2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习章末检测：第

第四章 章末检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．tan 300°＋sin 450°的值为 ( ) A．1＋3 B．1－3 C．－1－3 D．－1＋3

π

2．(2010·北京市朝阳区一调)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称3

的是 ( )

π?2x＋π? 2x＋? A．y＝sin? B．y＝sin6?3???π?2x－π? 2x－? C．y＝sin? D．y＝sin3?6???22

3．函数y＝sinx＋2sin xcos x＋3cosx的最小正周期和最小值为 ( ) A．π，0 B．2π，0 C．π，2－2 D．2π，2－2

π

4．(2010·四川)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所10

得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )

π2x－? A．y＝sin?10??

π2x－? B．y＝sin?5??1πx－? C．y＝sin??210?1πx－? D．y＝sin??220?

24θ

5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos 的值为 ( )

252

3434A. B. C．± D．± 55556．(2011·孝感月考)已知f(x)＝sin x＋3cos x (x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是 ( )

ππππA. B. C. D. 2346

π?π5π32?－α＝，α－?－cos?＋α?的值是 ( ) 7．已知cos?则sin?6?3?6??6?

2＋32＋3A. B．－

332－3－2＋3C. D.

33

π

0，?上是减8．(2011·保定模拟)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)是奇函数，且在??4?函数的θ的一个值是 ( )

π2π4π5πA. B. C. D. 3333

π?9．函数y＝2sin?π])为增函数的区间是 ( ) ?6－2x?(x∈[0，

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π0，? A.??3?π5π?C.??3，6?

π7π?

B.??12，12? 5π?D.??6，π?

π

10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图

2

1

所示，则当t＝秒时，电流强度是 ( )

100

B．5安 D．10安

π4π

11．(2010·辽宁)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重

33

合，则ω的最小值是 ( )

243A. B. C. D．3 33212．(2010·浙江)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点( ) A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

2π2π

－，?上单调递增，则ω的最大值为________． 13．若函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在??33?π3

＋2α?＝________. 14．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan?4??5

4

15．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.

3

16．(2010·厦门高三质检一)给出下列命题：

π5π

2x＋?的一个对称中心为?－，0?； ①函数f(x)＝4cos?3???12?

2

②已知函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则f(x)的值域为?－1，?；

2??

③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2011·商丘模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式．

A．－5安 C．53安

cos2x－sin2x11

18．(12分)(2010·湖北)已知函数f(x)＝，g(x)＝sin 2x－.

224

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(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出？

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．

19．(12分)已知向量a＝(sin x,2cos x)，b＝(2sin x，sin x)，函数f(x)＝a·b－1. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)在给出的直角坐标系中，画出f(x)在区间[0，π]上的图象．

20．(12分)(2011·安阳模拟)已知tan α、tan β是方程x2－4x－2＝0的两个实根，求cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．

21．(12分)(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.

(1)求f(x)的解析式；

πππ15π

－，?，f?α＋?＝，求sin?2α＋? 的值． (2)若α∈?3??32??3?3?

π11

＋φ?(0<φ<π)，其22．(12分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin??22?2

π1?图象过点??6，2?.

(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2

π

0，?上的最大值和最小值． 的图象，求函数g(x)在??4?

答案 1．B [tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－3.] 2πππ

2．D [由题意ω＝＝2，又因对称轴为x＝，即x＝是三角函数的最值点，代入检

T33

验只有选项D的函数值为最大值1.]

3．C [f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x

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＝1＋sin 2x＋(1＋cos 2x)

π

2x＋?，最小正周期为π， ＝2＋2sin?4??π

2x＋?＝－1时，取得最小值为2－2.] 当sin?4??4．C

θ

5．C [∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角．

2

θ

∴cos 的值有两个．

2

2424

由sin(π－θ)＝，可知sin θ＝，

25257θ18

∴cos θ＝－.∴2cos2＝1＋cos θ＝. 25225θ3∴cos＝±.]

25

πx＋?， 6．D [f(x)＝2sin??3?πππ

x＋＋φ?的图象关于x＝0对称，即为偶函数，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπy＝f(x＋φ)＝2sin??3?32

ππ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.] 667．A 8.B

π

－2x? 9．C [∵y＝2sin?6??π2x－?， ＝－2sin?6??π?∴y＝2sin??6－2x?的递增区间实际上是 π

2x－?的递减区间， u＝2sin?6??ππ3π

即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，

262

π5π

解上式得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)．

36π5π

令k＝0，得≤x≤. 36

π5π

又∵x∈[0，π]，∴≤x≤. 36ππ5π－2x? (x∈[0，π])的增区间为?，?.] 即函数y＝2sin??6??36?10．A [由题图知

T411

A＝10，＝－＝，

23003001002π

∴ω＝＝100π.

T

∴I＝10sin(100πt＋φ)．

1

，10?为五点中的第二个点， ∵?300??1π

∴100π×＋φ＝.

3002

ππ

100πt＋?， ∴φ＝.∴I＝10sin?6??6

1

当t＝秒时，I＝－5安．]

100

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4π4π

个单位后与原图象重合，得是此函数周期的整数倍．又33

2π4π33

ω>0，∴·k＝，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.]

ω322

12．A [由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观察可知答案选A.

11．C [将函数向右平移

]

313. 4

TT2π2πTTT2π－，?上递增，如图，故?－，???－，?，即≥. 解析 ∵f(x)在??44??33??44?43

33∴ω≤.∴ωmax＝. 44

114．－ 7

3π

解析 ∵α为第三象限的角，2kπ＋π<α<2kπ＋，

23

∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π (k∈Z)，又cos 2α＝－.

5

44

∴sin 2α＝，tan 2α＝－，

53π1＋tan 2α1＋2α?＝∴tan?＝－. ?4?1－tan 2α7115．－ 2

44

解析 由tan(π＋2α)＝－，得tan 2α＝－，

33

2tan α4

又tan 2α＝2＝－， 31－tanα

1

解得tan α＝－或tan α＝2，又α是第二象限的角，

21

所以tan α＝－. 2

16．①②

π5π

2x＋?， 解析 将x＝－代入f(x)＝4cos?3??12

5π5πππ

－?＝4cos?－＋?＝4cos?－?＝0， 得f??12??63??2?故①为真命题；在同一坐标系内画出y＝sin x，y＝cos x的图象，f(x)＝min{sin x，cos x}的图象为y＝sin x，y＝cos x的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，

由f(x)的图象知②是真命题；

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ππππ

2π＋?，但sin?6??633

17．解 由图象可知振幅A＝2，……………………………………………………(2分)

5ππ?

又∵周期T＝2??6－3?＝π，

2π2π

∴ω＝＝＝2，………………………………………………………………………(6分)

Tπ

此时函数解析式为y＝2sin(2x＋φ)．

π?

又图象过点??3，0?，由”五点法“作图的第一个点知， π2π

2×＋φ＝0，∴φ＝－.………………………………………………………………(9分) 33∴所求函数的解析式为

2π

2x－?.……………………………………………………………………(10分) y＝2sin?3??

π11

2x＋? 18．解 (1)f(x)＝cos 2x＝sin?2?22?

π1

x＋?，…………………………………………………………………………(3分) ＝sin 2??4?2

π

所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上

4

1

平移个单位长度即可．………………………………………………………………………(6分)

4

(2)h(x)＝f(x)－g(x) 111＝cos 2x－sin 2x＋ 224

π12

2x＋?＋.……………………………………………………………………(10分) ＝cos?4?4?2π

当2x＋＝2kπ＋π (k∈Z)时，

4

211－22

h(x)取得最小值－＋＝. 244

3π??

此时，对应的x的集合为?x|x＝kπ＋8，k∈Z?.………………………………………(12分)

??

π2π

2x－?，∴T＝＝π， 19．解 (1)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1＝sin 2x－cos 2x＝2sin?4??2

……………………………………………………………………………………………(3分)

ππ3π

当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值2.………………(6分)

428

(2)列表： πππ3π7π0 π 2x－ － 44224π3π5π7πx 0 π 8888y 0 0 －1 －1 －2 2 …………………………………………………………………………………………(9分) 描点连线，得函数图象如图所示：

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…………………………………………………………………………………………(12分) 20．解 由已知有tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝－2，………………………………(2分)

tan α＋tan β4

∴tan(α＋β)＝＝，………………………………………………………(5分)

1－tan αtan β3

cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β) cos2?α＋β?＋2sin?α＋β?cos?α＋β?－3sin2?α＋β?＝

cos2?α＋β?＋sin2?α＋β?

1＋2tan?α＋β?－3tan2?α＋β?＝…………………………………………………………(10分)

1＋tan2?α＋β?4161＋2×－3×

393

＝＝－.………………………………………………………………(12分)

1651＋

9

21．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，

2π

∴T＝2π，则ω＝＝1.…………………………………………………………………(2分)

T

∴f(x)＝sin(x＋φ)．

π

∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋ (k∈Z)，…………………………………………………(5分)

2

π

又0≤φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝cos x．……………………………………………………(6分)

2

π1α＋?＝， (2)由已知得cos??3?3

ππ－，?， ∵α∈??32?5ππ

0，?， ∴α＋∈?6?3?

π22α＋?＝则sin??3?3.………………………………………………………………………(8分)

5π2π2α＋?＝－sin?2α＋? ∴sin?3?3???

ππ42α＋?cos?α＋?＝－＝－2sin?.……………………………………………………(12?3??3?9分)

cos 2x＋111

22．解 (1)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ

222

1

＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) 21

＝cos(2x－φ)．…………………………………………………………………………(3分) 2

π1?又∵f(x)过点??6，2?，

π11

－φ?， ∴＝cos??22?3

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π

即cos(－φ)＝1.

3

π

由0<φ<π知φ＝.………………………………………………………………………(6分)

3

π1

2x－?. (2)由(1)知f(x)＝cos?3?2?

11π

将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，变为g(x)＝cos(4x－)．

223

……………………………………………………………………………………………(8分)

πππ2π

∵0≤x≤，∴－≤4x－≤. 4333ππ1

∴当4x－＝0，即x＝时，g(x)有最大值；

3122

1π2ππ

当4x－＝，即x＝时，g(x)有最小值－.????????????????(12

3344分)

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