线性代数第一章习题解答

《线性代数》第一章习题解答

1．解：(1)31542的逆序数=2+0+2+1=5

(2)264315的逆序数=1+4+2+1+0=8 (3)54321的逆序数=4+3+2+1=10

(4)246?(2n?2)(2n)135?(2n?3)(2n?1)=1+2+3+?(2n－1)＝

2．解：四阶行列式中含有a31的项可表示为(?1)其中j1,j2,j4为2，3，4的全排列。

故带有负号的项有：?a12a24a31a43，?a13a22a31a44，?a14a23a31a42

?(j1j21j4)n(n?1) 2a1j1a2j2a31a4j4，

x21x13x2443．解：展开式中含有x的项必须每行都取含x的项相乘，

5x6x1743x即?x?3x?6x?x?18x，

含有x的项为(?1)?(4231)x?3x?6x?7?(?1)?(1324)x?2?x?x??128x

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关于“如何做线性代数习题”的一些说明：每个人都有自己的一套学习方法，并经

过不断借鉴他人优点、总结自我经验，不断完善学习方法。做习题是学习方法中一部分。

现介绍一种简单的习题解答方法：拿到习题后不要立即动手，应当先观察，看题目考你的是哪个知识点；再思考，初步猜测要用哪些方法（所用定理、公式、解决技巧）来操作，然后动手验证刚才猜测的方法是否可行，可行则解答之，不可行则换一种方法，直到找到答案。简单来说，这种方法步骤概括为：一停、二看、三想、四动手。

线性代数的计算题一般通过多做练习能很好的掌握，证明题对非数学专业同学而言要稍难一些，但这仅仅是第一印象，事实证明只要认真听课、勤做练习、自我总结，每位同学都能解决大部分证明题（非数学专业考试试题中证明题往往只占少数分值），即使自己不会做的我们可以查阅参考资料是如何做的（对于教材每章的习题来说，教材正文中的例题也是常用的参考资料），然后记住这种方法，记得多了做证明题的能力自然得到提高。（以上方法仅供参考）

不管用什么方法学习线性代数，最核心的部分是：勤奋！勤奋是学好所有学科的根本，也是决定一个人前途的根本，从现在开始就让我们勤奋学习，刻苦拼搏，夺取更多的胜利吧！

4．证明：（反证法）假设该行列式不为零，则不为零的元素的个数≥n，从而为零的元素的个数≤n?n，与已知行列式中有n?n个以上元素为零矛盾。所以该行列式为零。 5．解：（1）

2225?2?3?6?5??24 63a2?ab?b2（2）

a?ba2?ab?b2?(a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)(a2?ab?b2)

a?b?a3?b3?(a3?b3)?2b3

a2（3）

abab?0 b2213（4）1r3?2r1521r1?2r24210r3?r10?9503?12??45 ?55r1?r311?3235（5）42230?4?7?0?4?7?37

r?2r1r?2r2342211?3301111aa2?bc（6）1bb2?acr2?r1r2?r11aa2?bc1cc2?ab0b?a(b?a)(a?b?c)

0c?a(c?a)(a?b?c)1aa2?bcr2提取　(b?a)r3提取(c?a)(b?a)(c?a)01(a?b?c)?0

01(a?b?c)78（7）

543432462557345r2?r11123r3?r411?3342501r2?2r30r4?5r34r1?4r35r1?2r40r1?r20r?r33201040?4?1120

0?1025300?1110100按第一行展开00－1

0?10420203按第三列展开11＝－2 4212 （8）

132547395816r4?r1?r27r3?r111200231596r2?2r12260?4?61000231134r2?2r1

226r3?2r20?4?61000231134r4?r30?4?20?4?61000231134?16

0?4?20?4a?b?c?xabca?b?c?x?xcb

a?b?c?xc?xaa?b?c?xba?x?xabca?xcbc1?c2?c3?c4（9）

bc?xacba?x提取(a?b?c?x)　　 r4?r1r2?r1r3?r11abc0?x?ac?bb?c (a?b?c?x)0c?a?x?ba?c0b?aa?b?x?c1a?cb?acc3?c20?x?a?c?b?x?a?b?cb?c (a?b?c?x)c2?c400?x?b?a?ca?c0?x?a?c?b0?x?c1a?cb?acc2?c3?c4000b?a?x?c (a?b?c?x)00?x?b?a?ca?c0?x?a?c?b0?x?c按第一列展开0(a?b?c?x)0b?a?x?ca?c?x?c

0?x?b?a|c?x?a?c?b0?(?1)?(321)(a?b?c?x)(?x?a?c?b)(?x?a?b?c)(b?c?a?x) ?(a?b?c?x)(b?a?c?x)(c?a?b?x)(a?b?c?x)

6．解：(1) 证明：

a?b?2cccab2a?b?cb

aa?2b?c1abc1?c2?c3并提取公因式2(a?b?c)12a?b?cb

1aa?2b?cc2?c11ab2(a?b?c)0a?b?c0?2(a?b?c)3

c3?c100a?b?cax?byay?bzaz?bx(2)ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bz

行列式性质5axay?bzaz?bxbyay?bzaz?bxayaz?bxax?by+bzaz?bxax?by azax?byay?bzbxax?byay?bzxay?bzaz?bxyay?bzaz?bxaz?bxax?by ax?byay?bz提取公因式ayaz?bxax?by+bzzax?byay?bzxxayzay?bzazax?byayyayaz?bx+bz行列式性质5xzay?bzbxaz?bxby

ax?bybzybzaz?bxaz?bxax+ayxazax?by+bzbxax?by

xbyay?bzaxay?bzzyzaz?bx xay?bza2yaz?bxx?0?0?b2zzax?byyxxa2yzy+bz2xax?by

yay?bzz行列式性质5ayazzxbzx+a2ybxx

axyzbyyzxazyxyzxyyzxzx yzbxax+b2zxyayxby ybzxy z xa3yzyzxzx?0?0?b3zxyx(a3?b3)yz 第二个行列式 c3?c2,c2?c1(3)用数学归纳法

①当n?1时，Dn?2x?2x?(1?1)x1，命题成立； ②设n?k时命题成立，即Dk?(k?1)xk，则

n?k?1时，

2xx200?0012xx20?00D?012xx2?00n???????

0000?2xx20000?12x(k?1)?(k?1)2xx200?0012xx20?00?2x012xx2?00???????

0000?2xx20000?12xk?k1x20?0002xx2?00?x2?????? 000?2xx2000?12xk?k?2xDk?x2Dk?1?2x?(k?1)xk?x2?kxk?1 (2k?2?k)xk?1?(k?2)xk?1?(n?1)xn

综合①、②可得对一切自然数n，都有Dn?(n?1)xn. 7．解：

144?44n?3414?4r4(1)D1?4

1?ri(i?2,3,?,n)n?444?????444?144n?34n?31441??444n?344?1????

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