2017-2018学年人教版初中数学八年级数学暑假总复习资料

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我努力，我坚持，我一定能成功！

2017-2018学年人教版初中数学

八年级数学暑假总复习资料

初二：

第一部分 分式

【知识网络】

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a

±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac

÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a

mn 7.负指数幂: a -p =1p a

a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

2

（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）31+-x x （2）4

2||2--x x （3）653222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式

x -84为正； （2）当x 为何值时，分式

2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式3

2+-x x 为非负数. 练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x

（3）x 111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4|1|5+--x x （2）562522

+--x x x

3．解下列不等式

（1）012||≤+-x x （2）0325

2>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则：b

a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y x 4131322

1+- （2）

b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y

x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y

xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出

y x 11+.

3

【例4】已知：21=-x x ，求221x

x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值. 3．已知：311=-b a ，求a

ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求

b a b a 532+-的值. 5．如果21<

x x x |||1|1+---. （三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）

c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1

222--+--x x x x x x x ； （4）a

a -+21,2 题型二：约分

【例2】约分：

（1）322016xy y

x -；（3）n m m n --22；（3）6

222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）42232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-?+； （3）m

n m n m n m n n m ---+-+22； （4）112---a a a ；

4

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)

5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444

(222+-?--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值； （3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值. 题型五：求待定字母的值

【例5】若

111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b ab b b a a ----222； （3）b

a c c

b a

c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2

121111x x x ++++-； （7）)

2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值

（1）1

112421222-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y

x x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值. 3．已知：1

21)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式

2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

5

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---? （3）2425

3])()()()([b a b a b a b a +--+--

（4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x 题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?.

练习：

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(?-+-+-÷?--

（2）322231)()3(-----?n m n m

（3）23232

222)()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）212

22)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）

4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x

6

提示：（1）换元法，设

y x x =+1；（2）裂项法，6

1167++=++x x x . 【例3】解下列方程组

?????????=+=

+=+)3(4111)2(3

111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程

3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程

122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03

2>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程

)0(≠+=--d c d

c x b a x 提示：（1）

d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：

（1）021211=-++-x x x x ；

（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；

（4）171372222--+=--+x x x x x x （5）

2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6

811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程：

（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x

b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程

222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程

1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++1

12无解，试求a 的值.

7

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

231+=x x 二、化归法

例2．解方程：

012112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：

87178=----x x x 四、分子对等法

例4．解方程：

)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法

例5．解方程：

417425254=-+-x x x x 六、分离常数法

例6．解方程：

87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法

例7．解方程：

4

1315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程1

1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

例3．若关于x 分式方程

432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程11

51

221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。

第二部分 反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1-

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.

8

⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限

函数的增减性 o k > 一、三象限

在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <

二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x k y =

中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y =

，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第

二，四象限内，则0

【答案】由反比例函数的定义，得： ???<-=-+01222k k k 解得??

???<=-=0211k k k 或 1-=∴k

1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x

y 1-= 【例2】在反比例函数x

y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >>

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

9

解法一：由题意得111x y -=，221x y -=，3

31x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x

y 1-=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A

解法三：用特殊值法

213321321321,1,1,2

11,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x

m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】

???==??

???=-=+∴??? ??-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ?????==???-=-=??

???=+==+=∴2

211

11121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

【例4】 如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m y =在第一象限的交点，且2=?AOB S ，则m 的值是

_____.

图

解:因为直线m x y +=与双曲线x m y =

过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A A A A x m y m x y =

+=,.所以A A y x m =.

10

o y x y x o y x o y x o A B C D

又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 212121==?=

?.而已知2=?AOB S . 所以4=m .

三、练习题

1.反比例函数x

y 2-=的图像位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限

2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 )

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，

气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A 、不小于

54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 3

5．如图 ，A 、C 是函数x y 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足

为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt Δ

COD 的面积为S 2则 （ ）

A ． S 1 ＞S 2

B ． S 1

C ． S 1=S 2

D ． S 1与S 2的大小关系不能确定

6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1n x

+的图象都经过点A （-2，1）. 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；

（3）△AOB

的面积．

O y x

11

7. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x

的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（12

，m ）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．

O

C

A

B

四、课后作业

1．对与反比例函数x

y 2=，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限

C ．当0>x 时，的增大而增大随x y

D ．当0

2.已知反比例函数()0k y k x

=≠的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ） A 、（2，1） B 、（2，-1） C 、（2，4） D 、（-1，-2） 3．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x k y 2=

没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ）A. 1k +2k =0 B. 1k ·2k <0 C. 1k ·2k >0 D.1k =2k

4. 反比例函数y ＝k x

的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________． 5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝1x

的图象上，则m ＝__________． 6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．

7. 已知反比例函数x

m y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是？

12

8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：

(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

9. 已知3=b ,且反比例函数x

b

y +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x

b

y +=

1，求a 是多少？

第三部分 勾股定理

一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ?+-=，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与

小正方形面积的和为221

422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所

以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

C ． 勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

c

b a

H

G F E

D

C

B A b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b a b

c c b

a

E D C

B

A

13

D ． 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，

90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可

得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”

来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；

② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，

c 为三边的三角形是锐角三角形；

③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，

c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数：

221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间

的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解

直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添

加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°

D C B A A

D B C

10、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

二、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

C B D

A

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例题1例１.在ABC ?中，90C ∠=?．

⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长

⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=

题型二：利用勾股定理测量长度

例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物

的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为

数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

例题3 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，

出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水

池的深度AC.

解析： x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2.

题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题4 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且

AB FB 4

1=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 设：B 长度为4a ，那么FB=a 。

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题5 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

∴x =3(cm),即CE=3 cm

注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题6如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？

（于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。）

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例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以

内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距

离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A 点表示控制灯，BM 表示人的高度，BC ∥MN,BC ⊥AN 当头

（B 点）距离A 有5米时，求BC 的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六：旋转问题：

变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，

根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，

试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.

题型七：关于翻折问题

例1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，

AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，

周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方

向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知

拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题

例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

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一、选择题

1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )

A. 9,12,15

B.5,12,13

C. 6,8,10

D. 3,5,7

3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )

A.可能是锐角三角形

B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形

D.可能是钝角三角形

4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m ，目测点到杆的距离为15m ，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m ） ( )A.20m B.25m C.30m D.35m

5.一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. C. D.

6．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.52

B.3

C.3+2

D.332

二、填空题

7.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 _______ .

(第5题)

（第6题)_

8. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米.

9.已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 .

10.一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 . 11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P 、Q 、K ，若S P ＝4，S Q ＝9，则S k ＝ .

12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 .

13．在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm.

三、解答题

11.P 为正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕B 顺时针旋转90°到△CBE 的位置，若BP ＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积.

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12.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC 边上的高.

13.从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？

13.如下图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他的小屋位于他的南7km 东8km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

1、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，

判断△ABD 的形状，并说明理由。

2、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状.

3、（10分）已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.

试判断△ABC 的形状.

A B 小河

东 北 牧童 小屋

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4、已知：在△ABC 中，∠C=90°，AD 为∠BAC 的角平分线，CD=6cmBD=10cm ，求AC 的长？

5、已知：在△ABC 中，AB=13cm ，AC=5cm ，边上的中线AD=6cm ，

求BC 的长？

6、 已知：在△ABC 中，∠C=90°,BD 、AE 分别是AC 、BC 边的中线，AE=

73, BD=52, 求

AB 边的长？

第四部分

四边形

一、 基础知识

（一）四边形由一般到特殊的演变示意图

（二）特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形

定 义

有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 性 质

1对边平行且相等。 2对角相等，邻角互补。 3对角线互相平分 1四个角都是直角。 2对角线相等。 1四条边都相等。 2两条对角线互相垂直，并

且每一条对角线平分一组对角。 具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。

1两腰相等两底平行 2同一底上的两角相等

3两条对角线相等

1定义： 2判定定理：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

1定义： 2判定定理： （1）对角线相等的平行四边形是矩形。

1定义： 2判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是

(1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。 （2）先证明是菱形再证一个

1定义：先判断是梯形在证明两腰相等。 2同一底上

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判 定 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形。

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。

角是直角。

的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3对角线相等的梯形是等腰梯形。 对称性

轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形

轴对称图形

（三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题

例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABE =∠CDF ，AB= CD.

又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，

∴∠AEB =∠CFD = 90°， ∴△ABE ≌△CDF.

∴∠BAE =∠DCF.

例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴OB = OC.

又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO =∠CFO = 90o. ∵∠BOE =∠COF.

∴△BOE ≌△COF. ∴BE = CF.

评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，

且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.

证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.

又∵AB = DC ，BE = 2EA ，CF = 2FD ，

∴BE = CF. ∵BC = CB ，

∴△BEC ≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB.

例4如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE

是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD ，∠A =∠C.

∵AE = CF ，∴△ABE ≌△CDF.

（图1） C

A

B D

E

F A D B C E

F (图6)

M N

O A B C

D E F （图2） A B C D

图3

E

F

20

（2）解析： 四边形MFNE 是平行四边形.

∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB =∠CFD ，BE = DF.

又∵M 、N 分别是BE 、DF 的中点，∴ME = FN.

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE.

∴∠CFD =∠FBE. ∴EB ∥DF ，即ME ∥FN.

∴四边形MFNE 是平行四边形.

评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.

例5如图7， ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F. 求证：四边形AFCE 是菱形.

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴OA = OC ，∠EOA =∠FOC ，EA = EC.

∴△EOA ≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE 是平行四边形.

又∵EA = EC ， ∴四边形AFCE 是菱形.

例6如图9，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点. （1）如果 ，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.

（1）①AE=CF ；②OE = OF ；③DE ⊥AC ，BF ⊥AC ；④DE ∥BF 等.

（2）①证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB = CD ，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF.

∵AE=CF ，∴AC －AE = AC －CF ，即AF = CE.

∴△DEC ≌△BFA. 例7如图10，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C. （1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ； （2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

解析：（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，

∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.

又∵BC = CB ，AB = DC ，

∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC.

又∵EG ∥AC ，∠ACB =∠GEB.

∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG .

∵EG ∥OC ，EF ∥OG ，

∴四边形EGOF 是平行四边形.

∴OE = OF ，EF = OG.

∴四边形EGOF 的周长 = 2（OG ＋GE ）= 2（OG ＋GB ）= 2OB.

（2）如图11，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C. 求证：四边形EFOG 的周长等于2OB 注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？

例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、 A B C D 图E G O F 图11

B A D

C O F E G 备用图（1）

备用图（2） 图13 图7 A B C D E F O 图8 B C D A E F

21

(2)上），并给予合理的解释.

解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：

方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E 、F ，则

S 四边形ABFE = S 四边形EFCD =4

)(h b a +. 方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE =

21（a ＋b ），连结AE. 则

S △ABE = S 四边形AECD =4

)(h b a +. 方案三：如图14（3），连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的一半.

分析此方案可知，∵AE = EC ，∴S △AEB = S △EBC ，S △AED = S △ECD .

∴S △AEB ＋S △AED = S △EBC ＋S △ECD =

21 S 四边形ABCD .

例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法

示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．

解析：拼法有多种，现列举四例：

三、适时训练

（一）精心选一选

1.下列命题正确的是（ ）

A 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

B 对角线相等的四边形一定是矩形

C 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

D 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( )

A. 6

B. 6

C. 10

D. 4

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，

AB ＝1，则AC 的长为（ ）（A ）1 （B ）1.2 （C ）

3 2

（D ）1.5 5．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ）

（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （

D ）4cm 图14 （1） A B C D

E

F （2） A B C D E （3） A B C

D E 图

15