2019届湖北省高三4月份调研考试数学（理）试题（解析版）

2019届湖北省高三4月份调研考试数学（理）试题

一、单选题 1．已知集合A．C．【答案】D

【解析】根据指数不等式的解法得到 【详解】 集合

，

.

，

，再由集合的并集的概念得到结果.

，

，则（ ） B．D．

根据集合的并集的概念得到故答案为：D. 【点睛】

这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法. 2．已知复数A．

，则下列关系式中正确的是（ ） B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据复数的模的计算得到【详解】 复数

，

故得到

故答案为：D. 【点睛】

这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题. 3．已知A． 【答案】B

【解析】根据正弦函数的两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到

第 1 页 共 20 页

，则B．

（ ）

C．

D．

排除AB，

进而判断其它选项的正误.

【详解】 已知则

，化一得到

，

故答案为：B. 【点睛】

这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题. 4．已知双曲线A．C．【答案】B

【解析】根据双曲线的离心率公式得到程. 【详解】 已知双曲线即

双曲线的渐近线方程为：故答案为：B. 【点睛】

这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.

5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

的离心率为，

进而得到渐近线方

的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）

B．D．

A． 【答案】C

B．1 C． D．

第 2 页 共 20 页

【解析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果. 【详解】

根据题意得到原图是下图中的四棱锥2，

棱锥的高为1，故四棱锥的体积为：

，根据题意得到四边形

边长为

故答案为：C. 【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 6．已知函数

是定义域为的奇函数，当的解集为（ ）

A．C．【答案】A 【解析】

表达式可得到函数单调递增，故只需要【详解】 当

时，

,

,

第 3 页 共 20 页

,函数

是定义域为的奇函数，根据函数.

B．D．

时，

，则不等式

函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增

.

的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要故答案为：A. 【点睛】

这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.

7．甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（ ） A．36种 【答案】C

【解析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种, 剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有【详解】

先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有故答案为：C. 【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则： ①按元素(或位置)的性质进行分类；

②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 8．如图，圆是边长为圆上任意一点，

的等边三角形

的内切圆，其与，则

边相切于点，点为

，故共有

种方法.

，进而得到结果.

B．30种

C．24种

D．12种

的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

第 4 页 共 20 页

【解析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到【详解】

的表达式，进而得到最大值.

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为：

故得到 故得到

，

，

故最大值为：2. 故答案为：C. 【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 9．在①若②恒有③若

，则

中，给出下列说法： ，则一定有

；

为锐角三角形.

；

其中正确说法的个数有（ ）

第 5 页 共 20 页

面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.

【答案】

【解析】根据焦半径公式表示出面积表达式

，根据直线和x轴夹

角的范围得到面积的范围. 【详解】

设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到

面积之和为：通分化简得到

原式子化简为小值，此时故答案为：【点睛】

本题主要考查了抛物线的几何性质．解题的关键是利用了抛物线的定义以及焦半径公式。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。

三、解答题

第 11 页 共 20 页

.

抛物线方程为：

根据二次函数的性质当t=1时有最

17．已知数列数列. （1）求证（2）若

满足，其前项和为，当时，，，成等差

为等差数列； ，

，求.

，变形化简得到

，即

，

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】(1)根据等差数列的概念得到

，则由

得

，得证；（2）根据第一问得到的结论得到，即

，联立两式求解.

【详解】 （1）当即又

，故时，由

，，，即

成等差数列得：

，则

， ，

是公差为1的等差数列.

公差为1，由，即

，，联立解得：

得

.

，即

，

（2）由（1）知数列由

得

【点睛】

这个题目考查了等差数列的性质的应用,以及等差数列的通项公式的应用. 18．已知四棱锥

中，

底面

，

，

，

，

.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，

请说明理由； （2）当直线

与平面

所成的角为45°时，求二面角

面

，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到

的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】(1)根据几何关系得到

，所以

进而得到二面角的余弦值.

，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，

第 12 页 共 20 页

【详解】 （1）由由则

面面

，，

，面

知得

，由

，则

，.

为直线

与平面

， ，

面

，

，则点到平面面

，

为

的距离为一个定值，在平面，所以

上的射影，则

. 、

、

（2）由

所成的角，则由

，

得、

、，

，故直线两两垂直，因此，以点

为坐标原点，以直角坐标系，易得

所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间

，

，于是

，

，

设平面

，于是，

的法向量为，于是

，则；显然

的余弦值为

.

，即为平面

，取，则

的一个法向量，

分析知二面角【点睛】

这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。 19．已知椭圆

的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为

.

（1）求椭圆的方程； （2）已知直线

与轴交于点，过点的直线

与直线

交于点，记

与交于、两点，点为直线，

，

的斜率分别为，，，

上任意一点，设直线

第 13 页 共 20 页

则是否存在实数，使得由. 【答案】(1)

(2)见解析

恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理

【解析】（1）根据题干列出式子，结合求解即可；（2）设出直

线方程，联立直线和椭圆方程，设据韦达定理化简得到结果.当直线【详解】

，，，，根

与轴重合时验证即可.

（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为，

结合题干条件得到，解之得，

由（2）设若直线

，知故椭圆的方程为：，

，

，

的方程为

，

与轴不重合时，设直线，点，，

将直线代入椭圆方程整理得：

，显然

，则

，

，

若直线而

与轴重合时，则，故

.

，，，此时，

综上所述，存在实数【点睛】

符合题意.

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法

第 14 页 共 20 页

之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20．近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.

（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在上的概率；

（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.

（ⅰ）由散点图判断，可采用限的回归方程，若 5.5

8.5 ，

1.9 作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年，选用如下参考数据，求关于的回归方程.

301.4 79.75 385 （ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用 附：参考公式：对于一组数据

，其回归直线

第 15 页 共 20 页

的斜率和截距的

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8uz2.html