中国石油大学物理答案15章习题详细答案 03
更新时间:2023-03-09 06:14:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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习题15
15-3 求习题15-3各图中点P处磁感应强度的大小和方向。
1 2 I (a) a 1 2 I I I P ? a (c)
? P r P ? r I (b) 习题15-3图
[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为:
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1:?1?0,?2?,因此B1?0
4?a2B?对于导线2:?1??2??,因此B2?0
Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。
(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为:
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1:?1?0,?2?,因此B1?0?0,方向垂直纸面向内。
24?a4?r?I?I?对于导线2:?1?,?2??,因此B2?0?0,方向垂直纸面向内。
24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内,大小为半径相同、电流相同的
圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半,即
1?0I?0I,方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以,Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0,方向垂直纸面向内。
4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是
d?3a 6?1?30o,?2?150o
每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内,大小都是
B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为
B?3B0?方向垂直纸面向内。
15-4 在半径为R和r的两圆周之间,有一总匝数为N的均匀密绕的平面线圈,通有电流I,方向如习
题15-4图所示。求中心O处的磁感应强度。
[解] 由题意知,均匀密绕平面线圈等效于通以 NI圆盘,设单位径向长度上线圈匝数为n
ROI
N n?R?r建立如图坐标,取一半径为x厚度为dx的 圆环,其等效电流为:
rxdxdI?ndx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R
所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外。
15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒,设电流I=5.0A,圆筒半径 R=1.0?102m如习题15-5图所示。
求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条,每一细条可看作一无限长直导线,取一微元dl
dl则dI?I
?R则dl在O点所产生的磁场为
?dI?IdldB?0?022
2?R2?R又因,dl?Rd?
?dI?Id?所以,dB?0?02
2?R2?RdBx?dBcos?,dBy?dBsin?
dl??yxdB半圆筒对O点产生的磁场为: 根据对称性,Bx??dBx?0,By??dBy??0I ?2R所以B只有y方向分量,即B?By??0I,沿y的负方向。 ?2R15-6 矩形截面的螺绕环,尺寸如习题15-6图所示,均匀密绕共N匝,通以电流I,试证明通过螺绕环
截面的磁通量为 ???0NIhlnD12?D2
[证明] 建立如图所示坐标,在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx
以与螺绕环同心的圆周为环路,其半径为r,
D2D ?r?1,
22?B?dl?2?rB??0NI
B??0NI 2?rdΦ?BdS 所以
??d??BdS????DD122?0NI?hNID1hdr?0ln
22?r2?D2习题15-6图
15-7长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a,另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b,
如习题15-7图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B;(2)B沿闭合路径L的环流B?dl等于什么?
?Laa?12R?O12003b4b?
[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?Il232R32R3故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0 因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33Y I1 I2 O 45? 45? X (2)由安培环路定理,有:
?B?dl??0?Ii??0(I?L15-8.如习题15-8图所示,半径为R的1/4圆弧线圈通有电流I2,置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中,直线电流I1恰过圆的直径,求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。
解:在I2上任取以电流元I2dl,与x轴的夹角为?,则电流元所受到的磁力为:
习题15-8图
dF?I2Bdl???0I1I2Bdl2?x
?0I1I2BRd?2?Rcos??IIB?012d?2?cos?方向沿O点与电流元的连线。 根据对称性可知,Fy=0
?F?Fx??dF??4??4??0I1I2B4?0I1I2Bcos?d?2?cos?
因此所受的磁力为
?0I1I2B4,沿x轴的正方向。
15-9.磁场中某点处的磁感应强度B?0.40i?0.20jT,一电子以速度v?0.5?106i?1.0?106jm?s?1通过该点。求作用在该电子上的磁场力。
[解] 由洛仑兹力公式,有
F?qv?B??1.6?10?19ijk0.51.00?106?8?10?14kN 0.4?0.2015-10.在一个圆柱磁铁N极正上方,水平放置一半径为R的导线圆环,如习题15-10图所示,其中通有顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁感应强度B的方向都与竖直方向成?角。求导线环受的磁场力。
[解] 圆环上每个电流元受力为dF?Idl?B
将B分解为z分量和径向分量:B?Bz?Br Bz?Bcos?,Br?Bsin?
所以 dF?Idl??Bz?Br??Idl?Bz?Idl?Br dFz?Idl?Br dFr?Idl?Bz
对于圆环?dFr?0 圆环所受合力为
2?F?Fz?IBr?dl?IBsin??Rd??2?RIBsin?,方向
0沿z轴正向。
15-11.如习题15-11图所示,空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b,导体内通有电流I,且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(a B?2?b2?a2??0I?r2?a2 r [解] 作图示的安培环路有 ?LB?dL??0?Ii 因为导体电流在横截面上均匀分布,所以j?I ?b2?a2??即 ?LB?dL??0j?(r2?a2) ?0I(r2?a2)所以 B? 2?(b2?a2)r15-12.一圆线圈的半径为R,载有电流I,置于均匀磁场中,如习题15-12图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下,求线圈导线上的张力的大小(已知线圈法线方向与B的方向相同)。 ?Tl?T?F [解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:2T?F,半圆所受到的磁力F等效于长为2R的载流直导线,在磁场中受力: F?BIl?2BIR 所以T?FBIl??BIR 2215-13.厚为2d的无限大导体平板,其内有均匀电流平行于表面流动,电流密度为j,求空间磁感应强度的分布。 [解] 建立如图所示的坐标系 对板内,取安培环路abcd 则 ya?d?B?LB?dL?2Bl??02xlj adbb?c?x所以 B??0jx 对板外,取安培环路a?b?c?d?,则有: c?LB?dL??0I 即 2Bl???0jl?2d 所以B??0jd 方向:在平板对称面的左则沿竖直向上,在对称面的右侧沿竖直向下。 15-14.一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I,作一宽为 R长为l的假想平面S,如习题15-14图所示。若假想平面S可在导体直径和轴OO?所确定的平面内离开OO?轴移动至远处,试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。 x[解] r≤R时:?B1?dl??0I???0I?r2 2?R ?Irr2B12?r??0I2 即B1?02 2?RRr≥R时: ?B2?dl??0I B22?r??0I 即B2??0I 2?r当假想平面的内边界离OO?轴x时 R?IR?x?I?0Il12?0IlR?x200??????r?l?dr??l?dr?R?x?ln ?R2?r2x2?R222?R2?R?Il?Ild?1令???0 ? ??02?2x?0??0 dx4?R2?x?Rx1?5?15?1R x2??R(舍) 22??0Il?0Il?d2?对?求二阶导数 <0 ????222?dx2??x?R????2?R?因此x1?5?1R时,有最大值。 2即:平面的内边界离OO?轴 5?1R时,有最大值。 215-15.将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中,已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2(如习题15-15图所示)。求载流平面上单位面积所受磁场力的大小和方向。 [解] 由图可知,B2>B1,说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场B0的方向在平面右侧是一致的,在平面左侧是相反的,进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则 1B1?B0-B?B0??0j 21B2?B?B0?B0??0j 2由此二式解得B0?1?B1?B2? , j?1?B2?B1? ?02在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl的条形面积,面积dS=hdl,面积上电流dI=jdl, 此电流受到的磁力大小为 dF?BhdI?Bjhdl?BjdS 载流平面单位面积所受磁力大小为 dF112?Bj?B2?B1B2?B1?B2?B12 dS2?02?0??????方向为垂直于平面向左。 15-16.电流为I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面,如习题15-16图所示。求:(1)载 流线圈所受到的总的磁场力;(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。 [解] ab边到长直导线的距离为d,电流I1在ab边上的磁场为 B??0I1 2?d方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为 Fab?I2Bl?方向向左。 ?0I1I2l 2?d?0I1, dl受2?x在ac边上任取一dl,设dl到I1的距离为x,则I1在dl处产生的磁场为B?到的磁力dF?I2dl?B,又因为dl?B 所以dF?I2dlB??0I1I2dx, 2?xcos300所以Fac??d?3l2d?0I1I2dx?0I1I23l?ln(1?),方向如图所示。 2d3?x3?同理,可求得Fbc?Fac,方向如图所示。 则线圈受到的合力为: ?Fy?0, ?Fx?Fab?Facx?Fbcx???0I1I2??l13l??ln(1?)? ?2d?3?2d?II因此线圈所受的磁场力大小为012??l13l?ln(1?)?,方向沿x轴负向。 ??2d2d3??(2)因为dPm?IdSn n的方向垂直直面向外 所以dPm∥//B 又因为dM?dPm?B,所以dM?0,所以M?0 15-17.半径为a、线电荷密度为? (常量)的半圆,以角速度?绕轴O?O?匀速旋转,如习题15-17图所示。求:(1)在点O产生的磁感应强度B;(2)旋转的带电半圆的磁矩Pm。 [解] (1)把半圆分成无数个小弧每段带电量dq???dl??ad? 旋转后形成电流元dI?n?dq?由圆环B???a?dq?d? 2?2?2R?x??0IR22232?s 得 R?asin? x?aco?dB?2a2?sin2??a2?cos2???0a2?sin2??dI?32??0a2?sin2?2a3dI??0??2sin?d?4? ?0??2??? 方向向上 sin?d??004?8??a3sin2?22d? (2)因为Pm?ISn, dPm?SdI??asin?dI?B??dB???2Pm?????a3sin2?20d????a32?0sin?2?d?????a34,方向向上。 15-18.有一均匀带电细直棒AB,长为b,线电荷密度为?。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度?转动,转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变,如习题15-18图所示。求:(1)点O的磁感应强度B;(2)转动棒的磁矩Pm; (3)若a>>b,再求B和Pm。 [解] (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转,其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元 dq??dr,等效电流为:dI?它在O点的磁感应强度 dq????dr 2?2?dB????0dr 2r4?r???0a?bdr??0?a?bB??dB0??ln(??0,方向垂直纸面向里) ?a4?r4?a??0dIOAa1(2)dpm??r2dI???r2dr 2a?b1pm??dpm????r2dr a2dqb?B???[(a?b)3?a3]/6(??0,方向垂直纸面向里) (3)若a>>b,则有: ln???b?0?qa?bb(?) ?,B?04?a4?aaa与带电粒子q??b情况相同 a??b时,(a?b)3?a3(1?3b/a),则有 pm???6a33b11??b?a2(?q?a2) a22与点电荷的磁矩相同 (??0,方向垂直纸面向里) 15-19. 一平面圆盘,半径为R,表面面电荷密度为?。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为?,匀强磁场B的方向与转轴的夹角为?,试求圆盘所受的力矩。 解:在半径为r处取宽度为dr的圆环,其等效电流为: ω B ?r dI???rdr 其磁矩为 dPm???rdr??r2en dM?dpm?B dM???rdr??r2Bsin?R 1M?????r3Bsin?dr????Bsin?R4 04 15-20.有一个无限长直圆筒形导体,导体和空腔半径分别为R2和R1,它们的轴线相互平行,两轴线间的距离为a(R2>a+ R1>2 R1),如习题15-20图所示。电流I沿轴向流动,在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。 [解] 根据叠加原理,此系统可看作由半径为R2,其上电流密度为j?I的实心导体,与半径为R1的,电流2?R2?R12??密度为-j的实心导体所构成的。 设j沿z轴正方向,根据安培环路定理,半径为R2电流均匀分布的导体,在O点产生的磁场为0,而半径为R1电流均匀分布的导体,在O点产生的磁场为 ?0?R12j?0?R12?0IR12I,BO???22222?a2?a?R2?R12?R2?R1a????垂直于轴线向外 BO''?BR2O''?BR1O'' 由环路定理:BR2O''??0Ia22?(R2?R12) B所以,B R1O''?0 O''?BR2O''??0Ia22?(R2?R12),方向垂直于轴线向里。
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