1—3章概率论课后习题及答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1-2 随机试验、随机事件

1. 多项选择题:

⑴ 以下命题正确的是 （ ）

A.(AB)(AB)?A； B.若A?B,则AB?A； C.若A?B,则B?A； D.若A?B,则AB?B.

⑵某学生做了三道题，以Ai表示“第i题做对了的事件”(i?1,2,3)，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ）

A.A1A2A3 C.A1A2A1A2A3A1A2A3； B.A1A2A2A3A3A1；

A2A3A3A1； D.A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3.

2. A、B、C为三个事件，说明下述运算关系的含义： ⑴ A； ⑵ BC； ⑶ ABC； ⑷ ABC； ⑸ A

3. 一个工人生产了三个零件，以Ai与Ai(i?1,2,3)分别表示他生产的第i个零件为正 品、次品的事件.试用Ai与Ai(i?1,2,3)表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.

BC； ⑹ABC.

§1.3-4 事件的概率、古典概型

1. 多项选择题:

⑴ 下列命题中,正确的是 （ ）

A.A?B?AB?B；B.AB?A?B；C.A?BC?ABC；D.?AB?(AB)??.

⑵ 若事件A与B相容，则有 （ ） A.P(A C.P(AB)?P(A)?P(B)； B.P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)； B)?1?P(A)?P(B)； D.P(AB)?1?P(A)P(B).

⑶ 事件A与B互相对立的充要条件是 （ ） A.P(AB)?P(A)P(B) ； B.P(AB)?0且P(A C.AB??且AB)?1；

B??； D. AB??.

2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.

3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.

4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.

5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．

6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、 二名的两个队被分在同一小组的概率．

§1.5 条件概率

1. 多项选择题:

⑴ 已知P(B)?0且A1A2??,则（ ）成立.

A.P(A1|B)?0； B.P((A1A2)|B)?P(A1|B)?(A2|B)；

C.P(A1A2|B)?0； D. P(A1A2|B)?1.

⑵ 若P(A）?0,P(B)?0且P(A|B）?P(A)，则（ ）成立.

A.P(B|A)?P(B)；B.P(A|B)?P(A)；C.A,B相容；D.A,B不相容.

2. 已知P(A)?

3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.

4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴ 将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵ 从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.

5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为 男:女=0.502:0.498)

6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.

111,P(B|A)?.P(A|B)?，求P(A?B) 346§1.6 独立性

1. 多项选择题 ：

⑴ 对于事件A与B，以下命题正确的是( ).

A.若A、B互不相容,则A、B也互不相容；B.若A、B相容,则A、B也相容；

C.若A、B独立，则A、B也独立； D.若A、B对立，则A、B也对立.

⑵ 若事件A与B独立，且P(A)?0,P(B)?0， 则（ ）成立.

A.P(B|A)?P(B)；B.P(A|B)?P(A)；C.A、B相容；D.A、B不相容.

2. 已知A、B、C互相独立，证明A、B、C也互相独立.

3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为射手每次射击的命中率.

80，求此81*4. 设A、B、C为互相独立的事件，求证A?B、AB、A?B都与C独立.

5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别 是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.

6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.

7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．

第二章 一维随机变量及其分布

§2.1 离散型随机变量及其概率分布

1．填空题：

⑴ 当c? 时P(X?k)?c/N,(k?1,,N)是随机变量X的概率分布， ,N)是随机变量Y的概率分布；

当c? 时P(Y?k)?(1?c)/N,(k?1,⑵ 当a? 时P(Y?k)?a?kk! (k?0,1,?,??0)是随机变量Y的概率分布；

⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X的分布律为

；

⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是p, 射中了就停止射击且至多只 射击10次. 以X表示射击的次数，则X的分布律为

；

⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n次，以X表示此n次抛掷中落地后正面向上的

次数，则X的分布律为 . 2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X的分布律.

3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X的分布律；⑵ 求概率P(4?X?6),P(4?X?6),P(4?X?6),P(4?X?6).

4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是0.6. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.

5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X的分布律.

§2.2 连续型随机变量及其概率分布

1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )

??cosx,cosx0?x????0?x??, ； A.f(x)??2 ； B.f(x)??20,其它??其它??0,??cosx,??xex,0?x?1???x?. C.f(x)??22 ； D.f(x)??0,?0,其它?其它?2．设随机变量X的概率分布律如右,求X的分 布函数及P(X?2),P(0?X?3),P(2?X?3).

0 1 2 X p 1 / 16 3 / 16 1 \\ 2 3 1 / 4

3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X表示取得的球上所标有的数字.求X的分布律与分布函数.

4．设连续型随机变量X的概率密度如右，试求： ?Ax2,0?x?1 f(x)??，其它⑴ 系数A；⑵ X的分布函数；⑶ P(0.1?X?0.7). ?0,

?0,x?0?F(x)??kx,0?x?1?1x?1???x?5．设连续型随机变量X的分布函数如右，试求： ⑴ 系数k；⑵ X的概率密度；⑶ P(|X|?0.5).

6．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx(x?R)，试求：⑴ 系数A与B；⑵ X的概率密度；⑶ X在区间(a,b)内取值的概率.

§2.3 随机变量的函数的分布 1．设离散型随机变量X的分布律如右，求

X ?2 U?X?1,V?2X?2,W?2X2?1的分布律.

p 0 ?1 1 1 \\ 6 2 \\ 6 1 \\ 6 2 \\ 6 ?e?x,x?02．设随机变量X的概率密度为f(x)??,求随机变量Y?eX的概率密度.

?0,x?0

3．设随机变量X在区间(0,?)上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量Y??2lnX的概率密度；⑵ 随机变量Z?sinX的分布函数与概率密度.

4．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?

1?x2/2e(x?R),求Y?|X|的密度. 2?*5．设F1(x)与F2(x)分别为两个随机变量的分布函数，证明：当a?0,b?0且

a?b?1时，?(x)?aF1(x)?bF2(x)可以作为某个随机变量的分布函数.

§2.4 一维随机变量的数字特征

1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.

2．设随机变量X的概率密度为f(x)?0.5e

3．设随机变量X的概率密度为f(x)???|x|,???x???,求EX,DX.

?2(1?x),0?x?1,求EX与DX.

其它?0,4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分

钟内均匀分布. 求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).

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