei-jing100029

收稿日期2010-07-09

modelcontrol,IMC)新方法,该方法通过添加补偿项实现对非方系统的解耦并消除不可实现因素,并应用SVD矩阵理论设计一种非对角型滤波器,使控制系统不仅具备良好的高维解耦能力和响应速度快的优点,而且因设置新型滤波结构而具备极强的鲁棒性.仿真结果显示了这种方法的有效性和可靠性.

1预备理论

1.1基于奇异值分解的内模控制结构

一般用m×n(m≤n)阶矩阵来描述非方系统的传递函数并表示为Gp(s),其结构如下:

g11(s)g12(s)···g1n(s) g21(s)g22(s)···g2n(s)

(1)Gp(s)= .... . ...... .

gm1(s)gm2(s)···gmn(s)

式中,gij(s)=gij0(s)e θij0s为Gp(s)的第i个输

入与第j个输出之间的传递函数,gij0(s)e θij0s严真且稳定;θij0≥0为该通道的传输时滞.本文采用多变量系统的内模控制结构,如图1所示.图中Yp、Ym和U分别为被控对象的输出、内部模型输出和控制量,R为设定值,d为外部扰动,Gp(s)、Gm(s)为被控对象和内部模型,GF(s)为反

馈滤波器,CSVD-IMC(s)为基于奇异值分解的内模控制器

.

图1基于奇异值分解的内模控制结构Fig.1

StructureofIMCbasedonSVD

1.2传递函数矩阵的奇异值分解

考虑系统的传递函数矩阵Gp(s),对于每一个频率因子s,可以求得其奇异值分解:

Gp(s)=U·Σ·VH

(2)

其中,U、V分别为m×m、n×n的酉矩阵,Σ是

包含Gp(s)奇异值的对角阵,H代表共轭转置.该奇异值矩阵反映了传递函数Gp(s)在某一频率因子s下的增益的上下界,其中,为上界,σ为下界.

定义传递函数Gp(s)在某一频率因子s下的条件数为cond(G(s)),可用式(3)求得.

cond(G(s))=

(G(s))(G(s))

(3)系统传递函数矩阵条件数的大小是衡量系统鲁棒性的标志.如果过程在某一频率因子s下的条件数cond(G(s))大,则系统在较小的扰动下可以产生较大的偏差,如果按一般方法设计系统的内模控制器,则鲁棒性很难满足要求.

2控制器的设计

对图1所示系统进行分析可知,其闭环传递函

数矩阵为

H=Gp(s)CSVD-IMC(s)×

[I+(Gp Gm)CSVD-IMC] 1

(4)

当模型匹配即Gp=Gm时,

H=Gp(s)CSVD-IMC(s)=

Gm(s)CSVD-IMC(s)

(5)

其中,CSVD-IMC为基于奇异值分解的非方系统解耦内模控制器,其主要有两个作用:1)在对系统进行补偿解耦的同时进行内模控制,以减少各通道之间的耦合;2)满足系统的鲁棒性要求.下面给出非方内模控制器CSVD-IMC的设计方法.

2.1解耦环节的设计

传统内模控制理论指出[4],系统实现输入输出解耦的前提条件是闭环传递函数H为对角阵,即

H=GmCIMC=diag{hi},hi=0,i=1,2,···,m

(6)

因此,一般解耦内模控制器形式应为

CIMC=G 1

mH

(7)

2.1.1求取G 1

m

在非方系统中,由于对象模型为非方矩阵,传

统意义上的G m1

并不存在,因此考虑用Gm的广义逆[5]替代.广义逆是指在矩阵为奇异(含非方情况)时,同样存在一些矩阵,类似于非奇异矩阵的逆矩阵,能够和奇异矩阵相乘,相乘结果为单位阵.这里

将Gm的广义逆矩阵记为G m,由式(8)计算得出[6]

.

G GHH 1

m=m(GmGm)

(8)

综合式(7)和(8)可得

CIMC=G GHH 1

mH=m(GmGm)

H(9)

2.1.2求取H

考虑对象模型Gm由最小相位部分Gm 和包

含非最小相位部分及时滞项的Gm+组成,即

Gm=Gm Gm+(10)

在传统的内模控制器设计方法中,采用添加滤波器的方法,用来补充模型不匹配和忽略非最小相位部分所带来的误差,如式(11)所示.

CIMC=G 1

m F

(11)

所以

H=GpCIMC=GmCIMC=

Gm+Gm G 1

m F=Gm+F

(12)其中

F=diag1

λ,

i=1,2,···,m(13)

is+1

为m阶滤波器矩阵,用来保证控制器物理可实现.Gm+是过程模型Gm的非最小相位部分,包含了Gm的时滞部分和右半平面(Righthalfplane,RHP)零点,其一般形式[7]为

=diage θ DiGKis

( s+zpm+

Wi

1

s+z ),p

i=1,2,···,m

(14)

其中,θKi为矩阵G m中第i列元素含有的最大时

滞.zp为G m第i列元素中存在的RHP极点;zp为zp的共轭,Wi表示同一RHP极点zp的最大个数;Di表示G m第i列元素存在Di个不同的RHP极点.式(14)的实质是一个补偿器,用来补偿计算Gm的广义逆G m时所引入的RHP极点和超前项,确定性时依然保持原有的标称性能.其中,滤波器时间常数可设定为该回路最大时滞时间的一半[8].

3仿真实例

以三输入二输出的Shell标准控制问题为例,其系统传递函数为

因为RHP极点和超前项可以造成控制器不稳定且不能实现.综上所述,在不考虑鲁棒性的情况下,具有对非方系统解耦功能的内模控制器为

CIMC=G mGm+F

(15)

2.2滤波器F

的设计如果仅仅按照第2.1节所述步骤设计出非方多

变量解耦内模控制器CIMC,当遇到对象Gp(s)为条件数很大的病态系统时,CIMC的鲁棒性往往不能达到要求.因为当Gp(s)的条件数很大时,所设计出的控制器CIMC的条件数同样会很大.当存在模型失配时,控制系统将会出现问题,在某一特定的频率因子s 下,系统输出Yp会产生很大的偏差.对于非方系统,可以通过设计滤波器来进一步满足系统的鲁

棒性.如果在某一频率因子s 下G p(s

)的条件数最高,那么可以通过设计基于奇异值分解的非对角

滤波器,使其直接作用在G p(s

)的奇异值上,从而克服模型失配对系统的影响.

首先将G p(s)在频率因子s

下进行奇异值分解:

G H

p(s)=USV(16)再令实向量WV满足式(17),

VHWV=I

(17)

那么,改进后的内模控制器为如下形式:

CSVD-IMC(s)=G 1

mGm+WVF(s)WV

(18)

其中,F(s)是滤波器,满足初始条件F(0)=I.CSVD-IMC(s)的成功实现依靠式(18).按以上方法设计出的内模控制器,可以实现对非方系统的解耦内模控制并大大增强系统的鲁棒性.将

F (s)=WVF(s)W 1V

(19)

定义为基于奇异值分解的非对角型滤波器,则式

(18)可表示为

CSVD-IMC(s)=G mGm+F (s)

(20)

为了克服工业过程中广泛存在的模型不确定性,

还需在反馈回路中添加滤波器GF,使系统在存在不

4.05e 81s1.77e 84s5.88e 81s G 50s+160s+150s+1 p(s)=

5.39e 54s5.72e 42s6.9e 45s 50s+160s+140s+1按上节所述方法求得:

Gm+(s)=

(50s 1)2(60s 1)2(40s 1)e 84sdiag(50s+1)2(60s+1)2(40s+1),

(50s 1)2(60s 1)2(40s 1)e 54s

(50s+1)2(60s+1)2(40s+1)

在s =0时,对G p(s

)进行奇异值分解,令

G p(0)=USVH

,得:

V=

0.8234 0.5675 0.5675 0.8234

WVH) 1

0.8234 0.5675

V=(0.5675 0.8234

综合考虑鲁棒性和响应时间,取滤波器为

F(s)=diag

11

25s+1,8s+1

应用式(19)所描述的非对角型滤波器

WVF(s)W 1

V,可以求得基于奇异值分解的非方内

模控制器CSVD-IMC(s)=G mGm+F (s),采用随机

数直接搜索(NewLuus-Jaakola,NLJ)方法进行降阶后[9],可得控制器CSVD-IMC(s)见式(21).

反馈滤波器取为

G11

F(s)=diag40.5s+1,

21s+1利用Simulink进行仿真,系统给定值响应如图2所示.其中,实线为本文方法,点划线为文献[7]中Chen所使用的方法,虚线为文献[10]中Sarma所使用的方法.图3所示为系统的干扰响应,给第一、二通道在第500s分别加入幅值为 0.5和0.5的阶跃扰动.

2

.9733s+0.0791

e 0.4878s

2

5.7412s+7.0541s+

1

1.2497s 0.336

11.7690s

C

SVD-IMC(s)

= e

0.3524s2+15.0875s+1

0.9954s+0.2167

e 5.4051s

21.2501s+3.2418s+1

7.8791s 0.0032 7.8553s

e

1.5885s2+17.4078s+1

2.4715s+0.2751 12.3746s e 1.1188s2+11.1794s+1

0.5132s 0.0806 4.1735s

e

5.3295s2+2.2549s+1

(21)

(a)r1=2

(b)r2=0

(c)r1=0

(d)r2=2

图2Fig.2

设定值响应

Set-pointresponses

(a)r1=2(b)r2=0

(c)r

1=0

(d)r2=2

图3

Fig.3

干扰响应

Disturbanceresponses

(a)r1=1,r2=2

(b)r1=2,r2=1

图4

Fig.4

设定值响应(模型摄动时)

Set-pointresponses(Unmatchedmodel)

如图3所示,本文方法使系统的两个输出之间实现了解耦,且可以无稳态误差地跟踪设定值,与Chen和Sarma的方法相比,具有更好的跟踪特性和抗干扰特性.为了验证系统的鲁棒性,令式(19)中各种元素的静态增益和纯滞后时间增加20%,时间常数减小20%.则对象传递函数为

可以看到,在模型摄动的情况下,采用本文方法所设计的内模控制系统依然具有较好的跟踪性能和鲁棒性.

4结论

本文针对工业过程中的非方系统提出了一种解耦内模控制设计方法,这种方法从期望的对角形式无耦合系统传递函数矩阵出发,依据内模控制器稳定可实现的原则,设计补偿器,得到最终的解耦控制器.对于对象中含有的多个不同时滞,不需对其近似,避免了近似产生的误差.同时对传统的滤波器结构加以改造,将对角型滤波器改进为非对角型滤波器,使控制系统具有良好的动态解耦效果和较强的鲁棒性.仿真结果表明,此方法较其他非方系统控制方法具有更好的控制性能和鲁棒性能.

Gp(s)=

4.86e 97.2s 40s+1

6.468e 64.8s

40s+1

2.124e 100.8s

48s+16.864e 50.4s48s+1

7.056e 97.2s40s+1

54s 8.28e32s+1

在输入条件及滤波器参数不变的情况下,系统输出

响应曲线,如图4所示.

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靳其兵北京化工大学信息科学与技术学院教授.1999年获得东北大学控制理论与控制工程专业博士学位.主要研究方向为先进控制及其在工业中的应用、建模方法研究与优化.

E-mail:Jinqb@

(JINQi-BingProfessorattheCol-legeofInformationScienceandTech-nology,BeijingUniversityofChemicalTechnology.Here-ceivedhisPh.D.degreefromNortheasternUniversityin1999.Hisresearchinterestcoversadvancedcontrolanditsindustrialapplication,researchandoptimizationofmodel-ingmethod.)

刘斯文北京化工大学信息科学与技术学院硕士研究生.2007年获得北京化工大学通信工程专业学士学位.主要研究方向为多变量系统的内模控制.本文通信作者.E-mail:lsw627@(LIUSi-WenMasterstudentattheCollegeofInformationScienceandTechnology,BeijingUniversityof

ChemicalTechnology.HereceivedhisbachelordegreefromBeijingUniversityofChemicalTechnologyin2007.Hismainresearchinterestisinternalmodelcontrolofmulti-variablesystems.Correspondingauthorofthispaper.)权玲北京化工大学信息科学与技术学院博士研究生.2007年获得陕西科技大学控制理论与控制工程专业硕士学位.主要研究方向为多变量内模控制.E-mail:quanling00@

(QUANLingPh.D.candidateattheCollegeofInformationScienceandTechnology,BeijingUniversityof

ChemicalTechnology.ShereceivedhermasterdegreefromShaanxiUniversityofScienceandTechnologyin2007.Hermainresearchinterestismulti-variableinternalmodelcon-trol.)

曹丽婷北京联合大学讲师,北京化工大学信息科学与技术学院博士研究生.2005年获得中国科学技术大学计算机应用技术专业硕士学位.主要研究方向为先进控制及其在工业中的应用.E-mail:caoliting0618@(CAOLi-TingLectureratBeijingUnionUniversityandPh.D.candidate

attheCollegeofInformationScienceandTechnology,Bei-jingUniversityofChemicalTechnology.ShereceivedhermasterdegreefromUniversityofScienceandTechnologyofChinain2005.Herresearchinterestcoversadvancedcontrolanditsindustrialapplication.)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8w6e.html