黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

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数学系1302班第五组 07 樊萌 12 韩鸿林 19 兰星 21 李鸿燕 45 王堃 51 武相伶 54 许小亭 57 杨莉 69 赵志阳

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设f?x? 在?a,b?上有界,对?a,b?做分割,T??a?x0?x1???xn?b?,其中令Mi?sup?f?x?,x??xi?,mi?inff?x?,x??xi,?xi?xi?1?xi,s??mi?xi?xi?1?

i?1??nS??Mi?xi?xi?1?,若有

i?1nbb?Sdx??sdx

aa则称f?x?在?a,b?上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

???0,作m?y0?,y1??yn?M,其中yi?yi?1??,M,m分别为f?x?在E上的上界和下界,令Ei??x,yi?1?f?x??yi?,?i?1,2,?n?若lim?yi?1mEi存在,则f?x?勒贝格可积.

??0i?1n3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记f??x??max?f?x?,0?，

f??x??min??f?x?,0?,则有f?x??f??x??f??x?,若?f??x?dx,?fEE_?x?dx不同时为?,则

f?x?在E上的积分确定且

?Ef?x?dx??f??x?dx??f??x?dx.

EE 4、 简单函数的勒贝格积分定义:设f?x?是可测集E上的非负简单函数,于是有对E的划分Ei,i?1,2?n,f?x?在Ei上的取值为ci,则f?x???ci?Ei,定义f?x?的勒贝格积分为

i?1n?f?x?dm??cmE,若?f?x?dm??,则称f?x?在E上勒贝格可积.

iiEi?1nE 5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E上的非负简单函数列fn?x?,对任意的

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x?E,fn?x?都收敛于f?x?,则f?x?在E上勒贝格可积其积分为

lim?fn?x?dm??f?x?dm.

n??EE对一般的函数由于f?x??f??x??f??x?,则

?Ef??x?dm??fE??x?dm??f?x?dm.

E若左端的两个积分值都有限时,称f?x?在E上勒贝格可积.

勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在?a,b?上的f?x?黎曼可积的必要条件是f?x?在?a,b?上有界.

注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件

1、设f?x?是定义在?a,b?上的有界函数,则f?x?黎曼可积的充分必要条件为f?x?在

?a,b?上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设f?x?在?a,b?上有界,T??a?x0?x1???xn?b?为对?a,b?的任一分割,其中令

Mi?sup?f?x?,x??xi?,mi?inff?x?,x??xi,?xi?xi?1?xi,s??mi?xi?xi?1?,

i?1??nS??Mi?xi?xi?1?,i?1,2,?n有

i?1nbb?Sdx??sdx.

aa2、设f?x?是定义在?a,b?上的有界函数,则f?x?黎曼可积的充分必要条件为???0,总存在某一分割T,使得

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?w?xii?1ni???wi?Mi?mi?.

3、设f?x?是定义在?a,b?上的有界函数,则f?x?黎曼可积的充分必要条件为???0,总存在某一分割T,使得

S?T??s?T???成立.

4、定义在?a,b?上的函数f?x?黎曼可积的充分必要条件为f?x?在?a,b?上的一切间断点构成一个零测度集.

注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件

1、设f?x?是定义在可测集E上的有界函数,则f?x?在E上勒贝格可积的充要条件为

???0,总存在E的某一分割D,使得

?wmE??.

iii2、设f?x?是定义在可测集E上的有界函数,则f?x?在E上勒贝格可积的充要条件为

f?x?在E上勒贝格可测.

3、设f?x?在?a,b?上的黎曼反常积分存在,则f?x?在?a,b?上勒贝格可积的充要条件为f?x?在?a,b?上的黎曼反常积分存在,且有

f?x?dm??f?x?dx. ???a,bab4、设fn?x?为E上的可测函数列,fn?x?在E上的极限函数几乎处处存在,且

?f?x?dx?M,则f?x?在E上勒贝格可积.

nE5、设f?x?是是定义在可测集E上的连续函数,则f?x?在E上勒贝格可积的充要条件为f?x?在E上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较

黎曼积分的性质

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1、（线性性）若f?x?,g?x?是定义在?a,b?上黎曼可积函数,则

f?x??g?x?,f?x??g?x?,f?x?g?x?也在?a,b?上黎曼可积.

注

?f?x??g?x?dx??f?x?dx??g?x?dx,但?g?x?f?x?dx??f?x?dx?g?x?dx.

aaaaaabbbbbb2、（区域可加性）设有界函数f?x?在?a,c?,?c,b?上都黎曼可积,则f?x?在?a,b?上也黎曼可积,且有

?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx.

aacbcb3、（单调性）若f?x?,g?x?是定义在?a,b?上黎曼可积,且f?x??g?x?,则

?f?x?dx??g?x?dx.

aabb4、（可积必绝对可积）若f?x?在?a,b?上黎曼可积,则f?x?在?a,b?上也黎曼可积,且有

?f?x?dx??f?x?dx.

aabb注 其逆命题不成立.

5、若f?x?在?a,b?上黎曼可积,则在?a,b?的任意内闭子区间??,????a,b?上也黎曼可积.且其积分值不会超过在?a,b?上的积分值.

6、若f?x?是?a,b?上非负且连续的函数,若有?f?x?dx?0,则f?x?在?a,b?上恒等于零.

017、若f?x?,g?x?是?a,b?上的黎曼可积函数,则M?max?f?x?,g?x?? ,

m?min?f?x?,g?x??在?a,b?上也黎曼可积.

8、若f?x?在?a,b?上黎曼可积,可积.

勒贝格积分的性质

11在?a,b?上有定义且有界,则也在?a,b?上黎曼f?x?f?x?

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1、（有限可加性）设f?x?是有界可测集E上的可积函数,E??EK,EK等均可测且两

k?1n两互不相交,则有

f?x?dx?E?f?x?dx?E1?f?x?dx?E2???f?x?dx. ?En2、对于给定的可测函数f?x?,f?x?与f?x?的可积性相同且

f?x?dx?E?f?x?dx. ?E3、(单调性)若f?x?,g?x?在E上勒贝格可积,且f?x??g?x?几乎处处成立,则

f?x?dx??g?x?dx. ?EE4、f?x?是E上的非负可积函数,则f?x?在E上是几乎处处有限的.

5、f?x?是E上的非负可测函数,若f?x?在E上几乎处处等于0,则?f?x?dx?0.

E6、(零测集上的积分)若mE?0,则?f?x?dx?0.

E7、f?x?是E上的勒贝格可积函数,f?x??0在E上几乎处处成立,则?f?x?dx?0.

E8、设f?x?在E上可测,若存在非负函数g?x?在可测集E上勒贝格可积,f?x??g?x?几乎处处成立,则f?x?在可测集E上勒贝格可积.

9、f?x?在可测集E上勒贝格可积,A是E的可测子集,则f?x?在A上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E上的积分值.

10、设f?x?在E上可测,则?f?x?dx?0的充要条件是f?x??0在E上几乎处处成立.

E11、设f?x?,g?x?均在E上勒贝格可积,则M?max?f?x?,g?x??,m?min?f?x?,g?x??也 在E上勒贝格可积.

12、若f?x?与g?x?在E上几乎处处相等,则g?x?也可积,且

f?x?dx?E?g?x?dx. ?E13、设f?x?在可测集E上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设f?x?为可测集E上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数g?x?,使得g?x?导

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函数在E上几乎处处等于f?x?.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列fn?x?在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f?x?也在I上连续.

⒉（可积性）若函数列fn?x?在区间I上一致收敛,且每一项都连续,

?limf?x?dx?lim?f?x?dx.

an??nn??nabb⒊（可微性）设fn?x?为定义在?a,b?上的函数列,若x0??a,b?为fn?x?的收敛点,且fn?x?的每一项在?a,b?上都有连续的导数,fn??x?在?a,b?上一致收敛,则

ddlimfn?x??limfn?x?. n??n??dxdx??⒋有界收敛定理设fn?x?是定义在?a,b?上的黎曼可积函数. ⑴fn?x??M?n?1,2?,x??a,b??.

⑵f?x?是定义在?a,b?上的黎曼可积函数.且limfn?x??f?x?.则有

n??lim?fn?x?dx??f?x?dx.

n??aabb与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集E上的可测函数列fn?x?满足如下条件:

0?f1?x??f2?x???,limfn?x??f?x?,则fn?x?的积分序列收敛于f?x?的积分

n??

f?x?dx?E?limn??fn?x?dx. ?E⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列fn?x?满足如下条件: ⑴fn?x?的极限存在,limfn?x??f?x?.

n??⑵存在可积函数g?x?使得fn?x??g?x?,?x?E,n?N?那么f?x?可积,有

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f?x?dx?E?limn??fn?x?dx. ?E⒊设mE??,E上的可测函数列fn?x?满足如下条件: ⑴fn?x??g?x?,?x?E,n?N?,g?x?可积. ⑵fn?x?依测度收敛于f?x?,那么f?x?可积,有

f?x?dx?E?lim?n??fn?x?dx. ?E⒋设fn?x?是?a,b?上的增函数列,且有?fn?x?在?a,b?上收敛,则

n?1d????d??fn?x????fn?x?. dx?n?1?n?1dx

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