2019届高三文科数学一轮复习导学案（教师用书）：第6章数列第1节

第一节 数列的概念与简单表示法

考点 数列的概念 高考试题 2016·全国卷Ⅲ·T17·12分 2014·全国卷Ⅱ·T16·5分 考查内容 由递推关系求通项 由递推关系求首项 核心素养 逻辑推理 命题分析 本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式或已知Sn与an的关系求Sn，三种题型均有可能出现，难度中低档.

1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义

①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数. (2)数列的分类

分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间的 大小关系 (3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．

提醒：

1．辨明两个易误点

(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

2．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变

递减数列 常数列 满足条件 项数有限 项数无限 an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an 其中 n∈N* 量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

??S1，n＝1，

3．an与Sn的关系：an＝?

?S－S，n≥2.－?nn1

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)an与{an}是不同的概念．( )

(2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的．( ) (3)数列是一种特殊的函数．( )

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )

1

(6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何

2an－1一项．( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√

2．(教材习题改编)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( ) A．15 C．49

B．16 D．64

解析：选A 当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15，故选A． 3．下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，?的通项公式的是( ) A．an＝1

nπsin? C．an＝2－??2??－1?n＋1

B．an＝

2?－1?n1＋3

D．an＝ 2

－

解析：选C 对于A、B、D选项，可令n＝1,2,3,4，?逐一验证不符合，对于选项C，nπ

sin?，可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，?. 由an＝2－??2?

4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( ) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项

解析：选D 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．

n

5．若数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是__________数列．(填“递增”

n＋1或“递减”或“摆动”)

x1

解析：方法一 令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是

x＋1x＋1递增数列．

n＋1n1

方法二 因为an＋1－an＝－＝＞0，

n＋2n＋1?n＋1??n＋2?所以an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列． 答案：递增

由递推关系求通项公式 [明技法]

由数列递推式求通项公式的常用方法

[提能力]

【典例】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________. 解析：由条件知an＋1－an＝n＋1，

则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋?＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋?＋n)＋2＝n2＋n＋2

. 2

n2＋n＋2答案：

2

n

[母题变式1] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝a”，如何求解？

n＋1nan＋1nn

解：∵an＋1＝an，∴＝，

ann＋1n＋1

n－1n－2n－3anan－1an－2a3a212

∴an＝···?···a1＝···?··2＝.

a2a1nn－1n－22nan－1an－2an－3

[母题变式2] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？

解：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.

故an＋1＋3＝2(an＋3)．

bn＋1an＋1＋3

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.

bnan＋3所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝5×2n1，故an＝5×2n1－3.

－

－

2an[母题变式3] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝”，如何求解？

an＋22an111111

解：∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，

an＋2an＋1an2an＋1an211

又a1＝2，则＝，

a12

111

∴{}是以为首项，为公差的等差数列． an22111n2∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝. ana122n[刷好题]

(金榜原创)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an. an＋1n解：由于＝2，

an

a2a3an－故＝21，＝22，?，＝2n1， a1a2an－1将这n－1个等式叠乘，

n?n－1?n?n－1?an＋＋?＋(n－1)得＝212＝2，故an＝2. a122

an与Sn关系的应用 [析考情]

an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度相对小，属中低档题．

[提能力]

命题点1：由Sn求an

【典例1】 已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn＝3n＋2n＋1，则an＝______. 解析：因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n1＋2(n－1)＋1]＝2·3n1＋2，

－

－

由于a1不适合此式，

??6，n＝1，所以an＝?n－1

?2·3＋2，n≥2.?

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