数学：2.5用三种方法表示二次函数同步练习（鲁教版九年级上）

2.5用三种方法表示二次函数

1. 函数的三种表示方法是

2 、

2 、 ．

．

2. 已知点(m?1，m)在函数y?x?2x的图像上，则m? 3. 有三个点坐标A(?1，-1)，B(0，?2)，C(11)，． （1）求经过此三个点的抛物线的函数表达式； （2）用列表法表示此抛物线； （3）由图像法表示此抛物线．

4. 抛物线y?ax?bx?c与y?x的形状相同，对称轴是直线x?2，且顶点在直线y?用函数表达式表示此抛物线．

221x?3上． 25. 11个人到书店去为单位买书，每人都买了若干本，其中买书最多的人买了100本书，证明这11人中必有两人，他们买的书相差不到10本． 6. 有这样的算式

111111111????????． 2612203042567290你能正确而又迅速地算出它的结果吗？

7. 已知二次函数y?x?bx?c的图像过点A(c，0)，且关于直线x?2对称，则这个二次函数的函数表达式可能是

（只要写出一个可能的表达式）．

28. 完成下表：

x y 0.1 0.01 0.2 0.3 0.4 0.16 9. 两个数的和为8，这两个数的面积的最大值是 ． 10. 根据表格写出y与x的函数关系式,并作出图像．

x y ?3 9 ?2 4 ?1 1 0 0 1 1 2 4 23 9 11. 一块矩形木板长5cm，宽4cm，若长，宽各锯去xcm后，剩下的木板的面积为ycm，则y与x之间的函数关系式是什么？当剩下的木板的面积为8.75cm时，长，宽各锯去多少？

12. 已知抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(4，（1）求这条抛物?1)，与y轴交于点C(0，3)，O是原点，线的解析式；

（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为

用心 爱心 专心

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22

顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 13. 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x?2；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：

14. 已知二次函数y?ax?2的图像经过点（1，?1）．求这个二次函数的表达式，并判断该函数图像与x轴的交点的个数．

15. 已知抛物线的对称轴是x?1，它与直线y?下列问题： （1）求k的值；

（2）求抛物线的函数表达式； （3）求抛物线的顶点坐标．

16. 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南京市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1），在正常情况下，位于水平上的桥拱跨度为350m，拱高为85m．

（1）在所给的直角坐标系中（如图2），假设抛物线的表达式为y?ax?b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a，b的值保留两个有效数字）．

（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多少大（结果保留整数）？

17. 一个长方形的周长是8cm，一边长是xcm，则这个长方形的面积y与边长x的函数关系用图像表示为（

）

用心 爱心 专心

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221?1)，与y轴相交于点B(0，3)，求解x?k相交于点A(1，2y C 85m 350m 图1

图2

A O B x

y 4 y 4 Ｏ Ａ 4 x Ｏ Ｂ 4 x y 4 y 4 Ｏ 2 C x Ｏ 2 D x cm2．

18. 一个三角形的一边长和这边上的高的和为20cm，则这个三角形的面积最大可达到 19. 用长为100m的金属丝制成一个矩形框子，则该框子的最大面积是 20. （1）作出下面每个图形的对角线，并完成表格：

边的条数 对角线的条数 3 4 5 6 7 8

m2．

（2）如果用n表示多边形的边数，m表示这个多边形的对角线条数，那么m和n的关系如何？ 21. 二次函数图象如图所示，试写出它的代数表达式．

22. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，P为BC上一点，Q在CD上，AP⊥PQ，BP?xcm，

用心 爱心 专心

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y (1，4) (?1，0) Ｏ (3，0) x

Ａ Ｄ

CQ?ycm．求y与x的函数关系式，以及线段CQ的长最大可达到多长．

23. 试写出一个开口向上，对称轴为直线x?2，并且与y轴的交点坐标是(0，3)的抛物线的函数表达式

．

224. 已知抛物线y?x?6x?5的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x= ，满足y＜0的x的取值范围是 ，将抛物线y?x?6x?5向 平移 个单位，可得到抛物线y?x?6x?9．

25. 已知A1、A2、A3是抛物线y?22y

x

12x上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂 2足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．

（１） 如图11－1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长； （２） 如图11－2，若将抛物线y?121A1、A2、A3三点 x改为抛物线y?x2?x?1，22的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；

用心 爱心 专心

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（３） 若将抛物线y?12A1、A2、A3三点的横坐标为 x改为抛物线y?ax2?bx?c，2连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

图11－1 图11－2 答案： 1.解析式 2.?

列表法

图像法

O C y y A3 A2 C A3 A2 A1 A1 O B1 B2 B3 x B1 B2 B3 x

3 4，?a?b?c??1?23.（1）设所求抛物线的函数式为y?ax?bx?c，由?c??2，

?a?b?c?1，??a?2，21?17??2，y?2x?x?2?2?x???． 得?b?14?8??c??2，?（2）略．

（3）略．

24.抛物线的形状与y?x相同，a??1．又抛物线对称轴是直线x?2，顶点在y?1x?3上，顶点为2(2，4)．?所求抛物线为y??(x?2)2?4，即y?x2?4x?8或y??x2?4x．

5.因买书买得最多的人买了100本，所以每人买书不多于100本．把1到100这100个数分成如下的91组：

2，?，10?，?2，3，?，11?，?3，4，?，12?，?4，5，?，13?，?，?91，92，?，100?，因共有11人，故至少有两?1，个人买书的本数在上面的同一个数组中，这两个人所买的书相差不到10本． 6.解：

11111111?1??11??1???11??????????????1????????????????2612901?22?33?49?10?2??23??34??910?

19?1??.1010用心 爱心 专心

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7.y?x2?4x或y?x2?4x?3等 8.0.04，0.09 9.16

10.y?x2，图略

11.y?x2?9x?20，1.5cm 12.（1）y?124x?2x?3（2）存在，点P的坐标：

（0，4），（0，?4），（0，9），（0，?9） 13.y?x2?4x?3，答案不唯一 14.y?x2?2，与x轴的交点有两个 15.（1）k??32（2）y?4x2?8x?3（3）?1，?1? 16.解：（1）桥拱高度OC?85m，即抛物线过点C（0，85），所以b?85．

又由已知得：AB?350m，即点A、B的坐标分别为（?175，0），（175，0）．解得a?0.0028．所求抛物线的表达式为：y??0.0028x2?85（2）所以设DE为水位上升4m后的桥拱跨度， 即当y?4时，有4??0.0028x2?85．∴x??170．

∴D、E两点的坐标分别为（?170，0）

、（170，0）．∴ED?170170?340?（m），

答：当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度为340m 17.A 18.50 19.625

20.（1）作图略；依次填：0，2，5，9，14，20． （2）m?12n(n?3)?12n2?32n． ?a?b?c?0，21.设y?ax2?bx?c，则??9a?3b?c?0，

??a?b?c?4.?a??，故?1?b?2，?y??x2?2x?3． ??c?3.22.??APQ?90?，??APB??CPQ?90?．

用心 爱心 专心 - 6 -

又?BAP??APB?90?，??BAP??CPQ． 又?B??C?90?，?△ABP∽△PCQ．

?ABPC?BPCQ，即88?x?xy，y??18x2?x??18(x2?8x)??18(x?4)2?2．

故当x?4时，y有最大值2，即线段CQ的长最大可达到2cm． 23.y?x2?4x?3 24.x?3， 1?x?5

25.解：（１）方法一：?A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

?A1?12?1，A12191B1?222B2?2?2?2，A3B3?2?32?2.

设直线A1A3的解析式为y?kx?b．

?1?k?b，?k?2????2，?9 解得??b??3

??2?3k?b.??2.?直线A31A3的解析式为y?2x?2．

?CB352?2?2?2?2.

?CA512?CB2?A2B2?2?2?2.

方法二：?A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

?A1211191B1?2?1?2，A2B2?2?22?2，A3B3?2?32?2.

由已知可得A1B1∥A3B3，?CB12(A1?19?52?1B1?A3B3)?2??2?2???2. ?CA2?CB2?A2B2?52?2?12. （２）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n?1、n、n?1 则A11B1?2(n?1)2?(n?1)?1，A112B2?2n2?n?1，A3B3?2(n?1)2?(n?1)?1.设直线A1A3的解析式为y?kx?b．

用心 爱心 专心 - 7 -

????(n?1)k?b?1(n?1)2?(n?1)?1，?2???(n?1)k?b?1 2(n?1)2?(n?1)?1.?k?n?1，解得????b??12n2?32.

?直线A的解析式为y?(n?1)x?12n2?31A32．

?CB(n?1)?12n2?32?12n2?n?32?n2.

?CA13112?CB2?A2B2?2n2?n?2?2n2?n?1?2.

方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n?1、n、n?1． 则A1B1?12?(n?1)2?(n?1)?1，A112B2?2n2?n?1，A3B3?2(n?1)2?(n?1)?1.由已知可得A11B1∥A3B3，CB2?2(A1B1?A3B3) ?1?12??2(n?1)2?(n?1)?1?12(n?1)2?(n?1)?1??? ?12n2?n?32. ?CA12?CB2?A2B2?2n2?n?32???1?2n2?n?1??1??2. a?0时，CA2?a；当a?0时，CA2??a． 用心 爱心 专心 - 8 -

（３）当

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