自动控制原理习题及答案

1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。

答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。去掉采样开关后的连续系统输出表达式为

对闭环系统的输出信号加脉冲采样得

再对上式进行变量替换得

2. 已知采样系统的结构如图所示，值范围。

，采样周期T=0.1s。试求系统稳定时K的取

答案:首先求出系统的闭环传递函数。由

求得

e-1=0.368，故

，已知T=0.1s，

系统闭环传递函数为，特征方程为

2

D(z)=1+G(z)=z+(0.632K-1.368)z+0.368=0

将双线性变换代入上式得

2

0.632ω+1.264ω+(2.736-0.632K)=0 要使二阶系统稳定，则有 K＞0，2.736-0.632K＞0

故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。

3. 求下列函数的z变换。 (1). e(t)=te-at 答案:e(t)=te-at

该函数采样后所得的脉冲序列为 e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，… 代入z变换的定义式可得

E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…=0+Te-aTz-1+2Te-2aTz-2+…+nTe-naTz-n+…=T(e-aTz-1+2e-2aT-2

z+…+ne-naTz-n+…) 两边同时乘以e-aTz-1，得

e-aTz-1E(z)=T(e-2aTz-2+2e-3aTz-3+…+ne-a(n+1)Tz-(n+1)+…)

两式相减，若|e-aTz-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得

最后该z变换的闭合形式为

(2). e(t)=cosωt 答案:e(t)=cosωt

对e(t)=cosωt取拉普拉斯变换．得

展开为部分分式，即

可以得到

化简后得

(3).

答案:

将上式展开为部分分式，得

查表可得

(4).

答案:

对上式两边进行z变换可得

得

4. 求下列函数的z反变换

(1).

答案:由于

所以

得

所以可得E(z)的z反变换为 e(nT)=10(2n-1)

(2).

答案:由于

所以

得

所以E(z)的z反变换为

e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1

(3).

答案:

由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+… 所以其反变换为

e*(t)=2δ(t-T)-6δ(t-3T)+10δ(t-5T)-14δ(t-7T)+18δ(t-9T)+…

(4).

答案:

解法1：由反演积分法，得

解法2：由于

所以

得

最后可得z反变换为

5. 分析下列两种推导过程：

(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有

答案:

(2). 对于和(1)中相同的x(k)，有 x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1

试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。 答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2，… Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z) 按z变换定义有

将上述结果代入Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)中可得

可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。

6. 假设一个序列f(k)，有如下的z变换形式

(1). 求f(k)。

答案:首先求出F(z)的z反变换

由此可得

f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.71·1(k) k=0，1，2，…-- (2). 序列的稳态值为多少?

答案:在计算序列的稳态值之前，应该先判断(z-1)F(z)的稳定性。通过查看(z-1)F(z)的极点z1=-0.6，z2=0.3，可见(z-1)F(z)是稳定的。由终值定理可得

7. 某一过程的离散传递函数为

(1). 计算输出c(k)关于r(k)的单位阶跃响应。

答案:单位阶跃信号的z变换为，因此

z反变换为

c(k)=11.426ej2.594(0.64ej0.675)·1(k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k·1(k)+19.5·1(k)=11.426(0.64)k(ej2.594+j0.675k+e-j2.594-j0.675k)·1(k)+19.5·1(k)=22.85(0.64)kcos(0.675k+2.594)·1(k)+19.5·1(k) k=0，1,2，... (2). c(k)的稳态值为多少?

答案:可知，c(k)的稳态值为19.5。可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为

8. 考虑如下的差分方程： y(k+1)+0.5y(k)=z(k)

则当输入x(k)为单位阶跃序列时，零初始条件下响应y(k)等于多少? 答案:同时对方程两边进行z变换，得 zY(z)+0.5Y(z)=X(z) 当输入信号为单位阶跃序列时

因此

所得结果为

9. 已知系统传递函数为出状态变量图。

答案:(1)能控标准型为

，试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型，并画

(2)能观测标准型为

(3)

由上式可得对角型

状态结构图分别如下图(a)、(b)和(c)所示。

http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555745/AId_688732/PIC/9.4404E7.jpg

[提示] 需要注意的是：当传递函数的分子与分母的阶次相等时，d≠0。

10. 已知系统和

，判断Φ1与Φ2是否是状态转移矩阵。若是，试

确定系统矩阵A；如果不是，说明理由。 答案:状态转移矩阵应满足：

，Φ(0)=I，则

假设Φ1(t)与Φ2(t)为转移矩阵，则

则

所以Φ1(t)不是转移矩阵，Φ2(t)是转移矩阵，其系统矩阵为。

[提示] 由状态转移矩阵的定义可知，判断是否符合，状态转移矩阵必须满足的两个条件：(1)Φ(0)=I；(2)交换律

。

11. 已知系统矩阵答案:(1)定义法

，至少用两种方法求状态转移矩阵Φ(t)。

(2)拉氏反变换法

[提示] 求取状态转移矩阵的方法有多种，对于阶次3阶以下的系统，采用拉氏反变换法计算较为简单。

12. 已知系统状态方程为，初始条件为x1(0)=1，x2(0)=0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

答案:此题为求非齐次状态方程的解，对于非齐次状态方程，有

[提示] 状态方程的解是两部分的叠加，即初始状态引起的自由运动(零输入响应)和控制输入引起的强制运动

(零状态响应)，解的公式为

13. 给定二阶系统

，t≥0，现知对应于两个不同初态时状态响应为

。

时，

时，

试求系统矩阵A。

答案:方法1：先计算状态转移矩阵Φ(t)。设

齐次状态方程的解x(t)=Φ(t)x0，依题意应有

(9-21)

(9-22)

解方程组得

φ11(t)=2e-t-e-2t φ12(t)=2e-t-2e-2t φ21(t)=-e-t+e-2t φ22(t)=-e-t+2e-2t

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