天津市河东区届高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

河东区2017年高考二模考试

数学试卷（文史类）

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若

21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41- B ．-1 C ．4

1 D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x ∈==,则=B A ( )

A ．(0,1)

B ．(-1,2)

C ．),1(+∞-

D ．)1,2

1

( 3. 已知函数?

??<≥?=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( ) A ．41 B ．2

1 C ．

2 D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )

A ．31

B ．21 C. 32 D ．6

5 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116

2

22=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ?为直角三角形，则双曲线的离心率为( )

A ．3

B ．12+ C.2 D ．3

7. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ?-=+2016)1(，n b n n 2017

)1(2+-+=，且

n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．)21,1[-

B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-

8. 已知函数???

≤++<+=a x x x a x x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[-1,1)

B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间为 ．

10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab 1的最小值是 ．

13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．

14.如图，已知ABC ?中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PB MP MC AM ，

2=3=，?=∠120BAC ，则BC AP ?的值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？

16. 在ABC ?中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(

=+A π. （Ⅰ）求)32cos(π+

A 的值； （Ⅱ）若4π

=B ，3=a ，求ABC ?的面积.

17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，

3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC 的中点.

（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；

（Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ；

（Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.

18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令n n n n n b a c )

2()1(1

++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

3，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为

5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.

20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数x

m x x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3

)()(x x f x g -

'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--a b b f a f 恒成立，求m 的取值范围.

河东区2017年高考二模考试

数学试卷（文史类）参考答案

一、选择题

1-5:ADABC 6-8:ADB

二、填空题

9. ),2(+∞ 10.3 11.

3

35 12. 21 13. π 14.-2 三、解答题

15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：?????≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即??

???≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：

当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.

解方程组???=+=+18

310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .

765.041=?+?=z .

故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.

16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4

tan 1tan 4tan =-+A A ππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =

A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，5

41cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos 2cos )32cos(π

π

A A =+10

10343sin 2sin -=-π

A . （Ⅱ）由正弦定理可知，A

a B

b sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =

+B A . ∴9sin 2

1==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==

BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且?AE 面PAB ，?MN 面PAB ，则//MN 面PAB .

（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .?CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD = ，所以⊥CM 面PAD ，∵?CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .

（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面 PMC 面PAD PM =，?AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .

则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ?中 ==PC AN 212

52122=+AC PA ， 5

5422=+?=AM PA AM

PA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.

18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.

所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由???+=+=,,322

211b b a b b a 即为???+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n . （Ⅱ）11

2)1(3)

33()66(+++=++=n n n n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +?+??=322322[3n T ]2)1(...1+?++n n ，

+?+??=432322[32n T ]2)1(...2+?++n n ，

两式作差，得

+++??=-4322222[3n T ]2)1(2...21++?+-+n n n

]2)1(2

1)21(44[32+?+---+?=n n n 223+?-=n n .

所以223+?=n n n T .

19. 解：（Ⅰ）∵2

3=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.②

由①②知42=a ，12

=b ，所以椭圆的方程为：1422

=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为1

1x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立??

???=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=

+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(411

11x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数2

1-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +

=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(x

e x x e x x

f -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+

=e

e e e

f ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f x

g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=23

1)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ?，则=+-='1)(2x x ?)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ?，)(x ?在（0,1）上单调递增；

∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ?，)(x ?在),1(+∞上单调递减；

所以)(x ?的最大值为32131)1(=+-

=?，又0)0(=?，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点；

②当3

2=

m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当32

0<

（3）对任意0>>a b ，1)

()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立.

)(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m

x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011

)(2≤--='x m

x x h 在),0(+∞上恒成立，

∴=+-≥x x m 241

)21

(2+--x )0(>x 恒成立， ∴41

≥m （对41

=m ，0)(='x h 仅在21

=x 时成立）.

∴m 的取值范围是),41

[+∞.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8w0q.html