凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

学生姓名：刘娟 指导教师：张喜善

摘要：凸函数是一种性质特殊的函数，它的诸多性质在许多数学分支中，例如：数学分析、最优化理论、泛函分析等分支中都可以看到其相关的应用。本文将从凸函数的定义性质出发，讨论其在几个比较重要的不等式证明方面的应用，其方法主要是先构造能出一个能够解决问题的凸函数然后从凸函数的性质入手整理化简不等式从而达到解决问题的目的。

关键词：凸函数 定义 性质 不等式证明

引言：凸函数是一类重要的函数，它的应用领域非常广泛，在很多数学问题的分析与证明中我们都需要用到凸函数，特别是在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。凸函数的性质可以解决很多不等式的证明，在证明问题中利用凸函数的性质定理可以使得证明过程更加简洁、巧妙，而证明的关键步骤就是构造出一个能解决问题的凸函数，再运用凸函数的定义及重要性质，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明。本文将从凸函数的定义与性质出发，在了解了凸函数的各个性质之后再研究某些性质在几个比较重要的不等式证明当中是怎样应用的，通过应用凸函数的性质来证明本文例举的不等式我们将看到运用这种方法的简洁与巧妙之处。

1.凸函数的概念

人们常用函数的凸凹性来反映曲线的弯曲方向，这是几何直观上给出的关于函数凸凹性的概念即：曲线上任意两点间的弧段总是在这两点连线的下方，则称具有此种特性的曲线称为凸的，而若曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，则称具有此种特性的函数是凹的。几何上的另一种直观解释是：曲线上任一点的切线总在曲线的下方。

1.1凸函数定义

设f在区间I上有定义，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?

成立，则称f为区间I上的凸函数；若不等式反向，即

1

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?

则称f为区间I上的凹函数。（如果两个不等式改为严格不等式，则相应函数称为严格凸、凹函数）。 1.2定理 设f为区间I上的可导函数，则下列论断相互等价 （1）f为I上的凸函数 （2）f?为I上的增函数

1.3定理 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是 ，x?I. f???x??0（f???x??0）

证明：若f在区间I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是f??0(?0)，再有定理1.2即得证。

此定理用于判定一个函数是否是凸函数，这点在证明当中是经常用到的，它用来判定我们构造出来的函数是否是我们想要的。

2.凸函数的性质

2.1凸函数的运算性质

性质1 若f为区间I上的凸函数，则?f为区间I上的凹函数，反之亦然

证明：因f为凸函数，由定义知，若对区间I上任意两点x1，x2和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?

在上式两边同时乘以?1得：

?f??x1??1???x2?????f?x1????1?????f?x2??

故?f为区间I上的凹函数。同理可得f为区间I上的凹函数，则?f为区间I上的凸函数。

kf?x?为区间I上的凸函数；性质2 若f为区间I上的凸函数，对任意k?0，当k?0时，当k?0时，kf?x?为区间I上的凹函数。

证明：因f为区间I上的凸函数，由定义若对区间I上任意两点x1，x2和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?

2

1)当k?0时，在上式两边同时乘以k得：

kf??x1??1???x2??k??f?x1???1???f?x2?????kf?x1????1????kf?x2??

即kf?x?为凸函数。

2）当k?0时，在上式两边同时乘以k得：

kf??x1??1???x2??k??f?x1???1???f?x2?????kf?x1????1????kf?x2??

即kf?x?为凹函数。

性质3 若f?x?，g?x?为区间I上的凸函数，则线性组合k1f?x??k2g?x?（k1,k2?0）为I上的凸函数，k1f?x??k2g?x?（k1,k2?0）为I上的凹函数。

证明：因为f?x?，g?x?是凸函数，由定义的，若对I上任意两点x1,x2和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2? g??x1??1???x2???g?x1???1???g?x2?

当k1,k2?0时

k1f??x1??1???x2?+k2g??x1??1???x2?

?k1??f?x1???1???f?x2???k2??g?x1???1???g?x2??

=??k1f?x1??k2g?x1????1????k1f?x2??k2g?x2??

即k1f?x??k2g?x?为凸函数 当k1,k2?0时

k1f??x1??1???x2?+k2g??x1??1???x2?

?k1??f?x1???1???f?x2???k2??g?x1???1???g?x2??

=??k1f?x1??k2g?x1????1????k1f?x2??k2g?x2?? 即k1f?x??k2g?x?为凹函数

性质4 若f?x?,g?x?为区间I上的凸函数，则h?x??max?f?x?,g?x??为I上的凸函数。 证明：因为f?x?,g?x?为凸函数，则对I上的任意两点x1,x2和任意实数???0,1?总有

3

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2???h?x1???1???h?x2? g??x1??1???x2???g?x1???1???g?x2???h?x1???1???h?x2?

从而

max?f??x1??1???x2?,g??x1??1???x2??=h??x1??1???x2???h?x1???1???h?x2?

所以h?x??max?f?x?,g?x??为凸函数。

性质5 若f?x?,g?x?都是I上的非负单调递增的凸函数，则h?x??f?x??g?x?也是I上的凸函数。 证明：因为f?x?,g?x?是I上的非负单调递增的函数，则对I上的任意两点x1,x2有

?f?x2??f?x1????g?x2??g?x1???0

即

f?x1??g?x1??f?x2??g?x2??f?x1??g?x2??f?x2??g?x1?

又因为f?x?,g?x?为凸函数，则对上述的x1,x2和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2? g??x1??1???x2???g?x1???1???g?x2?

所以

h??x1??1???x2?=f??x1??1???x2??g??x1??1???x2?

???f?x1???1???f?x2?????g?x1???1???g?x2??

=?f?x1?g?x1????1????f?x2?g?x1??f?x1?g?x2????1???f?x2?g?x2?

22 ??f?x1?g?x1????1????f?x1?g?x1??f?x2?g?x2????1???f?x2?g?x2?

22 ??f?x1?g?x1???f?x2?g?x2???f?x2?g?x2???1???f?x2?g?x2?

22 ??f?x1?g?x1???1???f?x2?g?x2???h?x1???1???h?x2? 即

h??x1??1???x2???h?x1???1???h?x2?

从而h?x?为凸函数。

4

性质6 若??u?为I上的单调递增的凸函数，u?f?x?是I上的凸函数，则复合函数??f?x??是凸函数。

证明：因为f?x?为凸函数，即对任意x1，x2?I和任意实数???0,1?总有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?

而??u?为单调递增的凸函数，则

??f??x1??1???x2??????f?x1???1???f?x2??????f?x1????1?????f?x2??

从而??f?x??是凸函数。

3.凸函数在不等式证明中的应用

3.1凸函数在初等不等式证明中的应用

a?b2例3.11对任意实数a，b有

xe?x1abe?e 2??证明：设f?x??e，则f???x??e，所以当x????,???时f?x??e是凸函数，由凸函数的定

x义，令x1?a，x2?b，??1有 2?1?1??1?1?f?a??1??b??f?a???1??f?b?

?2??2?2??2即

ea?b2?1abe?e 2??例3.12 当xi?0，i?1,2,3?n时有

1111????x1x2xn?nx1x2?xn?x1?x2???xn

n证明：设f?x???lnx，x?0，则f???x??令?i?1?0，则f?x???lnx在x?0上是凸函数。 2x1，则x?x1?x2???xn，则 nn?x?x???xn?f?x1??f?x2????f?xn?

f?12??nn??得

5

ln?x1??ln?x2????ln?xn? ?x?x???xn??ln?12???nn??1?x?x???xn?n ??ln?12?lnxx?x?12nn??即

x1?x2???xn?x1x2?xn

n用

1x?x???xn1替换xi即得 ?nx1x2?xn?12111xin????x1x2xn3.2凸函数在积分不等式证明中的应用 例3.21设f?x?是区间?a,b?上的凸函数，则f?1bf?a??f?b??a?b?（Hadamard） ??fxdx????a2?2?b?a证明：由于f?x?是区间?a,b?上的凸函数，所以

?ba?a?b?,b?时有f?x?dx存在，且当x???2??a?b?a?b?x??a,?故 2???a?b?f????2?即

1?a?b?x?x?1f???f?a?b?x??f?x?

22??2?a?b?f?a?b?x??f?x??2f??

2??而

?baf?x?dx??a?b2af?x?dx??a?bf?x?dx

2b令x?a?b?u得

?则

a?b2af?x?dx???a?b2af?a?b?u?du??a?bf?a?b?x?dx

2a?从而

babb?a?b??a?b?f?x?dx??a?b?f?a?b?x??f?x??dx??a?b2f??dx??b?a?f??22???? 226

1b?a?b?f?f?x?dx ???a2b?a??作变换t?b?x，则有 a?x?f?x?dx??f?ta??1?t?b??a?b?dt??b?a??f?ta??1?t?b?dt

a10b01 ??b?a??0?tf?a???1?t?f?b??dt??b?a?从而

1f?a??f?b?

21bf?a??f?b? ??fxdx?b?a?a2综上所述

1bf?a??f?b??a?b? ??f?fxdx????a2?2?b?a3.3凸函数在几个重要的不等式证明中的应用 例3.31 上例中Hadamard不等式。 例3.32霍尔德（Holder）不等式 设ai?0，bi?0，1?i?n，则

1q11?p??q?p?1其中，??1。 ab?ab???????iiiipqi?1?i?1??i?1??1?1?q?2????1?，则f?x?是x?0?x?0（x?0）q?q??inn1pn1q证明：考虑函数f?x???x，x?0，显然f?x?1上的凸函数，则对所有的xi，ti?0(0?i?n)且

?ti?11qn?1有

1q1q1q??t1x1?t2x2???tnxn???t1x1?t2x2???tnxn

即

?t1x1?t2x2???tnxn?qp1q?t1x1?t2x2???tnxn (?)

1q1q1qnaibi(0?i?n)，则显然有?ti?1代入（*）式得 取xi?p，ti?npaii?1?aii?1???pq?pqpqababab?1?1?2?2???n?n?

npnp?npa1ppa2pan?aiai??ai???i?1i?1?i?1?

7

1q?b1?a2? ?n???n?p?p?a1?paa?i?ia1i?1pq1qpi?1?b2?an??????n?ap?p?2?a?ii?1q1qp?bn?????ap? ?n?q1q又因为

11??1，两边同时乘以pq可得q?p?pq，即q?pq?p，从而上述不等式可化为 pq1?n?q??bq?i?i?1??a1b1?a2b2???anbn1n

?n???ap?q?apii?i?1i?1?111nn即

?apn?1nqnpnqibi????q???i?a?bq??p??q?i????1i?1??ap?ii?i?1??ai???bi?

?i?1??i?1??i?1?2则不等式得证。当p?q?2时，即为柯西不等式?n???a?n2n2ibi???ai?bi

i?1?i?1i?1例3.33 闵可夫斯基（Minkowski）不等式

若p?1，

1p?1q?1，则多任意给的正实数ai，bi（i?1,2?n）有111?n??ap?p?np?p?np?p?i?bi????ai???1??i?1???bi? i?i?1?证明：由霍尔德不等式得

?n?pna?p?1nibi???ai?ai?bi??bp?1i?

i?1i?1?bi?ai?i?11111n ???p?p?n?p?1?q?q?np?p?n?p?1q??ai??1?????ai?bi?i?1??????bi?i?1?????ai?bi??q?ii?1??1111 ????nap?p?n?a?p?q?np?p?n??p?qi???i?bi??i?1??i?1????bi?i?1????ai?bii?1?

??因为?p?1?q?p?pq?q?p?p?q?1??q，而

1p?1q?1，则p?qq?1，从而?p?1?q?p?p?q?1?-q?qq?1?q?1??q?0 8

又因为ai?0,bi?0，则不等式?4．凸函数的局限性

?a?b??ii?1npi???p?p?????ai????bi?成立 ??i?1??i?1?1pn1pn1p由于凸函数性质的特殊性，在数学得许多的领域中应用十分广泛，然而凸函数也有其局限性。在证明中我们注意到要解决问题的重中之重就是找到合适的凸函数，这不是轻而易举能够办到的，因此如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围内凸函数的许多重要性质仍然得以保留就得十分重要了。凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势之一。

通过证明本文列举的不等式我们发现，它们的证明方法都比较类似，都是先找到一个合适的凸函数，然后利用凸函数的一些性质来列出与所要证明的不等式相关的不等式，最后对所列出的不等式进行化简整理进而得证。从上面的例子我们可以看到用凸函数性质来证明不等式的简洁与巧妙之处，看到凸函数在不等式证明中的重要性，当然凸函数作为一类特殊的函数在数学的其他领域中都有着广泛的应用，在此不做深入探究了。

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The properties of convex function and its application in the inequality proof

Student: Liu Juan Tutor: Zhang Xishan

Abstract: convex function is a function of a special nature, it has many properties in many branch of mathematics, such as: mathematical analysis, functional analysis, optimal theory and other related branch . This article will start from the nature of convex function discuss its applications of prove in several important inequalities , and the method is mainly to find the convex function that can solve the problem and then use the properties of this convex function to solve the problem. Keywords:Convex function, definition, nature, inequality .

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8vpp.html