实验三 z变换及离散时间LTI系统的z域分析

实验三 z变换及离散时间LTI系统的z域

分析

一． 实验目的

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学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换； 学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；

学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； 学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。

二．实验原理及实例分析 1. z正反变换

序列x?n?的z变换定义为

X?z??Z?x?n???n????x?n?z??n （3-1）

其中，符号Z表示取z变换，z是复变量。相应地，单边z变换定义为

X?z??Z?x?n????x?n?z?n （3-2）

n?0?MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式分别为

Z=ztrans(x) x=iztrans(z)

上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。 注意：符号变量和符号表达式在使用前必须说明；

matlab提供了两个建立符号变量的函数：sym和syms，两个函数的用法不同 （1）sym函数用来建立单个符号变量，调用格式： 符号变量名=sym('符号字符串')

该函数可以建立一个符号量，符号字符串也可以是常量、变量、函数或表达式。 >>f1=sym(‘ax^2+bx+c’) %创建符号变量f1和一个符号表达式

（2）函数sym一次只能定义一个符号变量，而syms函数一次可以定义多个符号变量，调用格式为：

syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(')，变量间用空格而不

要用逗号分隔。

>> syms a b c x

（3）MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s)

【实例3-1】 试用ztrans函数求下列函数的z变换。

（1）x(n)?ancos(?n)u(n)； （2）x(n)?[2n?1?(?2)n?1]u(n)。 解：（1）z变换MATLAB源程序为

>>x=sym('a^n*cos(pi*n)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans = z/(a + z)

（2）z变换MATLAB源程序为

>>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans =

z/(2*(z - 2)) + z/(2*(z + 2))

【实例3-2】 试用iztrans函数求下列函数的z反变换。

8z?19z(2z2?11z?12)（1）X(z)?2 （2）X(z)? 3z?5z?6(z?1)(z?2)解：（1）z反变换MATLAB源程序为

>>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x) ans =

(3*2^n)/2 + (5*3^n)/3 - (19*kroneckerDelta(n, 0))/6

其中，kroneckerDelta(n, 0)是?(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为：

x(n)??19?(n)?(5?3n?1?3?2n?1)u(n)。 6（2）z反变换MATLAB源程序为

>>Z=sym('z*(2*z^2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)^3'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x)

ans =

3*2^n - (2^n*n)/4 - (2^n*n^2)/4 - 3

其函数形式为x(n)?(?3?3?2?n1n12nn2?n2)u(n)。 44如果信号的z域表示式X(z)是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设X(z)的有理分式表示为

b0?b1z?1?b2z?2???bmz?mB(z) （3-3） X(z)???1?2?nA(z)1?a1z?a2z???anzMATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式展开的函数residuez，其语句格式为

[R,P,K]=residuez(B,A)

其中，B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量；R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。

【实例3-3】 试用MATLAB命令对函数X(z)?展开，并求出其z反变换。

解：MATLAB源程序为

>>B=[18]; >>A=[18,3,-4,-1]; >>[R,P,K]=residuez(B,A) R= 0.3600 0.2400 0.4000 P= 0.5000 -0.3333 -0.3333 K= []

18进行部分分式

18?3z?1?4z?2?z?3从运行结果可知，p2?p3，表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为

X(z)?因此，其z反变换为

0.36?0.240.4 ??1?12?11?0.5z1?0.3333z（1?0.3333z)x(n)?[0.36?(0.5)n?0.24?(?0.3333)n?0.4(n?1)(?0.3333)n]u(n)

2. 系统函数的零极点分析

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即

H(z)?如果系统函数H(z)的有理函数表示式为

Y(z) （3-4） X(z)b1zm?b2zm?1???bmz?bm?1 （3-5） H(z)?nn?1a1z?a2z???anz?an?1那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为

[R,P,K]=tf2zp(B,A) 其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即

H(z)?k(z?z1)(z?z2)?(z?zm) （3-6）

(z?p1)(z?p2)?(z?pn)z?0.32

z2?z?0.16【实例3-4】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

H(z)?试用MATLAB命令求该系统的零极点。

解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

>>B=[1,0.32]; >>A=[1,1,0.16]; >>[R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 -0.2000 K= 1

因此，零点为z?0.32，极点为p1?0.8与p2?0.2。

若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为

zplane(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

【实例3-5】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

z2?0.36H(z)?2

z?1.52z?0.68试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。

解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

>>B=[1,0,-0.36]; >>A=[1,-1.52,0.68]; >>zplane(B,A),grid on >>legend('零点','极点') >>title('零极点分布图')

程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。

图3-1 零极点分布图

3 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数h(n)与z域函数H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内在性质。我们仍旧通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。

【实例3-6】 试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。

（1）H1(z)?zzz （2）H2(z)? （3）H3(z)?2

z?0.8z?0.8z?1.2z?0.72zzz（4）H4(z)? （5）H5(z)?2 （6）H6(s)?

z?1z?1.2z?1.6z?1z（7）H7(z)?2

z?2z?1.36解：MATLAB源程序为

>>b1=[1,0]; >>a1=[1,-0.8]; >>subplot(121) >>zplane(b1,a1)

>>title('极点在单位圆内的正实数') >>subplot(122)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8uxf.html