高中理科数学公式大全(精华版)

高中数学公式大全

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ()B;C A C B A C U U U ?=?() B.C A C B A C U U U ?=?.

3.包含关系

A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?=

4．集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n

–1个；非空的真子集有2n

–2个.

5.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 9.

10.

11. 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；

12.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

16.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2

121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,

则函数)(x f 的对称轴是函数2

b a x +=; 两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称;

若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-

(2)()f a x f x ?-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=

对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =?=-)()(1.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， 0()(0)1,lim 1x g x f x

→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；

（2）0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()

(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 30.分数指数幂

(1)m n a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1

m

n m

n a a

-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 31．根式的性质

（1

）n a =.

（2）当n

a =；

当n

,0||,0a a a a a ≥?==?

-

(1) (0,,)r s r s a a a

a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s

rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.

注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

34.对数的换底公式

log log log m a m N N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. §03. 数 列

39.数列的同项公式与前n 项的和的关系

11

,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

40.等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)2

n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式

1*11()n n n a a a q q n N q

-==?∈； 其前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?. §04. 三角函数

44．常见三角不等式

（1）若(0,

)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θcos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.奇变偶不变，符号看象限

47.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

sin cos a b αα+

=)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b a

?= ). 48.二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=-. 50.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω=；

函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期

T πω

=. 51.正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C

===. 52.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-;

2222cos b c a ca B =+-;

2222cos c a b ab C =+-.

53.面积定理

（1）111sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===. 54.三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+. §05. 平面向量 58.向量的数量积的运算律：

(1) a ·b= b ·a （交换律）;

(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）;

(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.

60．向量平行的坐标表示

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=.

53. a 与b 的数量积(或内积)

a ·b=|a ||b|cos θ．

61. a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.

(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.

63.两向量的夹角公式

cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).

64.平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =?

=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

65.向量的平行与垂直

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则

a||b ?b=λa 12210x y x y ?-=.

a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.

67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(

,)33

x x x y y y G ++++. §06. 不 等 式 71.常用不等式：

（1）,a b R ∈?22

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +

∈

?2

a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （5）b a b a b a +≤+≤-.

72.极值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+

（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.

（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 2

2x a x a a x a ?>?>或x a <-.

76.指数不等式与对数不等式

(1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >?>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>?

.

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >?<;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??

§07. 直线和圆的方程

77.斜率公式

2121

y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

78.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

112121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠;

②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222

||A B C l l A B C ?

=≠； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 83.点到直线的距离

d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

84. 或0<所表示的平面区域

设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ

=+??

=+?.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程

(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程

是22

()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．

(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的

系数．

88.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

89.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;

0=???=相切r d ;

0>???<相交r d . 其中22B A C

Bb Aa d +++=.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ;

条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;

条公切线内切121??-=r r d ;

无公切线内含??-<<210r r d .

91.圆的切线方程

(1)已知圆22

0x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．

(2)已知圆222

x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;

②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.

§08. 圆锥曲线方程

92.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

.

93.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=.

94．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00

221x y a b ?

+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

221x y a b

?

+>. 95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

+=. （3）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是

22222A a B b c +=.

96.双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式

21|()|a PF e x c =+，2

2|()|a PF e x c

=-.

97.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00

221x y a b ?

->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200

22

1x y a b ?

-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

--双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.

100. 抛物线px y 22=的焦半径公式

抛物线22(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212

2. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.

102.二次函数2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.

§09. 立体几何

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．

(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ．

P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 118.共面向量定理

向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+．

推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++

120.空间向量基本定理

如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．

推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.

121.射影公式

已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'

A ，作

B 点在l 上的射影'B ，则

''||cos AB AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则

(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；

(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；

(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；

(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；

123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.

124．空间的线线平行或垂直

设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则

a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ?121212x x y y z z λλλ=??=??=?；

a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=.

125.夹角公式

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则

cos 〈a ，b 〉

.

推论 22

22222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 127．异面直线所成角

cos |cos ,|a b θ=r r

=||||||a b a b ?=?r r r r （其中θ（090θ<≤o o ）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角

sin ||||

AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). 131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?=或cos ||||

m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 134.空间两点间的距离公式

若A 111(,,)x y z ，B 222(,,

)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB =

?

=135.点Q 到直线l 距离

h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).

136.异面直线间的距离

||||

CD n d n ?=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

137.点B 到平面α的距离

||||AB n d n ?=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 146.球的半径是R ，则

其体积343

V R π=, 其表面积24S R π=．

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a

,

a . 148．柱体、锥体的体积 13

V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

§10. 排列组合二项定理

149.分类计数原理（加法原理）

12n N m m m =+++.

150.分步计数原理（乘法原理）

12n N m m m =???.

151.排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.

152.排列恒等式

(1）1(1)m m n n A n m A -=-+; （2）1m

m n n n A A n m

-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;

（5）11m m m n n n

A A mA -+=+. 153.组合数公式

m

n C =m n m m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m

n C 1+. 注:规定10=n C .

155.组合恒等式

（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m m n n n C C m

--=; 156.排列数与组合数的关系

m m n n

A m C =?！ . 161.二项式定理

n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式

r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=.

§11、12. 概率与统计

162.等可能性事件的概率

()m P A n

=. 163.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和

P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．

165.独立事件A ，B 同时发生的概率

P(A ·B)= P(A)·P(B).

166.n 个独立事件同时发生的概率

P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率

()(1).k k n k n n

P k C P P -=- 168.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）0(1,2,

)i P i ≥=; （2）121P P ++=.

169.数学期望 1122n n E x P x P x P ξ=++++

170.数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+.

（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q

p ξ-===，则1E p ξ=

. 171.方差 ()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

172.标准差 σξ=ξD .

173.方差的性质

(1)()2D a b a D ξξ+=；

(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D p ξ=. 174.方差与期望的关系

()2

2D E E ξξξ=-.

175.正态分布密度函数 (

)()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

178.回归直线方程

y a bx =+，其中()()()1

122211n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?---??==?--??=-?∑∑∑∑. 179.相关系数 ()(

)n

i i

x x y y r --=∑ ()(

)n i i x x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. §14. 导 数

191. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

192.几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）.

(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.

(3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='.

(5) x x 1)(ln ='；e a x x

a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.

193.导数的运算法则

（1）'''()u v u v ±=±.

（2）'''()uv u v uv =+. （3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=≠. 194.复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有

导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x

y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

196.判别)(0x f 是极大（小）值的方法

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；

（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.

§15. 复 数

197.复数的相等

,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

198.复数z a bi =+的模（或绝对值）

||z =||a bi +

.

199.复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;

(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;

(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222

()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++. 201.复平面上的两点间的距离公式

12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.

202.向量的垂直

非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则

12OZ OZ ⊥?12z z ?的实部为零?21

z z 为纯虚数?2221212||||||z z z z +=+ ?2221212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=， ①若240b ac ?=->,

则1,22b x a

-±=; ②若240b ac ?=-=,则122b x x a

==-; ③若240b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭

复数根240)x b ac =-<.

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