辽宁省鞍山市2013届高三数学第二次模拟考试试题 理

鞍山市第一中学2013届二模考试数学科理科试卷

命题人： 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若sin?cos?<0，则角?是 （ ）

A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角

????????????????32.在△ABC中， AB?2，AC?3，AB?AC?0，且△ABC的面积为，则?BAC等

2于 （ ）

A．60?或120? B．120? C．150? D．30?或150? 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时， f(x)?2x?3，则f(?2)?（ ）

A．1 B.?1 C.

14 D.?114

4.定义在(??,0)?(0,??)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}， {f(an)}仍是

等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在(??,0)?(0,??)上的如下函数： ①f(x)?x2； ②f(x)?2x； ③f(x)?|x|； ④f(x)?ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 （ ） A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④

?1?an5.已知等差数列?n?的前项和为Sn,a5?5,S5?15,则数列??的前100项和为

aa?nn?1?（ ） A．

100101 B．

99101 C．

99100 D．

101100

6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是 （ ）

A.7 B.2 C.3 D.5

用心 爱心 专心 - 1 -

7.设且其（ ）

图

象

关

函数f(x)?于

直?23cos(2x??)?sin(2x??)(|?|??2)，

线x?0对称，则

A.y?f(x)的最小正周期为?，且在(0,B.y?f(x)的最小正周期为?，且在(0,C.y?f(x)的最小正周期为D.y?f(x)的最小正周期为

?|2x?1|,?8.已知函数f(x)??3,??x?1)上为增函数 )上为减函数 )上为增函数 )上为减函数

?2?2，且在(0,，且在(0,?4?2?4x?2，若方程f(x)?a?0有三个不同的实数根，则实数a的

x?2取值范围为 （ ） （A）(1,3) （B）(0,3) （C）(0,2) （D）(0,1)

?????????????????????9.若△ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 3OA?4OB?5OC?0，则 OC?AB的值

为 （ ）

(A) ? (C) ?1565

?x

3

(B) (D)

1565

10. f(x)?2?ln(x?1) 实数a,b,c满足f(a)f(b)f(c)<0,且0

f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是 （ ） （A）x0 b （C）x0c 11．已知函数y?sinax?b(a?0)的图象如图所示，则函数

用心 爱心 专心

- 2 -

y?loga(x?b)的图象可能是 （ ）

A． B. C. D.

12. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意的?,? ，总有f(???)??f(?)?f(?)??2011，则下列说法正确的是 （ ）

（A） f(x)-1是奇函数 （B）f(x)+1是偶函数 （C）f(x)-2011是偶函数 （D）f(x)+2011是奇函数

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

?13.由曲线y?sin(x)与y?x3在区间[0,1]上所围成的图形面积为 ．

214.下列命题中，错误命题的序号有 。

(1)“a=-1”是“函数f(x)= x2+|x+a+1| ( x∈R) 为偶函数”的必要条件； (2)“直线L垂直平面?内无数条直线”是“直线L垂直平面?”的充分条件； ????????? (3)已知a,b,c为非零向量，则“a?b?a?c”是“b?c”的充要条件；

(4)若p: ?x∈R，x2+2x+2≤0,则 ￢p:?x∈R，x2+2x+2＞0。

15.已知在平面直角坐标系xOy中，O(0, 0), A(1,-2), B(1,1), C(2,-1)，动点M(x,y) 满足

??????-2≤OM·OA≤2????

条件?，则OM·OC的最大值为

?????1≤?OM·OB≤216.已知：f(x)?m(x?2m)(x?m?3),g(x)?2?2。若同时满足条件 ①?x?Rf(x<0或g(x)<0②?x?(??,?4)f(x)g(x)?0，则m的取值范围是

x三、解答题：（必须写出解答过程）

用心 爱心 专心 - 3 -

17.（10分）已知⊿ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=a+bc，求：(1)

2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求⊿ABC周长的最大值。 18．（12分）在数列?an?中，已知an?1,a1?1且an?1?an? （I）求数列?an?的通项公式； （II）令cn?(2an?1)2,Sn?范围。

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，

侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。 (1)证明PA／／平面BDE；

(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF? 证明你的结论。

20.（12分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90?，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和

1c1c2?1c2c3???1cncn?12an?1?an?1(n?N*222

)

，若Sn?k恒成立，求k的取值

AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A?MN，使顶点A?落在边BC上

(A?点和B点不重合).设∠AMN＝?．

(1) 用?表示线段AM的长度，并写出?的取值范围； (2) 求线段A?N长度的最小值．

????坐标原点，设向量OA=?x1，f?x1??A N ????M ?? B

A' C

21．（12分）设定义在区间[x1， x2]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为

?????????OB?x，fx，y)，当实数λ满足x=λ?2?2??，OM=(x，

????)OB x1+(1

－λ

????????) x2时，记向量ON=λOA+(1－λ

．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准

k?????下线性近似”是指 “MN≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．

（1）求证：A、B、N三点共线

（2）设函数 f(x)=x在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

1mm?1?（3）求证：函数g(x)?lnx在区间??e，e?(m?R)上可在标准k=下线性近似

82

用心 爱心 专心 - 4 -

（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

22．（12分）已知函数f(x)?ax?(2a?1x)?2y?3?

bx?1?a(a?R,a?0)在x?3处的切线方程为

（1）若g(x)=f(x?1)，求证：曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x?0和直线y?ax围成的三角形面积为定值；

（2）若f(3)?3，是否存在实数m,k，使得f(x)?f(m?x)?k对于定义域内的任意x都成

立；

（3）若方程f(x)?t(x2?2x?3)x有三个解，求实数t的取值范围．

鞍山市第一中学2013届二模考试数学科理科答案

选择题：DCBCAABDADCD 填空题（13）

2??14（14） ①②③（15） 4 （16）（-4，-2）

1π

17解：(1)∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，∴A=，

2 3

用心 爱心 专心

- 5 -

∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C)

=sinA=

3

。。。。。。5分 2

43 43

sinB+sinC 3 3

(2)由a=2，结合正弦定理，得 b+c=43 43 2π

sinB+sin(-B) 3 3 3

π

=23 sinB+2cosB=4sin(B+)，

6 =

可知周长的最大值为6。。。。。。10分 18（1）解：因为an?1?an?222an?1?an?1，所以an2?1?an2?an?1?an?2，

1?1???即?an?1????an???2，??????????????????2分

2?2???令bn11????an??,?bn?1?bn?2，故?bn?是以为首项，2为公差的等差数列。

42??14?2?n?1??8n?742所以bn?，??????????????????4分

因为an?1，故an?1?8n?722。????????????????6分

（2）因为cn??2an?1??8n?7， 所以

1cncn?1?1?1?11????，????????8分

8?8n?78n?1?1cncn?1?1?11111??????1????

8?99178n?78n?1??8n??7??8n?1?1c2c3所以Sn?1c1c2????1?1?1?1???，????????????10分 8?8n?1?8

因为Sn?k恒成立，故k?18。????12分

19解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，

=(2,2,0)。

设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量， 则由，得 ?

?y +z=0?2x+2y=0

；取=-1，=(1,-1,1)，

用心 爱心 专心 - 6 -

3

·=2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。?..4分 3

(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。 设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>， ∵

∴ cosθ=cos<,>==

3

， 3

3 ×2

=2

3

。??8分 3

(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。 故二面角B-DE-C余弦值为假设棱PB上存在点F，使PB?平面DEF，设=λ(0＜λ＜1)， 则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)， 由·=0 得 4λ +4λ-2λ(2-2λ)=0，

11

∴ λ=∈(0,1)，此时PF=PB，

3 3

1

即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。??12分

3 20解：（1）设MA?MA??x，则MB?1?x． 在Rt△MBA?中，cos(180??2?)?∴MA?x?11?cos2??12sin?22

2

1?xx，

．

∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A?点和B点不重合，∴45????90?．?6分 （2）在△AMN中，∠ANM＝120???,

ANsin??MAsin(120??)1?,

212sin?＝． AN???sin(120??)2sin?sin(120??)sin??令t?2sin?sin(120???)?2sin?(sin??2132?cos?)＝sin??23sin?cos?

＝

12?32sin2??12cos2??12?sin(2??30)．

∵45????90?， ∴60??2??30??150?． 当且仅当2??30??90?，??60?时，t有最大值∴??60?时，A?N有最小值

????????32，

23．??..12分

????????21【解】（1）由ON=λOA+(1－λ)OB得到BN=λBA，

所以B，N，A三点共线， ??2分

（2）由x=λ x1+(1－λ) x2与向量ON=λOA+(1－λ)OB，得N与M的横坐标相同．4

????????????????用心 爱心 专心 - 7 -

分

对于 [0，1]上的函数y=x，A(0，0)，B(1，1)， 则有

?????21MN?x?x??x?22

??21?4?????，故MN??0，1?；

???4?所以k的取值范围是?1，??． ??6分

??4mm?1?（3）对于??e，e?上的函数y?lnx，

?A(em，m)，B(em?1，m?1)，

则直线AB的方程y?m?令h(x)?lnx?m?于是h?(x)?1?xm?1m1(x?e)，????8分 m?eeem?1mm?1m1?(x?e)，其中x???e，e??m?R?， m?eem?11， ????10分 m?e列表如下：

x h'(x)e m(em，em+1－e) + me－e 0 h(em?1m+1m(e－e，e) － m+1mm+1em+1 h(x) 0 增 ?e)m减 0 ?????则MN?h?x?，且在x?em?1?em处取得最大值，

又h(em?1?em)?ln?e?1??'e?2e?1?0.123?b18，从而命题成立． ??12分

b2a?1?，b?2??2分 42222解：（1）因为 f(x)?a?2(x?1)2',所以 f(3)?a?又 g(x)?f(x?1)?ax?x. 设g(x)图像上任意一点P(x0,y0),因为 g'(x)?a?2,

x所以切线方程为y?(ax0?2x0)?(a?2x02)(x?x0).

令x?0, 得y?4； 再令y?ax,得 x?2x0, x0故三角形面积S?12?4x0?2x0?4, 即三角形面积为定值??..4分

2x?1?1

（2）由f(3)?3得a?1，f(x)?x?用心 爱心 专心 - 8 -

假设存在m,k满足题意,则有x?1?2(m?2)(x?1)(m?x?1)22?m?x?1??k, x?1m?x?1化简,得

?k?2?m对定义域内任意x都成立,

?m?2?0,?m?2,故只有?解得?

k?2?m?0.k?0.??所以存在实数m?2,k?0,使得f(x)?f(m?x)?k对定义域内的任意x都成立?.8分 （3）由题意知,x?1?2x?1?t(x?2x?3)x,

2因为x?0,且x?1,化简,得 t?1x(x?1),

2??x?x,x?0,且x?1,即?x(x?1)??

2t???x?x,x?0.1如图可知,?11??0. 4t所以t??4,即为t的取值范围.?????12分

用心 爱心 专心 - 9 -

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