2018年高考理科数学第一轮复习教案59 排列与组合

第二节 排列与组合

排列与组合

(1)理解排列、组合的概念．

(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合

数公式．

(3)能解决简单的实际问题．

知识点一 排列与排列数 1．排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．

2．排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn. 3．排列数公式及性质 (1)排列数公式

Amn＝n(n－1)(n－2)?(n－m＋1)＝(2)性质

n

①An＝n！；

n！

(m，n∈N*且m≤n)

?n－m?！

②0！＝1. 

易误提醒 (1)计算Amn时易错算为n(n－1)(n－2)?(n－m)．

(2)易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．

[自测练习]

1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )

A．24种 B．60种 C．90种

D．120种

3

解析：可先排C、D、E三人，共A5种排法，剩余A，B两人只

有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．

答案：B

3222．方程3Ax＝2Ax＋1＋6Ax的解为________．

解析：由排列数公式可知

3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3且x∈N*，

∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 2

即3x－17x＋10＝0，解得x＝5或3(舍去)，

2

∴x＝5. 答案：5

知识点二 组合与组合数 1．组合

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.

3．组合数公式及性质 (1)组合数公式

m

n?n－1???n－m＋1?Anm

Cn＝Am＝

m！m

n！

＝. m！?n－m?！(2)性质 ①C0n＝1. ②Cm. n＝Cn

m－1③Cm＋C＝Cmnnn＋1.

n－m

易误提醒 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的

元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．



必备方法 排列问题与组合问题的识别方法： 排列 识别方法 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 [自测练习] 33．若An＝6C4n，则n的值为________．

组合 n！n！34解析：因为An＝6Cn，所以＝6×，所以n

?n－3?！?n－4?！×4！－3＝4，所以n＝7.

答案：7

4．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．

12

解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C4C12＝264种． 3第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C4＝220－12＝208

种．

由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种． 答案：472

考点一 排列问题|

1．室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1,2号相邻，3,4号相邻，5,6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)

解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间

3

有A3＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空2当中，有A4＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有2A2＝2(种)排法．

所以不同的排法种数为23×6×12＝576. 答案：576

2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．

解析：法一：(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边

和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：

2

第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A5种

站法；

4第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A4种站法． 24由分步乘法计数原理可知，共有A5A4＝480(种)不同的站法．

法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：

1第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A4种

站法；

5第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A5种站法． 15由分步乘法计数原理可知，共有A4A5＝480(种)不同的站法．

法三：(间接法)6人无限制条件排队有A66种站法，甲站在最左边

5

或最右边时6人排队有2A5种站法，因此符合条件的不同站法共有65A6－2A5＝480(种)．

答案：480

3．(2016·甘肃模拟)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．

解析：首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，

112当0不排在个位时，有A4A8＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A1A84·

＝4×7×8＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．

答案：328

求解排列问题的常用方法

(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．

(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位

置．

(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．

(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．

(5)分排问题直排处理的方法．

(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．

(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．

考点二 组合问题|

(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生

组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )

A．85 C．91

B．86 D．90

(2)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)

[解析] (1)法一：(直接法)由题意，可分三类考虑：

221

第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C4＋C3C4

3

＋C3＝31；

221

第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C3＋C4C3

3

＋C4＝34；

11

第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C2＋C34C3＋

C24＝21.

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.

法二：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女

44生都有的选法有C49－C5－C4＝120(种)；男、女生都有，且男生甲与4女生乙都没有入选的方法有C4－C所以男生甲与女生乙至74＝34(种)．

少有1人入选的方法种数为120－34＝86.

C211727

(2)所取的2瓶都是不过保质期的饮料的概率为C2＝145，则至少

30

11728

取到1瓶已过保质期饮料的概率为1－145＝145.

28

[答案] (1)B (2)145

组合问题的常见题型

(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．

(2)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

1．现有10个优秀指标分配给6个班级，每个班至少一个，共有________种不同的分配方法？

解析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分

堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应关系，实际问题化归为组合数求解．该事件的实质为将10个相同的元素分成6堆，每一堆至少一个元素，利用“隔板法分堆”，即在10个相同元素构成的

5

9个空中插入5个隔板，其不同的分配方案有C9＝126(种)．

答案：126

考点三 分组分配问题|

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方

式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． [解] (1)无序不均匀分组问题．

12

先选1本，有C6种选法；再从余下的5本中选2本，有C5种选

法；最后余下3本全选，有C33种选法．

123故共有C6C5C3＝60(种)．

(2)有序不均匀分组问题．

由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑

233

再分配，共有C1C65C3A3＝360(种)．

(3)无序均匀分组问题．

22

先分三步，则应是C26C4C2种方法，但是这里出现了重复．不妨

记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，

222

第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C6C4C2种分法中

还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，

3AB)，(EF，AB，CD)，共有A33种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，22

C2C64C2

EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有A3＝

3

15(种)．

(4)有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给3个人，

422C6C4C23222

共有分配方式A3·A3＝C6C4C2＝90(种)．

3

11

C46C2C1

(5)无序部分均匀分组问题．共有A2＝15(种)．

2

(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，

411C6C2C13

共有分配方式A2·A3＝90(种)．

2

1(7)直接分配问题，甲选1本有C6种方法，乙从余下5本中选11114

本有C5种方法，余下4本留给两种C4共有C6·C5C4＝30(种)． 4种方法，

解决分组分配问题的策略

(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)、避免重复计数．

(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中

元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

2．(2016·内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )

A．144 B．72 C．36

D．48

解析：分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其

11

C24C2C13

分法有A2；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A3种，

2

11

C24C2C13

所以满足条件的分配方案有A2·A3＝36种．

2

答案：C

29.模型法巧解排列组合问题

【典例】 把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有________种不同的放法．

[思路点拨] 本题可先向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球，再将剩下的17个球随意分成三份装入盒子中即可．

[解析] 题目有限制条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216＝120(种)不同的放法．

[答案] 120

[方法点评] 排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，

对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中这类问题可利用“隔板法”求解，实质上是最终转化为组合问题．根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比构建模型是求解排列、组合问题的关键．

[跟踪练习] (2015·浙江金华质检)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答)

解析：把4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别

211

C4C2C1为2,1,1的3组，有A2种．最后将3组球放入4个盒中的3个，

2

211CC2C1433

分配方法有A4种，因此，放法共有A2×A4＝144种．

2

答案：144

A组 考点能力演练

1．(2016·大连模拟)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )

A．3种 B．6种 C．9种

D．18种

解析：由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从里边选出3门的选法有C35＝10种．两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种．满足题意的选法有10－1＝9种．所以选C.

答案：C

2．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是( )

A．150 C．600

B．300 D．900

解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，

4

有C25×A4＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从64名教师中选4名，共有C4因此共有600种不同的6×A4＝360种方法．

选派方案．

答案：C

3．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )

A．50种 C．140种

B．51种 D．141种

解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0,1,2,3，共4种情况，所以

011233共有C6＋C6C5＋C26C4＋C6C3＝141种，故选D.

答案：D

4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )

A．360 C．600

B．520 D．720

解析：依题意进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中恰有一

4

人参加，满足题意的不同发言顺序有C1C3A4＝480种，第二类，甲、2·5·22乙两名同学均参加，满足题意的不同发言顺序有C2C5·A2A3＝1202·2·

种．因此，满足题意的不同发言顺序有480＋120＝600种，故选C.

答案：C

5．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( )

A．72 C．648

B．324 D．1 296

2

解析：核潜艇排列数为A2，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，33

同侧均是同种舰艇的排列数为A3A3×2，则舰艇分配方案的方法数为233A2(A66－A3A3×2)＝1 296.

答案：D

6．5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是________(用数字作答)．

4

解析：依题意，满足题意的不同的排法种数是C1A4＝96. 4·

答案：96

7．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100分，答错得－100分，选乙题答对得90分，答错得－90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是________．

解析：由于4位同学的总分为0分，故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；

2

③甲：0人，乙：4人．对于①，须2人答对，2人答错，共有C4＝611种情况；对于②，有C24C2C2＝24种情况；对于③，与①相同，有6

种情况，故共有6＋24＋6＝36种不同的情况．

答案：36

8．(2016·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．

解析：本题考查排列组合，难度中等．优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一

5

5A5项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有A2＝300

2

种不同的编排方法．

答案：300

9．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？

解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．

(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．

10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？

(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ 解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情

4

况；第二步，在5个奇数中取4个，有C5种情况；第三步，3个偶数，3474个奇数进行排列，有A7所以符合题意的七位数有C4C5A7＝7种情况．

100 800个．

453

(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C3C 45A5A3＝14 400个．

(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有

4342

C34C5A3A4A2＝5 760个．

B组 高考题型专练

1．(2014·高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )

A．192种 C．240种

B．216种 D．288种

5

解析：若最左端排甲，其他位置共有A5＝120种排法；若最左端

排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置有A44＝24种排法，所以共有120＋4×24＝216种排法．

答案：B

2．(2014·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )

A．144 C．72

B．120 D．24

解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再

3

把三人带椅子插放在四个位置，共有A4＝24种放法，故选D.

答案：D

3．(2014·高考安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为

一对，其中所成的角为60°的共有( )

A．24对 C．48对

B．30对 D．60对

解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图， 它们的棱是原正方体的12条面对角线．

一个正四面体中两条棱成60°角的有(C2两个正四面体有6－3)对，

2(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C6－

3)×2×2＝48对．故选C.

答案：C

4．(2015·高考四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )

A．144个 C．96个

B．120个 D．72个

解析：数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数．其中以4开头的偶数又分以0结尾与

3以2结尾，有2A34＝48个；同理，以5开头的有3A4＝72个．于是共

有48＋72＝120个，故选B.

答案：B

5．(2015·高考广东卷)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

解析：∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共

有40人，∴全班共写了40×39＝1 560条毕业留言．

答案：1 560

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