不等式的所有知识点总结与经典习题讲解

不等式知识点总结

一、不等式的性质：

1、对称性：a?b?b?a,a?b?b?a 2、传递性：a?b,b?c?a?c

3、加法法则：（１）、a?b?a?c?b?c； （２）、a?b,c?d?a?c?b?d ４、移项法则：a?b?c?a?c?b

５、乘法法则：（１）若a?b且c?0则ac?bc；若a?b且c?0则ac?bc （２）、若a?b?0且c?d?0则ac?bd；若a?b?0且 c?d?0则ac?bd ６、倒数法则：若a?b且ab?0则

11? ab７、乘方和开方法则：若a?b?0且n?N?则an?bn； 若a?b?0且n?N?，则na?nb 二、算术平均数和几何平均数： １、（１）、算术平均数

a1?a2?????ann(ai?0)

(ai?0)

（２）、几何平均数：na1?a2?????an２、对于任意的实数a,b，都有a2?b?2ab（当且仅当a?b时等号

成立）

３、均值定理：若a,b?R，则

?a?b?ab 2a?b?ab??４、均值定理的推广：

112?ab５、求函数的最值问题：对于正数x,y，有：

2a2?b2 2（１）、如果xy?P是定值，则x?y有最小值2P

S2（２）、如果x?y?S是定值，则xy有最大值

41

注：（１）、上述结论即积定和最小，和定积最大；

（２）、求最值的条件是：一、二定、三相等 ６、若x?0，则x?11?2；若x?0，则x??2 xx７、函数y?x?a(a?0)的单调性： x 若a?0，则函数在区间???,0?和?0,???上均为增函；

??a,???上为增函数

在区间?0,a?和??a,0?上为减函数

若a?0，则函数在区间??,?a和

?三、绝对值不等式：

１、绝对值的基本性质：（１）、a?0（当且仅当a?0时取等号） （２）、a??a；（３）、?a?a?a；（４）、a （５）、?a?a,a?b?b?a ２、绝对值的运算性质：

2?a2

aa?（１）、a?b?a?b?a?b；（２）、ab?a?b；（３）、bb四、不等式的证明方法：

(b?0)

主要有：比较法、综合法、分析法、换元法（书P27例１）、反证法、判别式法、放缩法、构造函数法（书P17９）

例（判别式法）：设a,b,c?R，证明：a?ac?c?3b(a?b?c)?0，并指出等号何

时成立。

证明：令f(a)?a?(c?3b)a?(c?3b?3bc)

则??(3b?c)?4(c?3b?3bc)??3(b?c)，因为b,c?R，

所以??0，所以f(a)?0，即a?ac?c?3b(a?b?c)?0恒成立

当??0，即b?c?0时，f(a)?(a?b)?0，即a??b?c时，不等式取等号。 五、不等式的解法：

１、一元一次不等式２、一元二次不等式３、绝对值不等式４、分式和高次不等式 ５、无理不等式６、指数和对数不等式

2

222222222222

不等式证明典型例题

例1 若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）． 分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a?1时，因为 0?1?x?1,1?x?1，

所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x2)?0． （2）当0?a?1时，因为 0?1?x?1,1?x?1

所以 loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0． 综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)．

分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法．

因为 loga(1?x)?loga(1?x) ?lg(1?x)lg(1?x)? lgalga?1?lg(1?x)?lg(1?x)??1??lg(1?x)?lg(1?x)???1lg(1?x2)?0， lgalgalga所以loga(1?x)?loga(1?x)．

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba.

aabbaaaa?b?bb?a?()a?b∵a?b?0，∴?1,a?b?0. ∴()a?b?1. 证明：ba?abbbabaabb∴ba?1.又∵abba?0， ∴aabb?abba.. aba4?b4a?b4?()（当且仅当a?b时取等号） 例3 对于任意实数a、b，求证

22证明：∵ a2?b2?2ab（当且仅当a2?b2时取等号）

a4?b4a2?b22?() 两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，即：

2244442223

又：∵ a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取等号）两边同加

a2?b2a?b2a2?b22a?b4(a?b):2(a?b)?(a?b) ∴ ?()∴ ()?()

222222222a4?b4a?b4由（1）和（2）可得?()（当且仅当a?b时取等号）．

22例4 已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求证证明：∵a?b?c?1 ∴

111???9. abc111a?b?ca?b?ca?b?c ?????abcabcbcacabbacacb?)?(?1?)?(??1)?3?(?)?(?)?(?) aabbccabacbc ?(1?∵

babacacb??2??2，同理：??2，??2。 ababacbc111???3?2?2?2?9. abc111＞0. ??a?bb?cc?a∴

例５ 已知a?b?c，求证：证明一：(分析法书写过程) 为了证明

111＞0 ??a?bb?cc?a111＞ ?a?bb?ca?c∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0

只需要证明∴∴

111111＞0∴＞成立 ?,?a?ba?cb?ca?bb?ca?c111＞0成立 ??a?bb?cc?a证明二：(综合法书写过程)

∵a?b?c ∴a?c?a?b?0,b?c?0 ∴∴

111＞ ＞0 a?ba?cb?c111111＞成立 ∴＞0成立 ???a?bb?ca?ca?bb?cc?a4

22例6 若a?0,b?0，且2c?a?b，求证：c?c?ab?a?c?c?ab. 22证明：为要证c?c?ab?a?c?c?ab.

222只需证?c?ab?a?c?c?ab， 即证a?c?c?ab，

也就是(a?c)2?c2?ab，即证a2?2ac??ab，即证2ac?a(a?b)， ∵a?0,2c?a?b,b?0， ∴c?a?b?ab，故c2?ab即有c2?ab?0， 2又 由2c?a?b可得2ac?a(a?b)成立，

22∴ 所求不等式c?c?ab?a?c?c?ab成立．

例7 若a3?b3?2，求证a?b?2．

证法一：假设a?b?2，则a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2(a2?ab?b2)， 而a3?b3?2，故(a2?ab?b2)?1．

∴1?ab?a2?b2?2ab．从而ab?1， ∴a2?b2?1?ab?2． ∴(a?b)2?a2?b2?2ab?2?2ab?4． ∴a?b?2． 这与假设矛盾，故a?b?2． 证法二：假设a?b?2，则a?2?b，

故2?a3?b3?(2?b)3?b3，即2?8?12b?6b2，即(b?1)2?0， 这不可能．从而a?b?2．

证法三：假设a?b?2，则(a?b)3?a3?b3?3ab(a?b)?8． 由a3?b3?2，得3ab(a?b)?6，故ab(a?b)?2． 又a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2，

∴ab(a?b)?(a?b)(a2?ab?b2)． ∴a2?ab?b2?ab，即(a?b)2?0． 这不可能，故a?b?2．

例8 设x、y为正数，求证x2?y2?3x3?y3．

5

分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．

证明：要证x2?y2?3x3?y3，只需证(x2?y2)3?(x3?y3)2， 即证x6?3x4y2?3x2y4?y6?x6?2x3y3?y6，

化简得3x4y2?3x2y4?2x3y3，x2y2(3x2?2xy?3y2)?0． ∵??4y2?4?3?3y2?0， ∴3x2?2xy?3y2?0． ∴x2y2(3x2?2xy?3y2)?0．∴原不等式成立． 例9 已知1?x2?y2?2，求证

1?x2?xy?y2?3． 2证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r． ∵1?x2?y2?2，

∴可设x?rcos?，y?rsin?，其中1?r?2，0???2?．

1∴x2?xy?y2?r2?r2sin?cos??r2(1?sin2?)．

2由

113113?1?sin2??，故r2?r2(1?sin2?)?r2． 2222221131而r2?，r2?3，故?x2?xy?y2?3．

2222例10 设n是正整数，求证分析：要求一个n项分式

1111??????1． 2n?1n?22n111的范围，它的和又求不出来，可以????n?1n?22n采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由2n?n?k?n(k?1,2,?,n)，得当k?1时，当k?2时，

111??． 2nn?kn111??； 2nn?1n111?? 2nn?2n……

6

当k?n时，∴

111??． 2nn?nn1n111n????????1． 22nn?1n?22nn(a?b)2a?b(a?b)2例11 已知a?b?0，求证：． ??ab?8a28b(a?b)2a?b(a?b)2证明：欲证， ??ab?8a28b(a?b)2(a?b)2只须证． ?a?b?2ab?4a4b?a?b??a?b?2????(a?b)?即要证?????， 2a2b????22即要证

a?b2a?a?b?a?b2b． 即要证

a?b2aba?1?aba?b2b，

即要证

a?ba?2?a?bb． 即要证1??2??1，即

ba?1?． ab即要证

ba?1? （*）∵a?b?0，∴（*）显然成立， ab(a?b)2a?b(a?b)2故 ??ab?8a28b例12 如果x，y，z?R，求证：x8?y8?z8?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3． 证明：∵x8?y8?z8?(x4)2?(y4)2?(z4)2

?x4y4?y4x4?z4x4

?(x2y2)2?(y2z2)2?(z2x2)2 ?x2y2?y2z2?y2z2?z2x2?z2x2?x2y2 ?(xy2z)2?(yz2x)2?(zx2y)2 ?xy2z?yz2x?yz2x?zx2y?zx2y?xy2z ?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3．

∴x8?y8?z8?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3．

7

例13 已知0?a?1，0?b?1，0?c?1，求证：在(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a三数中，

1不可能都大于．

4证明：假设(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a三数都大于即(1?a)b?1， 4111，(1?b)c?，(1?c)a?． 444又∵0?a?1，0?b?1，0?c?1， ∴(1?a)b?111，(1?b)c?，(1?c)a?． 2223 ① 2∴(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?又∵(1?a)b?1?a?b1?b?c1?c?a，(1?b)c?，(1?c)a?． 2223 2以上三式相加，即得：(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?②显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证． 例14 已知a、b、c都是正数，求证：2??a?b??a?b?c3??ab??3??abc?．

3?2????a?b??a?b?c3??abc?， 证法一：要证2???ab?3?3?2???只需证a?b?2ab?a?b?c?33abc，

即?2ab?c?33abc，移项，得c?2ab?33abc． 由a、b、c为正数，得c?2ab?c?ab?ab?33abc． ∴原不等式成立．

证法二：∵a、b、c为正数，

?c?ab?ab?33cab?ab?33abc．

即c?2ab?33abc，故?2ab?c?33abc． ?a?b?2ab?a?b?c?33abc，

8

a?b?a?b??a?b?c3??2??abc?．说明：题中给出的，ab，??ab?3?32?2???a?b?c3，abc，只因为a、b、c都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理3一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．

例15 已知a?0，b?0，且a?b?1．求证：0?证明：令a?sec2?，b?tan2?，且0???111(a?)(b?)?1． aab?， 2111111则(a?)(b?)?(sec??)?(tan??) asec?tan?sec2?ab?cos2?(21sin?cos??cos?)?(?) cos?cos?sin?sin2?1?cos????sin?

cos?sin?cos?∵0????111，∴0?sin??1，即0?(a?)(b?)?1成立．

a2ab例16 已知x是不等于1的正数，n是正整数，求证(1?xn)(1?x)n?2n?1?xn． 证明：∵x是不等于1的正数， ∴1?x?2x?0，

∴(1?x)n?2nxn． ① 又1?xn?2xn?0． ② 将式①，②两边分别相乘得

(1?xn)(1?x)n?2xn?2n?xn， ∴(1?xn)(1?x)n?2n?1?xn．

例17 已知，x，y，z?R?，且x?y?z?1，求证x?y?z?3． 证明：要证x?y?z?3， 只需证x?y?z?2(xy?只需证xy?xz?yz?1．∵x，y，z?R?， ∴x?y?2xy，x?z?2xz，y?z?2yz， ∴2(x?y?z)?2(xy?xz?9

xz?yz)?3，

yz)，

∴xy?xz?yz?1成立． ∴x?y?z?3． 例18 求证1?证明：∵

111?????2． 22223n111111?????(n?2)， n2nnn(n?1)n?1n∴1?

1?1111?1?11??11??????1?????????2??2． ??????22223nn?12??23??n?1n?例19 在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若A?C?2B，求证a4?c4?2b4．

分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．

?1证明：∵A?C???B?2B，∴B?，cosB?．

32由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB?a2?c2?ac ∴a2?c2?b2?ac， ∴a4?c4?(a2?c2)2?2a2c2

=(a2?c2?2ac)(a2?c2?2ac) ?[b2?(2?1)ac]?[b2?(2?1)ac] ?b4?2ac?b2?a2c2 ??(ac?b)2?2b4?2b4

高中数学不等式精讲

一、求取值范围

1、已知?1?x?y?1,1?x?y?3，求3x?y的取值范围。 解： 3x?y?1*(x?y)?2*(x?y)

根据已知条件：?1?1*2?3x?y?1?2*3,1?3x?y?7 所以3x?y的取值范围是?1,7?

2、已知a?b?c，且a?b?c?0，求c/a的取值范围。

10

解：由已知条件，显然a?0,c?0

?b?c,?a?2c?a?b?c?0,?a?0,?c/a??1/2 ?a?b,?2a?c?a?b?c?0,c??2a,?a?0,?c/a??2

综上所述c/a的取值范围是??2,?1/2?

3、正数x,y满足x?2y?1，求1/x?1/y的最小值。

解：1/x?1/y?1*(1/x?1/y)?(x?2y)(1/x?1/y)?1?x/y?2y/x?2 ?3?2(x/y)(2y/x)?3?22（?x,y为正数）

4、设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，求c的取值范围。 解：方程x2?(y?1)2?1表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线

x?y?c?0（c为常数）与圆在第二象限相切时，c取到最小值；（此时，切点的坐

标(x,y)满足x?y?c?0，其它圆上的点都满足x?y?c?0（因为在直线的上方），当c增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足x?y?c?0， 因此：0?(1?2)?cmin?0,cmin?2?1 所以c的取值范围是

y x

?2?1,??

?5、已知函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范围。

解：由习已知得：1?a?b?2,2?a?b?5 设：f(?3)?9a?3b?m(a?b)?n(a?b)???m?n?9?m?3??

?m?n??3?n?6 ?f(?3)?6*f(?1)?3*f(1),?12?f(?3)?27

所以f(?3)的取值范围是?12,27?

6、已知：a、b都是正数，且a?b?1，??a?211，??b?，求???的最小值 ab11?a?b??4 解：?a,b是正数，?ab????,?24ab???????a?1111a?b1?b??(a?b)?(?)?1??1??5 abababab11

????的最小值是5，（当且仅当a?b?1/2时）。

7、已知集合A?x|x2?5x?4?0与B?x|x2?2ax?a?2?0，若B?A，求

????a的取值范围。

解：x2?5x?4?(x?4)(x?1)?0,1?x?4,?A??x|1?x?4? 设y?x2?2ax?a?2?（*）

当B??，即方程（*）无解，显然B?A成立，由??0得 4a2?4(a?2)?0，解得?1?a?2?(1)

当B??，且B?A成立，即：?x|x1?x?x2???x|1?x?4? 根据图像得出：

y X1 x2 o 1 4 x ?2?1?2a*1?a?2?0?18 ?42?2a*4?a?2?0，解得1?a??(2)

7??2a?1??4?2? 综合（1）（2）两式，得a的取值范围为??1,18/7?。

8、若关于x的方程4x?a?2x?a?1?0有实数解，求实数a的取值范围。

解一：设t?2x，?2x?0,?t?0，原题转换为求方程t2?at?a?1?0在?0,???上有解。

共有两种情况，一种是有两个根，一种是只

有一个根（如图所示），由二次函数的图像和 o x o x y y 性质，得方程t2?at?a?1?0在?0,???上有实数解的充要条件为： ???a2?4(a?1)?0????a2?4(a?1)?0?a 注：两组不等式分别对应两个图 或????02f(0)?a?1?0????f(0)?a?1?0解得?1?a?2?22或a??1,即a?2?22 所以a的取值范围是??,2?22

??1?t2(t?0) 解二：由方程t?at?a?1?0得a??1?t212

1?t2 函数f(t)??(t?0)的值域就是a的取值范围。

1?t1?t2?(t2?1)?22?2???a??????(t?1)???(t?1)??2?1?t1?tt?1?t?1? ????

??(22?2)?2?22所以a的取值范围是??,2?22

??二、解不等式

1、(x?2)x2?2x?3?0 解：不等式f(x)?g(x)?0与??f(x)?0或g(x)?0同解，也可以这样理解：

g(x)?0? 符号“?”是由符号“>”“=”合成的，故不等式f(x)?g(x)?0可转化为

f(x)?g(x)?0 或f(x)?g(x)?0。

解得：原不等式的解集为?x|x?3或x??1?

22?x2?3x?2x2?3x?2?(x?3x?2)(x?2x?3)?0?0.解：2?0??22、2?

x?2x?3x?2x?3??x?2x?3?0?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)?0，用根轴法（零点分段法）画图如下： ??(x?3)(x?1)?0 + -1 - 1 + 2 - 3 + ?原不等式的解集为?x|?1?x?1或2?x?3?。

3、x2?1?ax?1,(a?0)

2解：原式等价于x?1?1?ax ?x2?1?1,?1?ax?1，即ax?0 注：此为关键

?x2?1?(1?ax)2解得： ?a?0,?x?0?原不等式等价于不等式组?x?0??2a??当0?a?1时，原不等式解集为x|0?x???2?1?a?? ??当a?1时，原不等式解集为?x|x?0??13

4、(x?2)(ax?2)?0

解：当a?0时，原不等式化为x?2?0，得x?2； 当a?0时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，得

2a2?x?2； a2； a 当0?a?1时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，得x?2或x? 当a?1时，原不等式化为(x?2)2?0，得x?2； 当a?1时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，得x?2a2a2或x?2 a??? 综合上面各式，得原不等式的解集为：??

???5、关于x的不等式ax?b?0的解集为?1,???，求解：由题意得：a?0，且a?b 则不等式

ax?b?0的解集。 x?2同解 得所求解集为?x|x??1或x?2?

?(ax?b)(x?2)?0ax?b?0与不等式组?x?2?x?2?06、已知a?0且a?1，关于x的不等式ax?1的解集是xx?0，解关于x的不等式

??1loga(x?)?0的解集。

x解：?关于x的不等式ax?1的解集是xx?0，?a?1，

?0?x?111?5xloga(x?)?0??1??1?x?x2?x?x?1??或1?x?1?5 2? 原不等式的解集是(?1,1?25)?(1,1?25)。

三、证明题

1、已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2

证一：a ?14

2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)

ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?b?b?a)?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(b?c)?ca(a?b)

?a(a?b)(b?c)?c(b?c)(b?a)?(a?b)(b?c)(a?c)?0,(?a?b?c)

?ab2?bc2?ca2，证毕。

?a2b?b2c?c2a证二：a ?2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2?a2(b?c)?b2(c?a)?c2(a?b)

a2(b?c)?b2(c?b?b?a)?c2(a?b)?(b?c)(a2?b2)?(a?b)(c2?b2)

?(a?b)(b?c)(a?c)?0

?(b?c)(a?b)(a?b)?(a?b)(b?c)(b?c) ?a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2，证毕。

bn?1an?1112、设a?b?0,n为偶数,证明 n?n??

ababbn?1an?111(an?bn)(an?1?bn?1)证： n?n??? . nab(ab)ab ①当a?0,b?0时, (ab)n?0,(an?bn)(an?1?bn?1)?0 ,

(an?bn)(an?1?bn?1)bn?1an?111 ∴?0 ,故n?n?? ;

(ab)nabab ②当a,b有一个负值时,不妨设a ∵n为偶数时,∴(an?0,b?0,且a?b?0,即a?|b| .

?bn)(an?1?bn?1)?0 ,且(ab)n?0

(an?bn)(an?1?bn?1)bn?1an?111∴?0 ,故n?n?? . n(ab)abab 综合①②可知,原不等式成立

注：必须要考虑到已知条件a?b?0，分类讨论，否则不能直接得出(a0 3、求证：证：设向量

2n?bn)(an?1?bn?1)?a2?16?(a?4)2?36?229

?????????p?(a,4),q?(4?a,6) ,由 |p|?|q|?|p?q|,得

2??????a?16?(a?4)?36?|p|?|q|?|p?q|

?|(a,4)?(4?a,6)|?|(4,10)|?16?100?229 ???4)，q?(?12,6)，p、q方向相同，取等号。 注意：当p∥q时，即a??8，p?(?8，当利用公式|p|?|q|?|p?q|证明时，会得：???a?16?(a?4)?36?|p|?|q|

2215

??? ?|p?q|?|(a,4)?(a?4,6)|?|(4,?2)|?16?4?25的错误结论，因为这里取等号 ?????? 的条件是p∥q，且p、q方向相反，根据题设条件，p∥q时，方向相同，故取不到等号，

计算的结果也使不等式范围缩小了。 4、求证：1?1111 （n?2） ?????2?2232n2n证一：?1111（n?2） ???2nn(n?1)n?1n1111111111 ?????1?(?)?(?)?????2?22223n1223n?1nn ?1? ?原不等式成立，证毕。

证二：当n?2时，原不等式为：1?11，显然成立； ?2?222 假设当n取k-1时，原不等式成立，即1?1111成立，则 ?????2?22223(k?1)k?1111111k2?k?1?2?2??2?2? 1?2?2??? 2223(k?1)kk?1k(k?1)k ?2?k(k?1)1111，即n取k时原不等式也成立。 ??2???2?222(k?1)k(k?1)kk(k?1)kk 综上，对于任意n（n?2）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设证：|f?x??x2?x?13，实数a满足x?a?1，求证：f?x??f?a??2?a?1? f(x)?f(a)|?|x2?x?13?a2?a?13|?|x2?a2?(x?a)|

x?a?1|?|(x?a)?2a?1|

=|(x?a)(x?a?1)|?|?当x?a?0，|?当x?a?0，|?当x?a?0，|f(x)?f(a)|?|(x?a)?2a?1|?|2a|?2(|a|?1) f(x)?f(a)|?|(x?a)?2a?1|?|2a?1|?2(|a|?1)

f(x)?f(a)|?|(x?a)?2a?1|?|2a?(1?|x?a|)|?2(|a|?1)

综合???式情况，原不等式成立。证毕 注：??式的最后一步省略了对a?0,a?0,a?0的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用

16

a,b同号?|a?b|?|a|?|b|?|| a,b异号?|a?b|?|a|?|b|?||6、已知：xa|?|b||?|a?b|;

a|?|b||?|a?b|

?0,y?0,x?y,且x?y?x2?y2?xy，求证：1?x?y?y?(x?y)2?xy，即xy?(x?y)2?(x?y)??

24 3证：由已知得：x??x?y? ?x?y，及基本不等式?xy????2? 解得x??x?y?2，代入式?得：???(x?y)?(x?y)

?2?2y?42； ?x?0,y?0,?xy?0，由式?得(x?y)?(x?y)?0，?x?y?1 3x?y?4。 证毕。 3 综上得：1?7、已知a,b,c?0,abc?1,证明：

1111111???(??)

a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)2abc证：?1abcbc11， ????a3(b?c)a3(b?c)a2(b?c)a21?1bc

11?11?111?11?1???????????, ?，（?a,b,c?0）同理得： 3211a(b?c)4?bc?a4?bc?a?bc1111111111 ?，?(?)??(?)?? 33b(c?a)4acbc(a?b)4abc1111111111???(??)??? 333a(b?c)b(c?a)c(a?b)2abcabc

???式两边相加，得

?1111111???(??)所以原不等式成立，证毕。

a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)2abc当且仅当a?b?c

注：“

111k?11?”的来由：不等式2??k????24a1?1a?bc?bc不等式——练习

一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）

17

1. 在平面直角坐标系中，若不等式组面积等于2，则a的值为( ) (A)-5

(B)1

(C)2

(D)3

(a为常数)所表示的平面区域的

2.在R上定义运算a*b=a(1-b),则满足(x-2)*(x+2)>0的实数x的取值范围为( ) (A)（0，2） (B)（-2，1） (C)（-∞，-2）∪(1,+∞) (D)（-1，2） 3. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) (A)2 000元

(B)2 200元 (C)2 400元

(D)2 800元

4. 某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料

1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( ) (A)12万元

(B)20万元

(C)25万元

(D)27万元

5.若不等式［(1-a)n-a］lga<0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是( )

18

2|x?a|?2?x6.若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是

57(?,2)(?,2)（ ） A．4B．4 9(?,2)C．4 7(?,3)D．4

二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）

7.定义在R上的单调递减函数y?f(x)满足f(1?x)??f(1?x)，且对于任意

yx,y?R，不等式f(x?2x)?f(y?2y)?0恒成立，则当x?1时，x的取值范围

22为 。

ìx≥0,???íx-y-1≥0,????3x-2y-6≤0所表示的平面区域的面积等于 . 8.不等式组?1?xx9.不等式的解集是_____.

三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)

10.若a∈［1,3］时,不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x的取值范围. 11.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的,面积为200平方米的十字形地带.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元. (1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；

19

(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值.

x2?c3f?x??0?fx???ax?b为奇函数，f?1??f?3?，且不等式2的解集12.已知函数

是

??2,?1???2,4?．

（1）求证：f(2)?0； （2）求a,b,c的值；

（3）是否存在实数m使不等式

在，

f??2?sin????m2?32对一切??R成立？若存

求出m的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案1. 【解析】选D.根据定义：（x-2)*(x+2)=(x-2)·［1-(x+2)］=-(x-2)(x+1)>0,即(x-2)(x+1)<0.解得-1

1(a+1)×1=2，解得:a=3. 220

3. 【解析】选B.设使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，z=400x+300y的最小值，可求出最优解为(4,2),故zmin=2 200. 4. 【解析】选D.设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系

求

目标函数z=5x+3y.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，

经验证知，当x=3,y=4时,zmax=27万元.

5. 【解析】选C.当00,即a<(1-a)n恒成立，又1-a>0，∴(1-a)n在［1,+∞)上

为增函数，∴［(1-a)n］min=1-a, ∴a<1-a,得01时，lga>0，∴有(1-a)n-a<0，即a>(1-a)n对任意正整数n恒成立，又1-a<0,∴(1-a)n在［1,+∞）上为减函数，

∴［（1-a）n］max=1-a,∴有a>1-a,得a>, 又a>1,∴a>1.综上可知01.

6. C 7. [?1,3] 8. 4 9.

21

?xx??1或0?x?1?;

10. 【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a∈［1,3］时f(a)>0恒成立.

2??f(1)?x?x?2?0??,2??f(3)?3x?x?2?0得x>2或x<-1.∴实数x的取值范围是x>2或x<-1. ?x?2或x??1???,2x?或x??1?3?11.

[解析](1)设AM?y,则x2?4xy?200.?y?50x?.?y?0,?0?x?102,x4 1?S?4200x2?210?4?xy?80?4?(y2)21?4000x2?4?105?2?38000(0?x?102).xS?4000x2?4?105??24000x2?1?380002x400000?38000?118000, 2x当且仅当x?10时等号成立,即x?10米时,S有最小值118000元.?f(2)?0?f(?2)?0f(x)12.解答：（1）?，是奇函数得f(2)?0a?2,b?0,c??4错题借鉴

（2）

m （3）不存在

一、选择题：

1．（如中）设f(x)?lgx,若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是

A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1

错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数f(x)?lgx的图象,由图可得出选D.

22

2．（如中）设x,y?R,则使x?y?1成立的充分不必要条件是

A x?y?1 B x?11或y? C x?1 D x<-1 22错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。

3．（如中）不等式(x?1)x?2?0的解集是

A {x|x?1} B {x|x?1} C {x|x??2且x?1} D {x|x??2或x?1}

错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。 4．（如中）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则

A x?a?ba?ba?ba?b B x? C x? D x? 2222错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。 5．（如中）已知?1?a?b?3且2?a?b?4，则2a+3b的取值范围是

A (?1317711713913,) B (?,) C (?,) D (?,) 22222222错解：对条件“?1?a?b?3且2?a?b?4”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=求出结果为D。

51(a+b)?(a-b),226．（石庄中学）若不等式ax2+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ）

A a≤-

111111或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥ 222222正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

7．（石庄中学）已知函数y=㏒1(3x2?ax?5)在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的

2取值范围（ ）

A a≤-6 B -60＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D －8≤a≤-6

23

正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 8．（石庄中学）已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=

A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上都非

正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定

xyz(

111＋＋,则（ ） yxz111＋＋)的符号。 yxz9．（石庄中学）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）

A． 甲 a＞b，乙

11 ＜ B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣ abC 甲 a=b ，乙 a＋b=2ab D 甲 ?正确答案： D

?0?a?1?0?a?b?2 ，乙 ?

0?b?1?1?a?b?2??10．（石庄中学）f(x)=︱2x—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ）

A a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2?a＜2c D 2a?2c＜2

正确答案：D

11．(磨中)a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A.a2>b2

B.(

1 a1b

) <() 22C.lg(a－b)>0 D.

a>1 b正确答案：B。

12．(磨中)x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）

A.m>2

B.m<2

C.m>－2

D.m<－2

正确答案：D。

13．(磨中)已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )

A.有最小值

1，也有最大值1 23，但无最大值 4 B.有最小值

3，也有最大值1 4C.有最小值 D.有最大值1，但无最小值

正确答案：B 。错误原因：容易忽视x、y本身的范围。

24

14．(磨中)若a>b>0，且

a?ma>，则m的取值范围是（ ） b?mbA. m?R B. m>0 C. m<0 D. –b

15．（城西中学）已知x?R,y?R，则x?1,y?1是x?y?x?y?2的（ ）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要 正确答案：D 错因：不严格证明随便判断。 16．（城西中学）如果log1x?2?3?log12?2那么sinx的取值范围是（ ）

A、???13??3??11??1??11??1????,1? ,? B、??,1? C、??,???,1? D、??,??222?22??2??22??2?????正确答案：B错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于是就选了D.其实x等于120度时可取得该值。故选B。

17．（一中）设a?0,b?0,则以下不等式中不恒成立的是 （ ） ．．．．

A．(a?b)(3，于211?)?4 B．a3?b3?2ab2 ab C．a2?b2?2?2a?2b D．|a?b|?a?b王新敞 正确答案：B

18．（一中）如果不等式x?a?x（a>0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：B

19．（蒲中）若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最

大值为（ ）

a?baba2?b2 A、 B、ab C、 D、 答案：B

22a?b25

点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。 20．（蒲中）数列{an}的通项式an?n，则数列{an}中的最大项是（ ）

n2?90 A、第9项 B、第8项和第9项

C、第10项 D、第9项和第10项 答案：D

点评：易误选A，运用基本不等式，求an?190n?n，忽略定义域N*。

21．（丁中）.若不等式x?1?x?2＞a在x?R上有解,则a的取值范围是 （ ） A． ??3,3? B. ??3,3? C． ???,3? D．???,?3? 错解：D 错因：选D恒成立。 正解：C

22．（薛中）已知x1,x2是方程x2?(k?2)x?(k2?3k?5)?0(k?R)的两个实根，则x1?x2的最大值为（ ）

A、18 B、19 C、5 D、不存在

答案：A 错选：B 错因：x1?x2化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于

222259??0所得的k的范围。

23．（薛中）实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是 。

a2?b2a?b22 A、 B、ab C、 D、a?b

22答案：B 错解：A

m2?x2n2?y2a?b??错因：忽视基本不等式使用的条件，而用mx?ny?得222出错解。

24．（案中）如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ）

26

A、0≤m≤1 B、正确答案：（B）

333＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥ 444二填空题：

b221．（如中）设a?0,b?0,?a2?1，则a1?b的最大值为 错解：有消

2b2b222元意识，但没注意到元的范围。正解：由a?0,b?0,?a?1得：a?1?，且

22b21432b?b?1，求出最大值为1。 0?b?1，原式=(1?)(1?b2)?2222?2．（如中）若x,y?R,且x?y?ax?y恒成立，则a的最小值是

m2?n2m?nm?n?,得?2， 错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由2222m?nx?y?2，故a的最小值是2。 即x?y3．（如中）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?)的最小值为 。

1x1y错解一因为对a>0,恒有a?111?2,从而z=(x?)(y?)?4,所以z的最小值是4。

xya2?x2y2?2xy22?(?xy)?2?2xy?2?2(2?1)，所以z的错解二、z?xyxyxy最小值是2(2?1)。

11且y?,即x?1且y?1,与x?y?1相矛盾。xy21解二等号成立的条件是?xy,即xy?2，与0?xy?相矛盾。

xy4错解分析：解一等号成立的条件是x?1(x?y)2?2xy2111yx??xy?2，正解：z=(x?)(y?)=xy???=xy??xyxyxyxyxyxyx?y212?1?令t=xy, 则0?t?xy?()?，由f(t)?t?在?0,?上单调递减,故当t=

24t?4?1213325时 f(t)?t?有最小值,所以当x?y?时z有最小值。 4t2444．(磨中)若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围

27

是 。

正确答案：(－2,2) 。错误原因：容易忽视m＝2。 5．（城西中学）不等式ax2+ bx + c＞0 ，解集区间（- c，则有如下结论：

① a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的

序号是________________________________. 正确答案 2 、3、 4 错因：一元二次函数的理解 6．（一中）不等式(x－2)

1，2），对于系数a、b、2x2－2x－3 ≥0的解集是 ．

正确答案：?xx??1或x?3?

7．（一中）不等式x2?a2?x?1的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。 正确答案：{-1，1}

8．（一中）若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正确答案：<

9．（蒲中）不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________

11答案：[,??)?{?1}点评：误填[,??)而忽略x=－1。

2210．（蒲中）设x>1，则y=x+

2的最小值为___________ x?12x22≥2当且仅当x?即

x?1x?1x?1答案：22?1点评：误填：4，错因：y?x?x=2时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。 11．（丁中）设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为

_______________. 错解：(??,2)

28

a2?x2b2?y2a2?x2?b2?y2错因：ax?by????2，当且仅当a?x,b?y时

222等号成立，而此时a2?b2?x2?y2与已知条件矛盾。正解：[－3,3]

12．（丁中）.－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件 错解：充要条件 错因：忽视k?0时y??1符合题意。正解：充分非必要条件 13．（丁中）函数y=

x2?5x?42的最小值为_______________

错因：可化得y?x2?4?5?2，而些时等号不能成立。正解：

2x2?4114．（丁中）已知a,b?R，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________. 正解：15．（薛中）设函数y?1 12k2?6x?k?8的定义域为R，则k的取值范围是 。

A、k?1或k??9 B、k?1 C、?9?k?1 D、0?k?1 答案：B 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用??0。 16．（薛中）不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) ?0的解集为 。 答案：{xx?1或x?2或3?x?4} 17．（薛中）已知实数x,y满足

x?x?y，则x的取值范围是 。 y 答案：{xx?0或x?4} 错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条“y?0”。 18．（薛中）若x,y?R?，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。

答案：[18??)由原方程可得

2x16则x?y?x?8??10?18 x?8x?8错解：(??,2]?[18,??)设x?y?t设y?t?x代入原方程使用判别式。 y(x?8)?2x,?x?0,y?0,?x?8?0,?y? 错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>8 19．（案中）已知实数x,y满足正确答案：x?0或x?4

29

x?x?y,则x的取值范围是 。 y

y2错误原因：找不到解题思路，另外变形为x?时易忽视y?0这一条件。

y?120．（案中）已知两个正变量x,y满足x?y?4,则使不等式?m的取值范围是 。 正确答案：m?1x4?m恒成立的实数y9 错误原因：条件x+y＝4不知如何使用。 44?x?0?②y?cosx?4?0?x??2?③xcosx21．（案中）已知函数①y?x?y?x?13x2?9④y?12?1?cotx??1?4tanx??0?x??2?，其中以4为最小值的函数个数

是 。 正确答案：0

错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。

22．（案中）已知f?x?是定义在?0,???的等调递增函数，f?xy??f?x??f?y?,且

f?2??1，则不等式f?x??f?x?3??2的解集为 。

正确答案：?x|3?x?4?

错误原因：不能正确转化为不等式组。

23．（案中）已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为 正确答案：3

错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：?9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，?6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ?ax+by+cz≤3

三、解答题：

1．（如中）是否存在常数 c，使得不等式意正数 x,y恒成立？ 错解：证明不等式

xyxy??c??对任2x?yx?2yx?2y2x?yxyxy恒成立，故说明c存在。 ???2x?yx?2yx?2y2x?y30

正解：令x=y得

222?c?，故猜想c=,下证不等式333xy2xy恒成立。 ????2x?yx?2y3x?2y2x?y要证不等式

xy2??，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤22x?yx?2y32xy2也成立，故存在c=使原不??3x?2y2x?y3（2 x+y）(x+2y),也即证3x2?12xy?3y2?2(2x2?2y2?5xy),即2xy≤x2?y2，而此不等式恒成立，同理不等式等式恒成立。

2．（如中）已知适合不等式x2?4x?p?x?3?5的x的最大值为3，求p的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。 正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于x2?4x?p?(x?3)?5， 即?x?2?x?4x?p?x?2，则{2x2?5x?p?2?0(1)x?3x?p?2?0(2)2，

设（1）（2）的根分别为x1、x2(x2?x1),x3、x4(x4?x3)，则x2?3或x4?3 若x2?3，则9-15+p-2=0，p=8 若x4?3，则9-9+p+2=0,p=-2 当a=-2时，原方程组无解，则p=8

3．（搬中） 设f(x)?ax2?bx，且1?f(?1)?2，2?f(1)?4，求f(?2)的取值范围。

解：令f(?2)?mf(?1)?nf(1) 则4a?2b?m(a?b)?n(a?b) ?4a?2b?(m?n)a?(m?n)b

??m?n?4 比较系数有? ?f(?2)?3f(?1)?f(1) 即5?f(?2)?10

??m?n?2?1?f(?1)?2，2?f(1)?4??m?3????n?1?5?3f(?1)?f(1)?1031

说明：此题极易由已知二不等式求出a、b的范围，然后再求4a?2b即f(?2)的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

4．（搬中） 若m?R，解关于x的不等式：(?m2?3m?3)x??m2?3m?3。 解：令u??m2?3m?3

则ux?u ?u(x?1)?0 u(m)的判别式??9?4?(?1)?(?3)?0?u?0恒成立?x?1?0 ?原不等式的解为x?1

说明：此题容易由ux?u得出x?1的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。 5．（搬中） 求函数y?1?2x? 解：当x?0时， y?1?2x?3的极大值或极小值。 x33?1?(2x?)?1?26 xx 当且仅当2x?3 即x?x3时，ymax?1?26 23y?1?(?2x)?(?)x 当x?0时，

3?1?2(?2x)?(?)?1?26x 当且仅当?2x??33 即x??时，ymin?1?26

2x 说明：此题容易漏掉对x?0的讨论。不等式a?b?2ab成立的前提是

a?0，b?0。

6．（搬中）求函数y?sin2x?cosx的最大值。 解：y2?sin4x?cos2x

?sin2x?sin2x?2cos2x? ?12当且仅当sin2x?2cos2x

123()2322?3332

即tgx??2时，ymax?23 9 说明：此题容易这样做：y?(1?cos2x)cosx?(1?cosx)(1?cosx)cosx?1?231()3?。但此时等号应满足条件1?cosx?1?cosx?cosx，这样的x是不存在的，32错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。

7．（搬中）解不等式：2|x|?2x?22。 解：当x?0时，原不等式为2x?2 ?x?1 2 当x?0时，原不等式为2?x?2x?22

?(2x)2?22?2x?1?0?2?2?1或2?2?1xx

?2x?1 又x?0 ?2x?2?1 ?原不等式的解为x??x?log2(2?1)x 说明：此题易在x?0时2?1或x?log2(2?1) 22?1处出错，忽略了x?0的前提。这提醒我们分段

求解的结果要考虑分段的前提。

7．（搬中） 若a?0且a?1，解不等式： xlogax?x?a?2

92 解：若a?1，两边取以a为底的对数

9logax?(?2)2?2log2ax?9logax?4?0logax?logax?1?logax?4或logax?2?x?a4或x?a12

33

2log2ax?9logax?4?0 若0?a?1，同样有， ?1?logax?4212 又x?0

?a4?x?a4 ?当a?1时不等式的解为x?a或0?x?a 当0?a?1时不等式的解为a?x?a

41212 说明：此题易在a?1时的解中出错，容易忽略x?0这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。

8．（搬中）方程x2?(k?2)x?5?k?0的两根都大于2，求实数k的取值范围。 解：设方程的两根为x1，x2，则必有

???0??(x1?2)?(x2?2)?0?(x?2)(x?2)?02?1?(k?2)2?4(5?k)?0? ???(k?2)?4?0

?(5?k)?2(k?2)?4?0???5?k??4 说明：此题易犯这样的错误：

?x1?2，x2?2?x1?x2?4

且x1x2?4 和判别式??0联立即得k的范围 原因是x1?2和x2?2只是

x1?x2?4的充分条件即x1?x2?4不能保证x1?2和x2?2同时成立

x2?2x?29．(磨中)设函数f(x)=logb(b>0且b≠1)，

1?2ax（1）求f(x)的定义域；

（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。

解 （1）∵x2－2x+2恒正，∴f(x)的定义域是1+2ax>0，即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。当a>0时，f(x)的定义域是（－

1，+∞）当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，2a34

－

1） 2ax2?2x?2（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0?>1?x2－2x+2>1+2ax

1?2ax?x2－2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2)

(i)当Δ<0时，即－20∴f(x)>0?x<－

2

1 2a(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时若a=0,f(x)＞0?(x－1)>0?x∈R且x≠1

若a=－2,f(x)＞0?(x+1)＞0?x＜

2

1且x≠－1 4(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时方程x2－2(1+a)x+1=0的两根为

22x1=1+a－a?2a,x2=1+a+a?2a若a＞0，则x2＞x1＞0＞－

1 2a∴f(x)?0?x?1?a?a2?2a或?若a<－2，则x1?x2??1?x?1?a?a2?2a 2a1 2a22∴f(x)＞0?x＜1+a－a?2a或1+a+a?2a＜x＜－

1 2a综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为{x|x＜－

1} 2a1} 4当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：{x|x＜－1或－1＜x＜

2当a＞0时，x∈{x|x＞1+a+a?2a或－

12＜x＜1+a－a?2a} 2a1} 2a22当a＜－2时，x∈{x|x＜1+a－a?2a或1+a+a?2a＜x＜－

错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。10．（城西中学）设集合M＝[－1，1]，N=[－

2 2 8 ， ]，f(x)=2x2+mx－1，若x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤ 229

证明：|f(x)|=|2x2+mx－1|= |(2x2－1)+mx|≤|(2x2－1)|+|mx|= (2x2－1)+|mx|≤(2x 2－1)+| x|

35

188

=－2（| x|－ ）2＋ ≤ 499错因：不知何时使用绝对值不等式。

11．（城西中学）在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。

解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则 S=S3 ΔABC－S1－S2－S3=

4 a2－3 4 [a2

－（xy+xz+yz）]＝3 4

（xy+xz+yz） 由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤a23 ,∴S3 2a

mav=12 a，此时，x=y=z=3

错因：不知如何使用基本不等式。 12．（蒲中）设a、b∈R，求证：

|a?b||a||b|1?|a?b|≤1?|a|?1?|b| 证明：当|a+b|=0时，不等式已成立 当|a+b|≠0时，∵ |a+b|≤|a|+|b| |a?b|1|a|?|b|1?|a?b|=1?1≤11=|a|?|b|?1

|a?b|1?|a|?|b| =

|a||b||a|1?|a|?|b|+1?|a|?|b|≤1?|a|?|b|1?|b| 点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b| ∴

|a?b||a|?|b||a||b1?|a?b|≤1?|a|?|b|?1?|a|?|b|?|1?|a|?|b|≤|a|1?|a|?|b|1?|b| ①36

∴

188

=－2（| x|－ ）2＋ ≤ 499错因：不知何时使用绝对值不等式。

11．（城西中学）在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。

解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则 S=S3 ΔABC－S1－S2－S3=

4 a2－3 4 [a2

－（xy+xz+yz）]＝3 4

（xy+xz+yz） 由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤a23 ,∴S3 2a

mav=12 a，此时，x=y=z=3

错因：不知如何使用基本不等式。 12．（蒲中）设a、b∈R，求证：

|a?b||a||b|1?|a?b|≤1?|a|?1?|b| 证明：当|a+b|=0时，不等式已成立 当|a+b|≠0时，∵ |a+b|≤|a|+|b| |a?b|1|a|?|b|1?|a?b|=1?1≤11=|a|?|b|?1

|a?b|1?|a|?|b| =

|a||b||a|1?|a|?|b|+1?|a|?|b|≤1?|a|?|b|1?|b| 点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b| ∴

|a?b||a|?|b||a||b1?|a?b|≤1?|a|?|b|?1?|a|?|b|?|1?|a|?|b|≤|a|1?|a|?|b|1?|b| ①36

∴

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