9、拉格郎日方程

9、动力学普遍方程与拉格朗日方程

9.1内容提要

将虚位移原理和达朗伯原理结合起来，可推导出质点系动力学普遍方程和拉格朗日方程，用来解决非自由质点系的动力学问题。本章的理论要点见表9-1。 表9-1 动力学普遍方程与第二类拉格朗日方程表达式 方 内 容 表达式 程 动具有理想约束的质点系运动时，在任（Fi?FiI）??r?0 力一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯??r?0 学性力在任何虚位移上所作虚功之和等于或 （Fi?miai）解析表达式为： 普零。 遍?j)?xj?(Yj?mj??j)?yj (Xj?mj?xy方?i）?zi]?0 ?（Zi?mi?z程 由n个质点组成的质点系，受完整的 第理想约束，其自由度为k个，用k个广义d?T?T（）??Qj 二坐标qj（j=1，2，…，k）确定质点系的位?dt?qj?qj类置。 （j?1，2，?，k） 拉?j为广义速式中T为质点系的动能，q格朗度，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。 当作用于质点系的主动力是有势力d?T日?T?V （）???方时。 ?jdt?q?qj?qj程 式中，L=T–V，表示质点系的动能与d?L?L势能之差，称为拉格朗日函数或动势．它或（）??0 ?????j的函数 是t、qj和q

?jdt?q?qj（j?1，2，?，k） 拉氏方程的建立一般是由公式出发，按照一定的规则和步骤进行，无需进行加速度分析，

极大地简化了复杂系统动力学问题的分析和求解过程，避免了动力学普遍定理的选择和一些物理量的分析与计算。因而拉氏方程提供了用广义坐标形式建立质点系动力学方程的普遍方法，这正是它的优点所在。但拉氏方程中各项的物理意义就不如动力学普遍定理那样明确。

9.2解题要点

9.2.1求解问题

应用动力学普遍方程与拉格朗日方程可求解单自由度系统及多自由度系统的动力学问题，特别适宜求解复杂系统的动力学问题。

9.2.2 应用动力学普遍方程的解题步骤

1、一般取整个系统为研究对象，分析系统的受力情况，确定主动力（包括摩擦力）及作虚功的力（内力）。

2、分析系统的运动情况，根据加速度虚加惯性力。 3、给系统一组虚位移，并找出各虚位移之间的关系。

4、计算主动力和惯性力的虚功，列动力学普遍方程并求解。

特别注意，当系统为多自由度时，则应分别给出虚位移，列出相应的动力学普遍方程，然后联立求解。

9.2.3 应用拉格朗日方程的解题步骤

1、以系统为研究对象，分析系统的约束性质与自由度数目，恰当选取独立的广义坐标。系统中若有非理想约束反力，则视其为主动力。

2、分析系统的运动，用广义坐标、广义速度表示系统的功能。动能中所用的速度和角速度都是相对惯性坐标系的绝对量。

3、若主动力为有势力，用广义坐标表示系统在任一位置的势能V(qj)，从而求出拉氏函数。或主动力为非有势力，则应计算对应于每一个广义坐标qj的广义为Qj。一般情况下，广义力应用虚功法求取较为方便，即Qj???Wj?qj。

4、根据相应形式的拉格朗日方程，建立质点系的运动微分方程，对微分方程积分，并按运动的初始条件确定积分常数，从而求得以广义坐标表示的质点系的运动规律。

9.3范例分析

例9-1 水平面内的行星齿轮机构如图9-1所示，已知OA杆的质量为m1，轮A的质量为m2，半径为r，大轮半径为R，OA杆受到力偶矩为M的力偶作用。试求杆的运动方程。

(a)

图9-1

解：

解题思路：机构中轮A作平面运动，杆OA作圆周运动。系统具有一个自由度，可取杆AB与水平线的夹角?为广义坐标，分别应用动力学普遍方程和拉格朗日方程求解。

1、 应用动力学普遍方程求解

以杆OA及轮A为研究对象，在水平面内受到的主动力只有力偶矩为M的力偶。分别对杆OA和轮虚加惯性力F1（方向未知）、F2、F2，惯性力偶矩M1和M2，如图（b）所示。其中

IInI?II(b)

?? F2?m2aA?m2(R?r)?I??1?? m1(R?r)2?311I22R?r?? ? M2?m2r??A?m2r22r M1?I 给机构图（b）所示虚位移，其中

?rA?(R?r)??1

??2?(R?r)??1 r由动力学普遍方程可得

I ?M??1?M1I??1?F2I??rA?M2??2?0

即 (R?r)?m1?2?1?33????M m2??2?????6M

(2m1?9m2)(R?r)2积分两次，可得杆的运动方程为

??6M2?0t??0 t??2(2m1?9m2)(R?r)2、 应用拉格朗日方程求解

此机构为非守系统，仍取广义坐标为?，如图（a）所示。系统的动能为

1?11?1?21??R?r???m2?(R?r)???2??m2r2???? T??m1(R?r)2???2?322?2???r? ?21?2 (2m1?9m2)(R?r)2?12计算有关导数

?T1? ?(2m1?9m2)(R?r)2??6??

d??T?12?? ???(2m?9m)(R?r)?12????6dt????T?0 ??

计算广义力

主动力在虚位移上所作虚功等于广义力在广义虚位移上所作虚功，即 M???1?Q???1

Q?M

代入非保守系统的拉格朗日方程（d?T?T）??Q，有 ?dt????

1???M (2m1?9m2)(R?r)2?6??，得到与前面相同的结果。 从而可求出???为常量，所以在计算杆OA的运动规律时也可不进行积分，直讨论：本题中所求出的?接代入匀变速转动的相应公式即可。

例9-2 质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，如图9-2所示。在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，不计线的质量。求此摆的运动微分方程。

图9-2 解：

解题思路：此摆为保守系统，系统具有一个自由度，可取圆柱圆心O与摆线与圆柱切点的连线和水平线间的夹角θ为广义坐标，如图示，应用拉格朗日方程求解。

?，在任意瞬时，摆线与铅垂线夹角为θ，摆线长度为l?R?，摆锤速度为(l?R?)?系统的动能为

T?有关导数为

1?2 m(l?R?)2?2?T? ?m(l?R?)2????d??T??2?m(l?R?)??? ????2m(l?R?)R?dt?????T?2 ?m(l?R?)R???以摆锤的平衡位置为零势能位置，则在任意瞬时，系统的势能为 V?mg?(l?Rsin?)?(l?R?)cos??

?V?mg(l?R?)sin? ??代入保守系统的拉格朗日方程，有

?2?m(l?R?)2????m(l?R?)R??2??mg(l?R?)sin 2m(l?R?)R??

经化简，可得此摆的运动微分方程为

???R??2?gsin??0 (l?R?)?讨论：若选不同的零势能位置，所得势能表达式会有不同，这会导致最后所得的运动

微分方程略有不同，读者可另选零势能点进行计算。

例9-3 实心均质圆柱A和质量分布在边缘的空心圆柱B的的质量分别为mA及mB，半径均为R，两者由缠绕在圆柱B上的细绳通过定滑轮（不计质量）相连如图9-3所示。设圆柱A沿水平面作纯滚动，圆柱B铅直下降，试求两圆柱的角加速度?A和?B以及圆心的加速度aA和aB。

图9-3

解

解题思路：系统中圆柱A和B都作平面运动，而圆柱B的平面运动可视为随绳的平动和相对绳的纯滚动合成。系统具有二个自由度，可取圆柱A的质心坐标xA及圆柱B的转角?B为广义坐标，应用拉格朗日方程求解。

此系统为保守系统，系统的动能为

T?11112222mA?A?JA?A?mB?B?JB?B22222?Ax11111222?B)2?(mBR2)???B?A?(mAR)?2?mB(x?A?R??mAx

22222R31122?B)2?mBR2??B?A?A?R??mAx?mB(x422取固定水平面为重力零势能面，则系统的势能为

V??mBgyB??mBg(xA?R?B)

于是，可得系统的拉格朗日函数

L?T?V?31122?B)2?mBR2??B?A?A?R?mAx?mB(x?mBg(xA?R?B)

422?L?mBg ?xA计算有关导数，对于xA

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