空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系 一. 教学内容： 空间中的垂直关系 二、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。 三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有： ①判定定理： .

② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定

理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。 5、平面与平面垂直的定义及判定定理：

（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。 记作：平面α⊥平面β

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直）

6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么

在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）

思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。 【典型例题】

例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）

A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，n α D、m∥n，n⊥β，m⊥α

（2）设a、b是异面直线，给出下列命题： ①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b； ②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b； ③存在分别经过直线a和b的两个平行平面； ④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为（ ）

A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅②

（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，

甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（ ） 解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。

对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。 对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。 只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。 故选C。

（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。

②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。

③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。

④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误 选D

（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。

思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=，PA⊥平面ABCD。PA=a。

（1）求证：PC⊥CD。

（2）求点B到直线PC的距离。

（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE， 则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形， ∴AC⊥ CD， ∵PA⊥平面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD上的射影， ∴PC⊥CD

（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC， 又BE⊥PA，AC∩PA= A， ∴ BE⊥平面PAC

过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC， ∵PA=a，AC= 即为所求。

例3、在斜三棱柱A1B1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB⊥底面ABC

（1）若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1；

（2）过侧面BB的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1⊥侧面BB；

（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB的充要条件吗？ 请你叙述判断理由。

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与

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