099基于MSC.NASTRAN的黏弹性材料阻尼分析方法

基于MSC/NASTRAN的黏弹性材料阻尼分

析方法

钱志英 张少辉 阮剑华

（中国空间技术研究院总体部，北京市海淀区友谊路104号，100094）

摘要：在航天器主结构中附加黏弹性材料约束阻尼层来抑制共振区响应的方法，已经得到了工程应用。但由于黏弹性阻尼随频率和温度等因素变化的复杂特性，使得结构阻尼的计算和阻尼优化成为难点。本文针对黏弹性材料约束阻尼结构的结构阻尼计算问题，介绍了几种在通用有限元软件MSC/NASTRAN中实现此种计算的方法。

关键词：黏弹性 约束阻尼结构 阻尼 计算方法 中图分类号：TB12

0. 前言

在航天结构中，利用黏弹性材料抑制共振区响应的方法已经具有很多成功的经验。其中具有最佳重量效率的方法是在已有结构上附加约束阻尼层。约束阻尼结构的弯曲变形引起黏弹性阻尼层的剪应变耗能散从而起到降低振动响应的作用。

对于黏弹性阻尼材料，剪切变形被认为是主要的能量耗散机制，其剪切模量可以用复数来描述。若从描述约束阻尼结构的动力学微分方程出发，利用代数和数值的方法求解，即使对于简单的结构，仍然具有很大的计算量。而对于实际的工程问题，由于结构的复杂性，几乎无法利用纯理论的方法来实现其求解。因此如何利用有限元方法来实现对阻尼结构的设计优化，成为解决工程问题的必然途径。

本文中介绍了几种以通用有限元软件MSC/NASTRAN为工具的约束阻尼结构的结构阻尼计算方法，并给出算例，为相关方法的工程应用打下基础。

1. 黏弹性阻尼材料力学性能

黏弹性阻尼材料与传统材料(如金属材料)相比，在力学性能上有如下两个特点：

VEM更多的把动能转化为了热能。因此不但要描述VEM的能量储存特性(刚度)，而且要描述其能量耗散特性(阻尼)。

VEM的剪切模量(G)和阻尼(damping)均随频率和温度变化，甚至在某些情况下随应变大小而不同。

基于黏弹性材料的以上特性，黏弹性材料的力学性能主要由两个参数来定义：

G?G(f,T) (1)

???(f,T)其中，G为剪切模量，?为损耗因子。

黏弹性材料的本构由复模量(complex modulus)来描述。复剪切模量表示为：

G*(f,T)?G0(f,T)?1.0?j?(f,T)? (2)

其中，G0(f,T)和G0(f,T)?(f,T)分别称为存储和损耗模量。

1

黏弹性材料的剪切模量和材料损耗因子随频率和温度的变化，通过阻尼材料特性诺模图(简称示性图)来描述，图1即为此类曲线的典型示例。在图1种给出了剪切模量和材料损耗因子曲线反映其随频率和温度的变化。具体读取方式如下：在温度轴(上轴)和频率轴(右轴)上分别找出对应的温度点和频率点，并且找到对应于温度的斜线和频率的水平线的交点，然后找到交点对应的衰减频率坐标，并最终在剪切模量曲线和材料损耗因子曲线上对应于此衰减频率坐标的值。

结构阻尼力正比于位移：

fs?i?G?k?u (4)

其中：G为结构阻尼系数，k为刚度，u是位移，

i??1(90度相位变化)。

对于恒定振幅的正弦响应，结构阻尼力为恒值。 ? 阻尼比

??bbcr (5)

其中：b黏性阻尼系数，N?sec/m；bcr临界的黏性阻尼系数 ? 结构损耗因子

结构损耗因子是损耗能与机械能之比：

??EdEvib (6)

其中：Ed为损耗能，Evib为总的机械能。 2.1.2. 各阻尼特征值的关系

在小阻尼情况下，在线性系统的共振点附近，各阻尼特征值之间具有如下关系：

图1 SMRD 100F90B 模量和阻尼随频率温度变化曲线

[5]

??2??2b1 (7) ?G?bcrQmax2. 结构阻尼计算方法

2.1. 阻尼的定义

2.1.1. 阻尼特征值的数学描述

阻尼作为振动系统损耗能量能力的一个标志，其衡量指标称之为阻尼特征值。对特征值作数学描述是为了对阻尼定量。阻尼特征值的数学描述方法很多，在此介绍在本文中即将用到的几种阻尼特征值的定义。 ? 黏性阻尼

黏性阻尼力正比于速度：

其中：?为结构损耗因子，无量纲；?为阻尼比，无量纲；b黏性阻尼系数，N*sec/m；bcr临界的黏性阻尼系数，N*sec/m；G结构阻尼系数，无量纲；

Qmax共振点放大比，无量纲。

2.2. 复特征值法

假定动力学方程的离散形式表示为：

??Cx??Kx?l(t) (8) M?x其中：M,C,K分别为物理坐标下的质量，阻尼和

?,??分别为节点位移，x刚度矩阵(均为实常数)，x,x?fv?bu (3)

?为速度。 其中：b为粘性阻尼系数，u对于恒定振幅的正弦响应，黏性阻尼力与作用力的频率相关。 ? 结构阻尼

2

速度和加速度向量；l为节点力向量。

复特征值求解法通过有阻尼结构的正交模态来实现求解。所得到的特征值和特征向量均为复数，然而利用此种方法得到的特征向量是正交的，因此可以得到解耦的动力学方程。

复特征值法的缺点体现在：1) 求解费时。通常

为无阻尼结构5～10的计算量。2) 黏弹性材料的动态应力应变关系通常与方程(8)所描述的方程不符(公式(8)要求存储模量是常数，并且损耗模量随频率线性增加[3])。

尽管有上述不足，利用MSC/NASTRAN提供的复特征值计算功能可以较为方便的确定阻尼结构的频率和结构阻尼。具体实现方法为：首先建立有阻尼结构的有限元模型并引入黏弹性材料的材料阻尼，然后利用COMPLEX EIGENVALUE(SOL 107)模块计算得到阻尼结构的频率及结构阻尼。

利用

MSC/NASTRAN

的

COMPLEX

????(r)?r??r??r2?r?pr(t)?r (11)

(r)q????r(t)r?1,2,? (12)

其中：?r是第r阶模态坐标，?r是第r阶模态的自然频率，?(r)是第r阶模态的模态损耗因子，?(r)是无阻尼结构的第r阶振型。 2.3.2. 模态损耗因子

模态损耗因子通过相应无阻尼结构的模态和各个材料的材料损耗因子求得。对于黏弹性夹心结构(Sandwich Structure)，面板材料的阻尼与黏弹性材料的阻尼相比是小量，因此其模态损耗因子可以写成如下形式：

EIGENVALUE模块所求得的结果形式及其相关物理意义如下：

?(r)Vv(r)??v(r)V (13)

其中：?(r)是在第r阶模态频率下的黏弹性阻尼材料损耗因子；VV(r)是在第r阶模态频率下黏弹层的

复特征值定义为：

弹性应变能，V变能；Vv(r)(r)是第r阶模态频率下结构的总应

V(r) 代表在第r阶振型中黏弹性层弹

p???i? (9)

其中：实部?是阻尼结构衰减率的度量，虚部

性应变能占结构总弹性应变能的比重。

公式(13)中的应变能比，通过下式求解：

nvi?为结构的圆频率。

在上面的结果输出结果示例中，标识为(REAL)的列代表?，标识为(IMAG)的列代表?，标识为(FREQUENCY)的列代表以赫兹为单位的结构频率(f??2?)，标识为(DAMPING COEFFICIENT)的列代表结构阻尼，求解公式为?g???2?2.3. 模态应变能法 2.3.1. 基本假设

VV(r)v(r)???(r)TiKi?i(r) (14)

?(r)TK?(r)其中：nv是有限元模型中黏弹性单元的数量，Ki是第i个黏弹性单元的刚度阵，?第r阶振型。

在有限元软件MSC/NASTRAN中，模态应变能计算是一种标准选项，可以方便的求得。模态应变能法的主要优点体现在只需要计算无阻尼结构的模态，并且设计者可以根据模态应变能的分布直接确定在什么位置需要设置阻尼层。此种方法的不足是处理频率依赖的材料属性时需作近似处理。

(r)是无阻尼结构的

?。

在模态应变能法(Modal Strain Energy Method)中，假设阻尼结构动力学方程可以由相应的无阻尼结构的模态并考虑阻尼项来表示。因此，阻尼结构的动力学方程的有限元离散形式(10)，可以线性变换为模态坐标下的解耦方程(11)。

???Cq??Kq?P(t) (10) Mq?,q??其中：M,C,K是质量阵，阻尼阵和刚度阵，q,q是节点位移、速度和加速度向量，P(t)是外力向量。

3

3. 三层式约束阻尼结构的有限元计算

3.1. 单元选择

具有夹心式构型的约束阻尼结构的有限元模型

需要很好的模拟黏弹性阻尼中间层的剪切变形所产生的应变能。

图2给出了对于3层式约束阻尼结构的有限元建模方案。本体材料层和约束层通过偏置的板单元模拟，在每个单元节点上具有3个平动和2个转动自由度。阻尼层通过体单元模拟，在每个单元节点上具有3个平动自由度。所有的节点位于单元的角点。在MSC/NASTRAN中，板单元分别称作TRIA3、QUAD4、TRIA6和QUAD8，体单元称作PENTA和HEXA。

约束层阻尼材料层的损耗因子就得到了各频率下结构的损耗因子，以供后续的响应计算使用。

利用模态应变能法的一个基本困难是模态属性由假定为常数的系统矩阵求得。然而，黏弹性阻尼材料的存储模量会随频率显著变化(如图1所示)。为解决此问题，可以根据公式(15)对模态损耗因子作出简单修正，就能获得合理的计算精度。

??r????r?其中：??r???G2?fr?G2,ref (15)

为修正后的第r阶模态阻尼损耗因子，

??r?为通过迭代计算求得的第r阶模态阻尼损耗因

子，G2,ref是最终用于模态计算(得到频率振型)的阻尼层剪切模量，G2?fr?当f?fr时的阻尼层剪切

44本体材料层约束阻尼板剖面图

11体单元(模拟阻尼材料层)22壳单元(模拟本体材料层)33壳单元(模拟约束层)模量，其中fr是利用G2?G2,ref求得的第r阶频率。

4. 算例

本文采用参考文献[1]中的约束阻尼夹心板作为对以上算法的验算算例。本算例中假设黏弹性层

的材料属性为常数。

假设矩形约束阻尼夹心板的长宽分别为304.8mm和348.0mm。本体层和约束层采用同种材料，厚度均为0.762mm；黏弹性层厚度为0.254mm。各层材料属性见表1。边界条件为四边简支。

表1 材料属性

弹性模量 泊松比 密度 阻尼 本体层/约束层 黏弹性层 有限元模拟 图2 约束阻尼结构的有限元模拟

以上对约束阻尼结构的有限元建模方法可以计及拉伸变形和弯曲变形之间的耦合，并且通过板单元偏置仅用2层节点就模拟了3层结构。利用此种方法进行有限元分析不但计算量较小，而且具有较好的计算精度。实践表明当体元的Aspect Ratio (面内尺寸/厚度)达到5000时，仍成功地模拟了薄阻尼层的性能。 3.2. 求解方法

有限元模型组装完成后，采用复特征值法和模态应变能法均可以进行求解。如采用模态应变能法求解，则首先要在所有材料属性取为实常数的情况下进行标准正则模态的计算，并且得到每阶模态下的单元弹性应变能，以及黏弹性层与整体结构的模态应变能比。然后将模态应变能比乘以黏弹性材料

4

E1?703MPa G2?633.1Pa ?1?0.30 ?2?0.49 ?1?2734kg/m3 / ?2?998.8kg/m3 ?2?0.50 在MSC/PATRAN中对以上矩形约束阻尼夹心板利用本文所描述的方法建立有限元模型。表2中给出了在MSC/NASTRAN中利用复特征值法和模态应变能法计算得到的以上矩形约束阻尼夹心板的频率和模态损耗因子，以及与理论分析结果的比较。从中可以看出，理论分析和有限元计算的结果吻合

的较好。

表2 矩形阻尼夹层结构频率和模态损耗因子

阶次 1 2 3 4 5 理论分析结果 频率(Hz) 60.3 115.4 130.6 178.7 195.7 损耗因子 0.095 0.102 0.099 0.090 0.087 NASTRAN/MSE 频率(Hz) 57.9 112.4 128.7 176.6 192.5 损耗因子 0.0656 0.0937 0.0943 0.0794 0.0802 NASTRAN/复特征值 频率损耗因(Hz) 子 58.0 0.0651 112.5 0.0934 128.9 0.0941 176.7 0.0793 192.7 0.0800 Structural Damping Calculation Method for Structures with Constrained Viscoelastic

Layers by MSC/NASTRAN

Qian Zhiying Zhang Shaohui Ruan Jianhua (Beijing Institute of Spacecraft System Engineerin,,

Beijing 100094)

Abstract：Constrained layer damping treatment has been applied in primary structures of spacecraft to suppress the responses at the resonance points. But it is difficult to calculate and optimize the structural damping for the constrained layer damping structures due to their complicate characteristic. This paper introduces damping calculation methods for constrained layer damping structures by commercial finite element software NASTRAN.

Key words：Viscoelastic; Constrained Layer Damping

Structures; Damping; Calculation Method

作者简介：钱志英，女，1982年出生，工程师，从事航天器结构设计与分析工作。

E-mail:：qian.zhiying@gmail.com

5. 结论

本文介绍了以通用有限元软件MSC/NASTRAN为工具的黏弹性材料约束阻尼结构的结构阻尼计算方法：复特征值法和模态应变能法；并简要介绍了对约束阻尼结构的有限元建模方法。在此基础上给出的实际算例，验证了方法的可行性，为今后的工程应用打下基础。

参考文献

[1] Johnson, C.D. and Kienholz, D.A. Finite Element Prediction of Damping in Structures with Constrained Viscoelastic Layers[J]，AIAA Journal, September 1982,Vol. 20, No.9, pp. 1284-1290.

[2] MSC.Softeware Corporation. NASTRAN User’s Guide[R]，Santa Ana: MSC.Softeware Corporation，2005.

[3] Conor D. Johnson and David A. Kienholz, Prediction of Damping in Structures with Viscoelastic Materials, Los Angeles：MSC/NASTRAN Users’ Conference, 1983

[4] 戴得沛.阻尼减振降噪技术[M]，陕西：西安交通大学出版社，1986.

[5] Srinivas Kodiyalam, Optimization of Constrained Viscoelastic Damping Treatments for Passive Vibration Control, Structural Dynamics and Materials Conference, 33rd,1992, pp.1479-1487.

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附件二：作者联系表

姓名 工作单位 论文题目 钱志英 航天五院总体部 职务/职称 邮编 工程师 100094 电话 邮箱 68746840 qianzhiying@cast.cn 基于MSC/NASTRAN的约束阻尼结构阻尼计算方法 在航天器主结构中附加黏弹性材料约束阻尼层来抑制共振区响应的方法，已经得到了工程应用。但由于黏弹性阻尼随频率和温度等中文摘要 因素变化的复杂特性，使得结构阻尼的计算和阻尼优化成为难点。本文针对黏弹性材料约束阻尼结构的结构阻尼计算问题，介绍了几种在通用有限元软件MSC/NASTRAN中实现此种计算的方法。 Constrained layer damping treatment has been applied in primary structures of spacecraft to suppress the responses at the resonance points. But it is difficult to calculate and optimize the structural damping for the 英文摘要 constrained layer damping structures due to their complicate characteristic. This paper introduces damping calculation methods for constrained layer damping structures by commercial finite element software NASTRAN. 1

附件二：作者联系表

姓名 工作单位 论文题目 钱志英 航天五院总体部 职务/职称 邮编 工程师 100094 电话 邮箱 68746840 qianzhiying@cast.cn 基于MSC/NASTRAN的约束阻尼结构阻尼计算方法 在航天器主结构中附加黏弹性材料约束阻尼层来抑制共振区响应的方法，已经得到了工程应用。但由于黏弹性阻尼随频率和温度等中文摘要 因素变化的复杂特性，使得结构阻尼的计算和阻尼优化成为难点。本文针对黏弹性材料约束阻尼结构的结构阻尼计算问题，介绍了几种在通用有限元软件MSC/NASTRAN中实现此种计算的方法。 Constrained layer damping treatment has been applied in primary structures of spacecraft to suppress the responses at the resonance points. But it is difficult to calculate and optimize the structural damping for the 英文摘要 constrained layer damping structures due to their complicate characteristic. This paper introduces damping calculation methods for constrained layer damping structures by commercial finite element software NASTRAN. 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8unr.html