综合物理实验论文(单摆法测重力加速度实验误差分析，汤其刚，200802050122)

姓名：汤其刚

学号：200802050122 班级：08物理（1）

摘要：误差理论综合分析了单摆法测量重力加速度的误差来源;使物理实验的偶然误差的

各个基本概念更清晰明了，使系统误差的动用具体直观。

关键词：偶然误差;系统误差;测量结果误差，随机误差统计规律

单摆法测重力加速度是一个传统的经典力学实验，一般是用米尺测量摆长，用秒表测量周期，其精密度分别为1 mm和0. 1:。测量公式为: g?4?L2T2 ( 1 )

其中，g为重力加速度，L为摆长，T为单摆周期。

即使测量方法正确，直接用(1)式计算测量结果，在测量精度要求较高时，计算结果也会偏离真值，这是实验误差所致。如果在做这个实验时，把重点放在误差分析上，并正确分析实验数据，从而获得正确的实验结果。下面我们就从实验误差的两个主要方面出发，来讨论如何运用误差理论指导实验;并分析实验结果，对偏离真值的结果做出正确的分析。 一. 随机误差的计算和分析

我们用两种计算误差的方法分别计算，即计算g的单次观测值(测量列)的误差和用对g的观测值计算其测量列和测量结果(平均值)的误差。

1. 通过直接测量的误差，计算g的单次观测值的误差

采用平均误差和标准误差两种方式计算，表1是我们设计的以摆长L=000 mm，角? =5°的 一组测量数据表， T是100次全振动的时间t = 100T。表中d为摆球直径.L'为摆线原长。

表1用单摆法在L =1000mm,?= 5°时g的有关的数据的直接测量误差

d(mm) 序di ?di(10号 ) 1 2 3 29.40 29.40 29.35 0 0.05 -0.05 L(mm) ?3/T(s) ?di2(10?3) 0 2.5 2.5 Li/ 1014.7 1014.7 1014.8 ?Li/ 0 0 0.1 ?Li/ 0 0 1 2Ti ?Ti(10?4) -2 -2 -4 ?Ti 4 4 16 22.0086 2.0086 2.0084 4 5 平均 绝对平均值 和 29.40 29.40 29.40 - 0 0 - 0.02 0 0 - - 1014.7 1014.7 1014.7 - 0 0 - 0.02 0 0 .- -- 2.0096 2.0086 2.0088 - 8 -2 - 3.6 64 4 - - - /- 5.0 - - 1 - - '92 （1） 取平均误差 由L=L-d'2'，根据间接测量中误差的传递公式及公式(1)和表1中?l和△d'的量值

?4得:?L??L?0.5?d?0.03mm,又?T?3.6?10S，由误差传递公式可推出：

?g?L?T?g??2?3.9?10?4，则g的平均误差：?g?g?3.7mms2 gLTg（2） 取标准误差 由（1）式得：

?g?g?4?2T2，??8?2T2，代人误差传递中标准误差的一般公式； ?L?T

??(?y2?y2 )?()?? （2）

?x?z44L222得： ?g??（3） ?L?2? 2TT2又有L=L-d/2和（2）式有：?L?' ?L2??d2 （4）

'14而

?L//???L'i(n?1)?5?10?2mm

代人(4)式，得：式得：

mm/

则g土

，而

=( 9783. 3土4. 6 ) /mm/s

，带入（3）

在这个计算过程中学生能够体会到什么是测量列的平均误差及标准误差。 2.通过g的观测值计算其测量列的误差和测量结果的误差

在摆长和摆角为表2中取值时测量g，每种情况下重复测量五次，各单次测量误差可只选一种来计算，表2给出了每种情况下g的观测值及与平均值的误差。

(l)侧量列(单次观测值)误差

(2)测量结果(平均值)的误差

根据算术平均值的标准误差公式可得：

（6）

测量列(单次观侧值)的误差所反映的是测量结果重复性的好坏，即测量的精密度。由标准误差的定义知(5)式表示在同样条件下进行重复测量，重力加速度g的观测值落在(9756.7一-9785. 1 ) mm/s范围内的几率为4/6=83%。在我们实验的六组观测值中，有五组数据是落在上述范围内的，其几率的统计值为4/6=83 %，说明测量结果符合误差理论的统计规律。

在没有系统误差或者消除了系统误差的情况下，测量结果(平均值)的误差则表示平均值偏离真值的程度，即测量的精确度。测量的重力加速度的真实值落在为68%，落在

范围内的几率

2范围内的几率为99.7 %。要使测量的结果及误差分析后的结论的正确

性得到证实，最好是用测量精度高的仪器(比如绝对重力测量仪)测量一个当地的g值，比较一下用单摆法测重力加速度的误差大小。

在实验中，除了随机误差还有系统误差。因此，需要从实验方法上找到系统误差的来源，计算系统误差，并从理论上消除系统误差，从而得到正确结论。 二．系统误差分析

公式(1)实际上是一个近似公式，因为由于空气浮力、空气阻力、悬线的质量、摆

球的质量分布、摆角、秒表和米尺等都会给测量带来系统误差。如果将上述因素都考虑进去，(1)式可修改为：

（7）

（8）

在此式中各项分别表示摆角、悬线质量、摆球质量分布、空气浮力、空气阻力、秒表系差、米尺系差对实验测量的影响，下面分别讨论各种因素给测量结果带来的影响。

1. 摆角?的影响 (7)式中摆角?的修正系数为

211sin2(?2)，当摆角不太大时，sin2(?2) =?

822

从表3及上面的随机误差的量值范围可以看出，当摆角?>3。时，对重力加速度g的

测量结果已经产生了不可忽视的恒负系统误差。为了消除摆角对测量结果所产生的影响，可使??3°，或者在测量结果予以修正。 2.悬线质量u的影响 悬线质量的修正系数为u，在我们的测量中，摆球的质量M = 111. 510 g, d是摆球

6M的直径，是悬线单位长度的质量，则E,c=(L' =dl2)T。悬线质量修正量值如表4所示。

此项修正低于测量精度一个数量级，可以略去，也可以在测量结果中予以修正。 4.空气浮力的影响 空气浮力的修正为

?0?，空气密度?0= 1.03?10?3gcm3，摆球的密度

?=8.431gcm?3，代入修正公式得

此项修正亦正好低于测量精度一个数量级，可以略去，也可以在测量结果中予以修正。 5.空气阻力的影响

空气阻力的修正系数为T2?2(4?2)，只要测得空气的阻尼系数月，就可以算出这项修正系数。若取空气的阻尼系数为::

以表1中的数据来计算，即?=5°时的周期T = 2. 0088s为例，将阻尼系数?代人修正公式得:

此项修正比测量精度小四个数量级，可略去不计。 6.仪器的系统误差

分别为秒表和米尺的系差修正，实验采集数据所用的秒表经校准其系统误差小于仪器的精密度，而米尺的准确度也高于它的精密度。因此仪器的系统误差修正均可略去不计。

综合以上分析，除略去的因子外，表6是需要考虑的各项修正的量值。

经过以上的系统误并分析，我们可得到g的单次观测值的误差及结论:

取平均误差: 取标准误差：

把表2中的各次观侧值，先经过系统误差修正再计算误差，得到表7的结果。从而可通过g的诸观测值计算出其测量列的误差和测量结果的误差。

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