吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试4月数学文含答案

吉林市普通中学2019—2020高三第三次调研测试

文数

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|10}B x x =-<，则A B =I

A. {2}

B. {1,0}-

C. {0,1}

D. {1,0,1}-

2. 已知复数z 满足i z

1

1=-，则z =

A.

i 11

22-

B. i 1122+

C. i 1122

-+ D.

i 1122

-- 3.

已知向量(,3),a x b ==r r ，若a b ⊥r

r ，则x

=

A.

B.

C. 1-

D. 1

4. 双曲线x y C a b

22

22:1-=

0y -=，则双曲线的离心率为

A.

B. 2

C. D. 3

5. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件

是

A. m ∥n m n ,,αβ??

B.

m ∥n m n ,,αβ⊥⊥

C. m n m ,⊥∥n ,α∥β

D. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥

6. 等差数列n a {}的前n 项和为n S ，若534a a +=, 1560S =,则20a = A. 4 B. 6 C. 10

D. 12

7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.

103 B. 3

2正视图

俯视图

侧视图

C.

83

D. 73

8. 已知函数()cos(2)(||)2

f x x π

??=-<的一条对称轴为3

x π

=

，则函数()f x 的对称轴

不可能为

A. 6

x π

=- B. 56

x π=

C.

43

x π=

D.

6

x π

=

9. 已知数列n a {}为各项均为正数的等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936?=，则

a a a 768

111++=

A.

1318 B.

1318或1936

C. 139

D. 136

10. 已知b a b c a 0.212

1()2

,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是

A. a b c <<

B. c a b <<

C. a c b <<

D. b c a <<

11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，

介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造 如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大

正三角形，设AC C A '''=,若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率 为

A.

3

B.

13

C.

D. 17

12. 设点P 为椭圆22

:12516

x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12

PF F

?A

B C

A

B

C

图（1）

图（2）

的重心为点G ，如果12||:||2:3PF PF =，那么1GPF ?的面积为

A. 3

B.

C. 3

D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 若点P 在角56

π的终边上，且||2OP =（点O 为坐标原点），则点P 的坐标为 . 14. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组

数据1122334455(,),(,),(,),(,),(,),x y x y x y x y x y 根据收集到的数据可知60y =，由最小 二乘法求得回归直线方程为?0.648y

x =+，则12345x x x x x ++++= . 15. 已知两圆相交于两点(,3),(1,1)A a B -，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的 值是 .

16. 已知函数2ln ,1()13,122

x x f x x x +≥??=?+

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17.（12分）

在ABC ?中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且ABC ?

的面积为

222)4a c b +-. （1）求角B 的大小；

（2）若2,4,a b == 求sin C ．

18.（12分）

在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19

人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占8

13

，统计成绩后得到如下22?列联表：

生线上学习时间有关”；

（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足

5小时的概率. （下面的临界值表供参考）

（参考公式n ad bc K a b c d a c b d 2

2

()()()()()

-=++++ 其中n a b c d =+++）

19.（12分）

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ,AD AB CD DAB 1

,602

==

∠=?，点 E F ,分别为CD AP ,的中点.

（1）证明：PC ∥面BEF ；

（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求PC 与底面ABCD 所成角

的正弦值.

20.（12分）

已知倾斜角为

4

π

的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点,且||8AB =.

A B

C

D

E

F

P

（1）求抛物线C 的方程；

（2）求过点,A B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

21.（12分） 已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈

（1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；

（2）若对1[,]x e e

?∈，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα?=??=??

（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+

=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；

（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π

∠=,射线,OA OB 交

曲线2C 分别于,D C ，求AOB ?面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.

23.（10分）

已知,,a b c 均为正实数，函数222

111()||||4f x x x c a b =++-+的最小值为1. 证明：（1）22249a b c ++≥； （2）111122ab bc ac ++≤.

命题校对： 王有富 付冰冰 于伟艳 李鑫

孙长青

二、填空题

13. ()

; 14. 100； 15. -1； 16. [)32ln 2,-+∞ 三、解答题 17.解：

(1)222)a c b +-=1

sin 2

ac B ---------------2分

sin B =, tan B = --------------------4分

(0,),3

B B π

π∈∴=

Q ----------------------6分

(2)由正弦定理得

sin sin a b

A B

=

即sin A = ---------------8分

cos A B A <∴=Q 4

=

-------------------------10分

[]sin sin ()C A B π∴=-+sin()3

A π

=+14242=

+8=. --12分

18.解：

--------------------------------------------------------3分

2

2

45(1516104)7.29 6.63525201926

K ?-?=≈>???Q -------------------5分

∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” --6分

（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生15

5325

?=人，设为1A ,2A ,3A ，线上学

习时间不足

5小时的学生2人，设为1B ,2B --------------------------8分

所有基本事件有：

11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B ,12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A

共10种 -----------------------------------------------10分

至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B 共7种

19.

（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH . ,,AB CE HAB HCE =∠=∠Q BHA CHA ∠=∠ ABH ∴?≌CEH ? --------3分 AH CH FH PC ∴=∴P FH ?Q 面,FBE PC ?面FBE

PC ∴P 面FBE ---------------5分

（2）取AD 中点O ，连PO ，OB ,OC .由PA PD =，PO AD ∴⊥.

又Q 面PAD ⊥面ABCD ，

PO ∴⊥面ABCD ，PCO ∴∠即为PC 与底面所成角 ------7分

设2AD =，则1PO OD ==，4DC =.又由60DAB ∠=o ，120ODC ∴∠=o --8分 在ODC ?中，由余弦定理得2222cos OC OD DC OD DC ODC =+-∠g 21= --10分

PC ∴=分

sin 22PCO ∴∠== A B

C D E F

P

H O

即PC 与底面ABCD

所成角的正弦值为

22 ------------------------12分 20. 解：

（1）由题意设直线AB 的方程为2

p y x =+，令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 联立222p y x x py

?=+???=?得22304p y py -+= ------------2分 123y y p ∴+= --------------------------------------3分 根据抛物线的定义得124AB y y p p =++= ----------4分 又8AB =， 48,2p p ∴==

故所求抛物线方程为24x y = ----------5分

（2）由（1）知1236y y p +==，12124x x y y p +=+-=

AB ∴的中点为(2,3)M ，AB 的垂直平分线方程为3(2)y x -=--即5y x =-+ ----------7分

设过点,A B 的圆的圆心为(,5)a a -，

Q 该圆与C 的准线1y =-相切，

∴半径6r a =- --------------------------------------9分

圆心(,5)a a -到直线:1AB y x =+

的距离为d =,8AB =

2224(6)a ∴+=-，解得6a =-或2a = ---------11分

∴圆心的坐标(6,11)-为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为4

圆的方程为22(6)(11)144x y ++-=或22(2)(3)16x y -+-= -------12分

21. 解：

（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x

'=-+ ----------1分 ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增； -----3分 ②当1b >-时，若10,1x b ?

?∈ ?+??，()0f x '>；若1,1x b ??∈+∞ ?+??

，()0f x '< 故此时()f x 的单调增、减区间分别为10,

1b ?

? ?+??、1,1b ??+∞ ?+?? ----------5分 (2)由1()21f x ax a b x

'=-+--，又(1)0f =， 故()f x 在1x =处取得极大值，从而(1)0f '=，即1210,a a b -+--=b a =- ------------7分 进而得1()221f x ax a x '=-+-=(21)(1)ax x x

+-- ------------------8分 当0a ≥时，若1,1x e ??

∈????，()0f x '>则；若(]

1,x e ∈，则()0f x '<。所以()=(1)0f x f =最大值

故0a ≥符合题意 -------------------------------10分

当0a <时，依题意，有112()0a f e ?->???≤?即2122(1)a e a e ?>-???-?≥-??，故此时220(1)e a e -≤<- 综上所求实数a 的范围为22(1)

e a e -≥

- ----------12分 22. 解： （1）由曲线1C

的参数方程为sin x y αα

?=??=??（α为参数）消去参数得2213x y += ------2分 曲线2C 的极坐标方程为sin()26π

ρθ+=即sin cos cos sin 266π

π

ρθρθ+=

40

x +-= ---------------------------------------------------------------------------------------4分

（2）依题意得1C 的极坐标方程为

2222cos sin 13

ρθ

ρθ+= --------------------------------- 5分

设1(,)A ρθ,2(,)2B π

ρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2

C π

ρθ+

则

222

2

11

cos sin 13

ρθ

ρθ+=，

2

22222sin cos 13

ρθ

ρθ+=，故

2

2

12

1

1

4

3

ρρ+

=

----------7分 2

2

12

122

1

1

43ρρρρ∴

≤

+

=

，当且仅当12ρρ=（即4

π

θ=）时取“=” -----------8分 故121324AOB S ρρ?=

≥，即AOB ?面积的最小值为3

4

----------------------------9分 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ?=

=++g 4

8cos 3

π

== 故所求四边形的面积为329

844

-= ---------------------------------10分 23. 证明

（1）,,0a b c >Q ，∴

222

111()4f x x x a b c =+

+-+222

111

()4x x a b c ≥+

--+222

111

4a b c

=

++ ∴222111

4a b c

++1= -----------------------------------------------------------3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111

()4a b c

++2(111)9≥++=

当且仅当2a b c ===“=”。∴22249a b c ++≥ ------------5分

（2） 22112,a b ab +≥Q

22111,4b c bc +≥22111

4a c ac

+≥

（以上三式当且仅当2a b c ===“=”） -------------------------7分 将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c

++= 即111

122ab bc ac

++≤ -------------------------------------------------------------10分

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