2016年高考数学模拟试卷（理科）（三）（衡水万卷）

2016年高考数学模拟试卷（理科）（三）（衡水万卷）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2016?衡水万卷模拟）I．已知集合M={（x，y）|

=a+1}，N={（x，

y）|（a2﹣1）x+（a﹣1）y=15}．若M∩N=?，则a的值为（ ）

A．±1，﹣4，2.5或0 B．±1，﹣4或2.5 C．2.5或﹣4 D．±1，﹣4或0 2．（5分）（2016?衡水万卷模拟）已知2θ是第一象限的角，且那么tanθ=（ ） A．

B．

C．

D．

，

3．（5分）（2016?衡水万卷模拟）定义在R上的函数f（x）=（x）（ ）

A．既有最大值也有最小值 B．既没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，但没有最小值 D．没有最大值，但有最小值

，则f

4．（5分）（2016?衡水万卷模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ） A．360 B．520 C．600 D．720

5．（5分）（2016?衡水万卷模拟）若正数a，b满足为（ ） A．1

B．6

C．9

D．16

，P是BN上的一，

的最小值

6．（5分）（2016?衡水万卷模拟）如图，在△ABC中，点，若

，则实数m的值为（ ）

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A． B． C．1 D．3

7．（5分）（2014?江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

8．（5分）（2012?新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ） A． B．

C．

D．

9．（5分）（2016?衡水万卷模拟）将编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片，放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放入一张卡片，则编号为3与6的卡片不在同一个盒子中的不同放法共有（ ）种． A．960 B．1240

C．1320

D．1440

，0）的直线

10．（5分）（2009?天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（

与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

=（ ）

A． B． C． D．

11．（5分）（2016?衡水万卷模拟）在△ABC中，已知∠BAC的平分线交BC于点M，且BM：MC=2：3．若∠AMB=60°，则A．2

B．

C．

D．3

=（ ）

12．（5分）（2013?新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线

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y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ） A．（0，1） B．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．（5分）（2016?衡水万卷模拟）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、B、C对应的边长．若cosA+sinA﹣

=0，则

= ．

C．

D．

14．（5分）（2016?衡水万卷模拟）已知线段OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等，则其射影长为 ． 15．（5分）（2016?衡水万卷模拟）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程

+

=1（a＞b＞0），若

直线AC与BD的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为 ．

16．（5分）（2016?衡水万卷模拟）若x∈[1，100]，则函数f（x）=x2﹣lgx的值域为 ．

三．解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2016?衡水万卷模拟）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+（﹣1）n（n∈N+）．

（1）若bn=a2n﹣1﹣，求证：数列{bn}是等比数列并求其通项公式； （2）求an的通项公式．

18．（12分）（2016?衡水万卷模拟）一款游戏的规则如下：如图为游戏棋盘，从

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起点到终点共7步，选定一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3，其中A代表前进1步、2代表前进2步、3代表前进3步，如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏，游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数．

（1）求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率；

（2）若游戏结束抽取的卡片张数记为X，求X的分布列和期望．

19．（12分）（2012?北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

20．（12分）（2009?广东）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； （2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+

=0与D有公共点，试求a的最小值．

21．（12分）（2017?潮南区模拟）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数） （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范

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围；

（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：

[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016?衡水万卷模拟）如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上， 且AE=AF．

（1）证明：B，D，H，E四点共圆； （2）证明：CE平分∠DEF．

．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．（2016?衡水万卷模拟）已知点P（x，y）是圆x2+y2=2y上的动点， （1）求2x+y的取值范围；

（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（2016?衡水万卷模拟）设函数f（x）=2|x﹣1|﹣|x+2|． （1）求f（x）≤6的解集．

（2）若f（x）≥m对任意x∈R恒成立，求m的范围．

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2016年高考数学模拟试卷（理科）（三）（衡水万卷）

参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2016?衡水万卷模拟）I．已知集合M={（x，y）|

2

=a+1}，N={（x，

y）|（a﹣1）x+（a﹣1）y=15}．若M∩N=?，则a的值为（ ）

A．±1，﹣4，2.5或0 B．±1，﹣4或2.5 C．2.5或﹣4 D．±1，﹣4或0 【考点】1E：交集及其运算．

【专题】32 ：分类讨论；44 ：数形结合法；5B ：直线与圆；5J ：集合． 【分析】先确定出集合M、N所表示点集的性质，再讨论N=?以及直线（a+1）x﹣y﹣2a+1与直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y=15平行和直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y=15经过（2，3）点时，三种情况下a的取值情况，综合讨论结果得出a的值． 【解答】解：集合M={（x，y）|

=a+1}，表示直线（a+1）x﹣y﹣2a+1=0上

除（2，3）以外的所有点组成的集合； 当a=1时，M=?，满足M∩N=?；

当a=﹣1时，直线（a+1）x﹣y﹣2a+1=0与直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y=15平行，满足M∩N=?；

当a=﹣4，或a=时，直线（a2﹣1）x+（a﹣1）y=15经过（2，3）点，满足M∩N=?；

综上，a的所有取值是：±1，﹣4，． 故选：B．

【点评】本题考查了集合关系中的参数取值的应用问题，分析出集合表示直线（a+1）x﹣y﹣2a+1上除（2，3）以后的所有点组成的点集，进而确定分类讨论的分类标准是解答本题的关键．

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2．（5分）（2016?衡水万卷模拟）已知2θ是第一象限的角，且那么tanθ=（ ） A．

B．

C．

D．

，

【考点】G3：象限角、轴线角；GH：同角三角函数基本关系的运用；GK：弦切互化．

【分析】条件中四次方先同配方法进行降次，求出sinθcosθ，后添上分母1，再将“1”用“sin2θ+cos2θ=1”代换，为了寻找与 tanθ

合理转换，从而求出所求式的值．

【解答】解：∵

，

的关系，借助于

∴（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θcos2θ=， ∴sinθcosθ=∴

， =

∴解得，的正数）或故选：A．

，

（舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tanθ为小于1

【点评】本题借助于同角关系解决求值问题，巧妙地将“1”用“sin2θ+cos2θ=1”代换．必须注意这个角所在的象限．解题的关键是同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系、商数关系．它反映了同一个角的不同三角函数间的联系，其精髓在“同角”．

3．（5分）（2016?衡水万卷模拟）定义在R上的函数f（x）=（x）（ ）

A．既有最大值也有最小值

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，则f

B．既没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，但没有最小值 D．没有最大值，但有最小值

【考点】3H：函数的最值及其几何意义．

【专题】11 ：计算题；51 ：函数的性质及应用．

【分析】求出函数f（x）的导数，判断导数的符号，即可判断函数的单调性，从而确定函数的最值．

【解答】解：由于定义在R上的函数f（x）=

，

则f′（x）=即有

，

，

可知f（x）在R上单调递增．

所以f（x）没有最小值，也没有最大值． 故选：B．

【点评】本题考查函数的单调性和最值，考查运用导数判断函数单调性的方法，考查运算能力，属于中档题．

4．（5分）（2016?衡水万卷模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ） A．360 B．520 C．600 D．720

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【专题】11 ：计算题．

【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有C21?C53?A44=480种情况；

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若甲乙两人都参加，有C22?C52?A44=240种情况， 其中甲乙相邻的有C22?C52?A33?A22=120种情况； 则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种， 故选：C．

【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．

5．（5分）（2016?衡水万卷模拟）若正数a，b满足为（ ） A．1

B．6

C．9

D．16

，的最小值

【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】59 ：不等式的解法及应用． 【分析】正数a，b满足由

变形为a﹣1=

，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；；化

为

+9（a﹣1）应用基本不等式可求

最小值．

【解答】解：∵正数a，b满足

变形为

﹣1=

；

=

+9（a﹣1）≥2

=6，

，∴a＞1，且b＞1；

=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a

∴a﹣1＞0，∴当且仅当∴故选：B．

=9（a﹣1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=）， 的最小值为6；

【点评】本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”．

6．（5分）（2016?衡水万卷模拟）如图，在△ABC中，点，若

时，

，P是BN上的一

，则实数m的值为（ ）

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A． B． C．1 D．3

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．

【专题】11 ：计算题；14 ：证明题；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据题意，设

=λ

，将向量

表示成向量

、

的一个线性组合，

再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值． 【解答】解：∵∴设∴m=

=λ

，

，（λ＞0）得且=

=+

，解之得λ=8，m=

故选：A．

【点评】本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．

7．（5分）（2014?江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

【考点】EF：程序框图．

【专题】11 ：计算题；27 ：图表型；4B ：试验法；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．

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