数列前n项和Sn的求法

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求数列{an}的前n项和的方法

（1）倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 （2）公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列，如an?a1?an?1?a2???,具有这样特点的等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找数列． 例：等差数列求和 出对应的公式． 公式： ①等差数列： Sn?a1?a2???an ?a1?(a1?d)???[a1?(n?1)d] ① 把项的次序反过来，则： n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22n(n?1)d ?nan?2Sn? Sm?n?Sm?Sn?mnd Sn?an?(an?d)???[an?(n?1)d]② ①+②得： n个???????????????2Sn??a1?an??(a1?an)???(a1?an) SnSn?m?Sm?(n?2m,m,n?N*) nn?2m②等比数列： ?n(a1?an) n(a1?an)Sn? 2 （3）错位相减法 此种方法主要用于数列{anbn}的求和，其中{an}为等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，只需用Sn?qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况． a1(1?qn)a1?anq；(q?1) Sn??1?q1?q Sm?n?Sn?Smqn ③1+2+3+……+n = 222n(n?1)； 22 1?2?3???n ?1n(n?1)(2n?1) 613?23?33???n3 ?(1?2?3???n)2 ?12n(n?1)2 4（4）分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和． 击破重难点 直通名校门

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111，1??，……， 2241111??+……+n?1的和. Sn?1?2x?3x2???nxn?1(x?0) 242n(n?1)111解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n = 解：∵ an?1?????n?1 22421②若x≠1,则Sn?1?2x?3x2???nxn?1 1?()n2?2?1 ?n?11223n1? xSn?x?2x?3x???nx 2111∴Sn?1?(1?)?(1??)?? 两式相减得： 224111?(1?????n?1) (1?x)Sn?1?x?x2+…+xn?1?nxn 24211?(2?1)?(2?)?(2?) 1?xn?nxn ?2221?x1???(2?n?1) 21?xnnxn∴ Sn? ?1112?2n?(1?????) (1?x)1?xn?12421?2n?2?n?1 2例：试化简下列和式： 例：求数列1，1? （5）奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合． {an}是等差数列． 例：求和 例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求 （6）裂项相消法 此方法主要针对 111这样的求和，其中????a1a2a2a3an?1anSn?1?3?5?7???(?1)n?1(2n?1) 解：当n = 2k (k?N+)时, Sn?1111 ?????a1a2a2a3a3a4an?1an111a?d?ak ???kakak?1ak(ak?d)dak(ak?d)Sn?S2k?(1?3)?(5?7)? 解：∵??[(4k?3)?(4k?1)] 击破重难点 直通名校门

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??2k??n 当n?2k?1(k?N?)时， ?111111(?)?(?) dakak?ddakak?1Sn?S2k?1?S2k?a2k??2k?[?(4k?1)] ∴Sn?111111(?)?(?) da1a2da2a3?2k?1?n ??? 111(?) dan?1an综合得：Sn?(?1)n?1n ?1111111[(?)?(?)???(?)] da1a2a2a3an?1an111(?) da1ann?1 a1[a1?(n?1)d] ? ? (7)分类讨论 此方法是针对数列{an}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 例：已知等比数列{an}中，a1=64，q=（2）当n＞7时，bn<0 此时，Sn= －1213n－n+42（n≥8） 221213n+n（n≤7） 221，2∴Sn= 设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn. 解：an=a11213n－n+42（n≥8） 22qn?1=27?n ∴bn= log2an=7?n （1）当n≤7时，bn≥0 此时，Sn=－1213n+n 22

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数列的求和训练题

（满分：100分 时间：90分钟）

一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)

1、数列{a n}的通项公式是a n =

1n?n?1(n∈N*),若前n项的和为10,则项数为 （ ）

A．11 B．99 C．120 D．121

2、数列{an}中,a1= －60,且a n+1 =an + 3,则这个数列的前30项的绝对值之和为 （ ） A．495 B．765

C．3105

－

－1

D．120 的结果是

（ ）

3、化简S n = n+(n－1)×2+(n－2)×2 2+……+2×2 n2+2 n A．2 n+1+2－n－2

B．2 n+1－n+2

D．2 n+1－n－2

C．2 n－n－2 4、若数列{an}是公差为

1的等差数列,它的前100项和为145, 则a1 +a3+a5+… +a 99 的值是2（ ）

D．120

（ ）

A．60 B．72.5 C．85

－

5、数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n1),……前n项的和是 A．2 n B．2 n－2

C．2 n+1－n－2 D．n2n

6、设数列{x n}满足logax n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 +…… +x 100 =100,则x 101+x 102 +……+x 200的值为

A．100a B．101a 2

C．101a 100

D．100a 100

（ ） （ ）

7、已知数列{a n}的前n项的和S n = n 2－4n+1,则|a 1|+|a 2|+……+|a 10|的值是 A．56 B．61

C．65 D．67

8、已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1) =2,则f(1)+f(2)+……+f(n)不能是 A．f(1)+2f(1)+…+nf(1) B．f[

（ ）

n(n?1)] 2 C．n(n+1) D．n(n+1)×f(1)

9、将一条宽为5cm的长纸条绕在一个直径为2cm的厚纸筒上,共绕了600圈,成为一个直径为10cm的圆筒,这条纸条的长度是 （ ）

A. 36?m B. 45?m C. 60?m D. 72?m

10、一小球从100m的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的一半,当它第10次落地时,小球共经过的路程是 （ ）

A. 29919253945 B. 299 C. 299 D. 299 64646464击破重难点 直通名校门

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11、若等差数列?an?中,

a2n4n?1S,则 2n? （ ） ?an2n?1Sn1an?1,n?N，那么a2?a4???a2n??的值是 A.4n B.4 C.2n D.2 12、已知数列?an?的前n项和Sn=

3（ ）

（A）—3 （B）—1 （C）3 （D）1 二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分) 13、{a n}是等差数列，且a n ≠0,则

1a+ 1 +……+ 11a2a2a3a = _________.

nan?114、数列{a = ???5n?1(n为奇数)n}的通项公式为an? 则数列的前2m项的和S2m = __________. ?n??22（n为偶数）15、求和：Sn?1?2?3?2?3?5???n(n?1)(2n?1)=_________________. 16、设数列?an?是公差为d，且首项为a0?d的等差数列，求和：

SC01nn?1?a0n?a1Cn???anCn=______________________. 三、解答题(共24分)

17、（12分）已知等比数列前ｎ项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.

18、（12分）n2(n?4)正数排成n行n列

a11,a12,a13,?a1na21,a22,a23,?a2na31,a32,a33,?a3n ???????an1,an2,an3,?ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，击破重难点 直通名校门

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知

已

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