周建方版材料力学习题解答

4-1 图4-13所示钢杆横截面面积为A?100mm，如果F?20kN，钢杆的弹性模量

2E?200GPa，求端面A的水平位移。

解：（一）绘制轴力图 （二）计算：

FF2FFNiliF?(2l1?l2?2l3)?EAEA20?103(2?1000?1000?2?1000)3200?10?100?5mm(伸长）?l??2F2FF+++ 题4-1图 4-2拉杆如图4-14所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量E?150GPa。

题4-2图

解：

FNili15?103?15015?103?250?l?????EAi150?103?20?20150?103?20?10?3.75?10?2?1.25?10?1?1.625?10?1mm?0.1625mm

4-3 相同材料制成的AB杆和CD杆（图4-15），其直径之比为dAB/dCD?1/2，若使刚性杆BD保持水平位置，试求x的大小。 解：

（一） 求反力

FABxFCDFAB(l?x)?FlFCDx?Fl?（二） 根据条件求解 题4-3图

?lAB??lCDFlFAlA?CCEAAAECAC1l?x?4x则：x?4l52FAAArA即：??FCACrC2

4-4 图4-16所示一均质杆，长为l，横截面面积为A，杆重W，材料的弹性模量为E，求杆端B及中间截面C在自重作用下的位移。 解，如图

l(l?x)qdxN(x)dxqlq2x2?lB?????(l?x)dx?[l?]?lEA(x)00EAEAEA20lAql2?2EA?ql?Wl??lB?WlEAN(x)dxq3ql23Wl2?lA????(l?x)dx??lEA(x)0EA8EA8EAdxBx 题4-4图 4-5 试计算以下各题刚性梁AB的B处位移（图4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度EA。 （a）

qCC'BB'求反力：?MA?024l?q?2l?l?0故：FDC?ql224ql?2l4ql22CD'??EAEA42ql282ql2CC'?则B点的位移：BB'?2CC'?EAEAFDCAFDCD

4-5（b）

D'D计算CD杆反力：?MA?03?F?3l?0故：FDC?3F2F2l23Fl则：EC'?DC?EAEA根据图的关系：FDC?2lCC'?3?EC'2CC'?4FlEAB点位移：BB'?36FlCC'?2EAAEC'CBB'

4-5（c）

DFAFO1AδFO1CCB(一）受力分析，反力计算?M?M?1?CD?0?0FO1A?F?F?2l?FO1C?2l?0因此：FO1C?2F(二）求变形FO1AlFl?EAEAF2l22F?2lFl?2?O1C??2?22EA2EAEA?3??1?2(?2??1)3FO2C1δ2δ?3?2?2??1?42FlFlFl??(42?1)EAEAEA

4-6 求图4-18所示节点B的水平位移和竖向位移。AB杆和BC杆的抗拉刚度EA相同。 解：

CFBC根据静力学容易求得：FAB?F由BD?FlEAFBC?2FBE?FlEA2F?2l2Fl?EAEAAFABB则：?Bx?BD?BEG 题4-6图

D?By?2BE?HF2FlFlFl?HF?22??(1?22)2EAEAEA4-7 在图4-19所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量

E?210GPa，已知l?1m，A1?A2?100mm2，A3?150mm2，F?20kN。试求C点的水平位移和铅直位移。

解：

根据静力学容易求得：1AA'23ΔCyΔCxBB'F1?F2?F2Fl200?103?0.5?1000AA'???0.476mm32EA210?10?100?Cy?0.476mm?Cx??Cy?tg450?0.476mm

4-8 求习题3-6中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。 解：

IP??D432Mx2.15?103?32?20????3.9?10rad/m(2.24/m)GIP90?109?3.1416?0.054

4-9 求习题3-7中的最大单位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转角。已知齿轮1和齿轮2的间距为0.2m，齿轮2和齿轮3的间距为0.3m，G=90Gpa。 解：

Mx?9550Pn30?1.432?103N?m20017M2?9550??8.118?102N?m20013M3?9550??6.208?102N?m200M11.432?103?32?1?2???0.755?10?3rad/m(0.3870/m)94GIP90?10?3.14?0.07M1?9550??2?3M36.208?102?32???2.746?10?2rad/m(1.570/m)94GIP90?10?3.14?0.04因此?max?2.746?10?2rad/m?1?3??1?2?0.2??2?3?0.3?9.589?10?3rad(0.550)

4-10 一钻探机的功率7.355kW，转速n?180r/min，钻杆外径D?60mm，内径

，试d?50mm，钻入土层40m，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图4-20）

求此杆两端面的相对扭转角。钻杆G?80GPa。 解：

?D43.14?0.064504IP?(1??)?[1?()4]?6.587?10?7m4323260GIP?80?109?6.587?10?7?5.270?104Mx?7.355?9550/180?3.902?102l???0mxdx0.5ml2?GIPGIP其中：ml?MxMxl3.902?10240故：??????0.481?10?1rad(8.480)4GIP25.270?102

4-11 一直径d?25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当它受一对矩为0.2kN?m的外力偶作用而扭转时，在标距200mm长度内相对扭转了0.732?的角度，求钢杆的E、G、?。 解：

FlE?N??l?AIP?200?60?103?2.16?105MPa?216GPa3.140.113??2524?D432Mxl0.2?103?0.210G???8.172?10Pa?81.72GPaIP?3.833?10?8?1.277?10?2E216???1??1?0.322G2?81.72?3.833?10?8

4-12 全长为l，两端面直径分别为d1和d2的圆锥形杆，两端各受力偶T作用而扭转（图4-21），求两端面间相对扭转角。

解：

11dx?(xd2?ld1?xd1)?d1?x(d2?d1)lllM(x)Ml3232Tl1???dx?x?dx?dx?0GI0011GG?44P?[d1?x(d2?d1)][d1?x(d2?d1)]ll(K?d1)l1令K?d1?x(d2?d1)则:x?l(d2?d1)上面积分转换为：32T??G?(K?d1)l32TlK?332Tl11?4Kd?(?)?(3?3)?(d2?d1)G?(d2?d1)3dG?(d2?d1)d1d21d2d1xLd2?d2d12(d2?d1)(d12?d1d2?d2)32Tl32Tl2??(d12?d1d2?d2)33333G?(d2?d1)d1d23G?d1d2

4-13 求例3-5中的单位长度扭转角。已知G=80Gpa。 解：

已知：h=100mm，b=45mm，T=2kN·m，G=80GPa；

??MxG?hb3其中，?和h/b有关h/b?2.2，插值h/b?2.0，??0.229，h/b?2.5，??0.249??0.229?（0.249?0.229）2.2?2.0?0.2372.5?2.02?103?20???1.157?10rad/m?0.66/m9380?10?0.237?0.1?0.045

4-14 用积分法求图4-22所示各梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。 （a）解：

由挠曲线方程：

MABxM(x)??MEIZ???M(x)dx?C???Mdx?C??Mx?C当x?0，?A?0，故C?0故：???MxEIZM-?max??B??MlEIZ11EIw??Mx2?Cx?D??Mx2?D22当x?0时，wA?0，所以D?0Mx2?w??2EI

（b）解：

qwmaxMl2?wB??2EIM(x)?q(xl?x2)2q/212ql8q/2qEIZ???M(x)dx?C??(xl?x2)dx?C2q111?x2l?x3q?C?qlx2?qx3?C464611EIZw?qlx3?qx4?Cx?D1224当x?0时，w?0,?D?0lql3当x?时，??0，从而，C??2245ql4ql3则,wmax?wl???max???A??B?384EIZ24EI2

4-15 用叠加法求图4-23所示梁的?C及wB。设EI均为已知常数。 （a）解：

求：?C,wB.（一）求?CM?ql2qc?C??C1??C2??C3??C4??C1(B')??C2(B')??C3(B')??C4(C')ql30.5ql2lql3ql3????(?)?2EIEI6EIEIql3??6EIBM?ql2(1)(B')qql（二）求wBwB?wB1?wB2?wB3?wB4(ql)l3?(0.5ql2)l2??ql2l2?1ql4?????)???????(?3EI2EI??2EI?8EI?45ql4?1111?ql?????????24EI?3428?EI

4-15(b)解

(2)(B')+12ql2(3)(B')qw'(4)（一）?CFlBFC?C??C1??C2FlFl2l3Fl????2EIEI2EI22(1)Fl（二）求 wBFl3Ml2wB?wB1?wB2???3EI2EIFl3Fl3Fl3????3EI2EI6EI

C(2)

4-16 用叠加法求图4-24所示梁的最大挠度和最大转角。 4-16(a) 解

（一）最大转角2EIACFCCEIFBFlFBFl?B??max??1FB??1B??2BFl2Fl?lFl2111Fl25Fl2?????(???)??2(2EI)2EI2EI422EI4EI（二）最大挠度FlFFlwB?w1FC?w1C??1C?l??1C?l?w2BFl3Fl?l2Fl2(Fl)lFl3?????l??l?3(2EI)2(2EI)2(2EI)2EI3EI11111Fl33Fl3?(?????)??64423EI2EI

4-16（b）解

qADlCl/2qwB1θθB2B1(1)?BBwB2θB3lq()3ql32?B1????6EI48EIql3?B2?24EI12ql?lql38?B3????3EI24EIwB3?B??B1??B2??B3(2)wBql3??48EIll??B3?22wB?wB1?wB2?wB3?wB1??B1?lq()4ql42wB1????8EI128lql3lql4wB2??B2????224EI248EIlql3lql4wB3??B3??????224EI248EIql4故:wB??128(3)经过验算，wD?wB?A,?Ｃ??B?max??B,wmax?wB

4-16（c）解

qAB(1)求?Ad?A??(qdx)x(l?x)(l?l?x)q??x(l?x)(2l?x)dxdxx(3/8)ql-(1/8)ql+

6EIl6EIlll???q26EIl?x(l?x)(2l?x)dx??q?6EIl??l2x?lx3?14x4?2A0??0q93??43ql6EIl364l??128EI(2)求?Bd?(qdx)x(l?x)(l?x)B?6EIl?q6EIlx(l?x)(l?x)dxl?q23q7347qlB??206EIl(lx?x)dx?6EIl64l?384EI(3)wmax根据Q,M图，wmax?wC?3qx2qlxlM??x??8?2x?[0,]?1??8qlxx?[l22,l]M[0，lmax位于2]??11312xEI?M(x)dx?C1?EI?(8qlx?2qx)dx?C1?1EI(316qlx2?16qx3)?Cl1x?[0,2]x?0时，?3ql33ql3当0??128EI因此C1??128EI所以?1EI(316qlx?16qx3)?3ql32x?128EI1313wEI48qlx343qlx?(?24ql)?128EIx则w??5ql4l2768EI当?x?0时，wx?wmax即：x?0.46l代入：w?5.04ql4max?768

4-16(d)

?max???A??c qql ql3ql35ql3A?A??A(q)??A(ql)?????C 24EI16EI48EIB wmax?wBl/2l/2 5ql4ql413ql4wB?wB(q)?wB(ql)????? 题4-16(d)图

38448EI384

4-16(e)

q ql13?max??B?? 6EIACBl2 l1ql14ql13wmax?wC?wB??B?l2???l2

8EI6EI 题4-16(e)图

ql13??(3l1?4l2)

24EI

4-16(f)

34 qlqlq?1??w1?? 6EI8EID A3q3ql33ql43CB?2?(2l)?w2? 128EI16EI16EI2ll 12qql?2l ql3ql42?3????w3???w 13EI3EI3EIq

5ql3w2??max??D??1??2??3??

163EI 2(1/2)ql13ql4 wmax?wD?w1?w2?w3???3w348EI

题4-16(f)图

4-17 工字形截面Ⅰ的20b简支梁受载如图4-25所示，E?200GPa，求最大挠度。 解：

10kNIx?2500cm4?2500?104mm44kN/m

E?200GPa AB43 5qlFlCwc??? 38448EI3m3m 5?(4?103/103)?(6?103)4?? 384?200?103?2500?104 题4-17图

10?103?(6?103)3?

48?200?103?2500?104

12?22.5mm

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