信息论与编码复习资料重点

2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：

设随机变量X代表女孩子学历

X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75

设随机变量Y代表女孩子身高

Y y1（身高>160cm） y2（身高<160cm） P(Y) 0.5 0.5

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：p(y1/x1)?0.75 bit

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：I(x1/y1)??logp(x1/y1)??log

p(x1)p(y1/x1)0.25?0.75??log?1.415 bit

p(y1)0.5?X??x1?0x2?1x3?2x4?3?2.4 设离散无记忆信源????，其发出的信息?1/41/41/8??P(X)??3/8为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？

解：

(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：

?3??1??1?p?????????

?8??4??8? bit 此消息的信息量是：I??logp?87.811(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：I/n?87.811/45?1.951 bit

142562.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，

如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？

解： 男士：

p(xY)?7%I(xY)??logp(xY)??log0.07?3.837 bitp(xN)?93%I(xN)??logp(xN)??log0.93?0.105 bitH(X)???p(xi)logp(xi)??(0.07log0.07?0.93log0.93)?0.366 bit/symboli2

女士：

H(X)???p(xi)logp(xi)??(0.005log0.005?0.995log0.995)?0.045 bit/symbol

i2

2.7 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, ? , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解： (1)

11111p(xi)?????666618I(xi)??logp(xi)??log(2)

1?4.170 bit18

111p(xi)???6636I(xi)??logp(xi)??log(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 51 52 53 54 61 62 63 64

共有21种组合：

1?5.170 bit36

15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66

其中11，22，33，44，55，66的概率是

111?? 6636其他15个组合的概率是2?111?? 66181111??H(X)???p(xi)logp(xi)???6?log?15?log??4.337 bit/symbol

361818??36i(4)

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

23456789101112??X???1?1111151511????P(X)?????3618129366369121836??H(X)???p(xi)logp(xi)i111111115511?? ???2?log?2?log?2?log?2?log?2?log?log?361818121299363666??36 ?3.274 bit/symbol (5)

1111p(xi)???11?663611I(xi)??logp(xi)??log?1.710 bit36

2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷

暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：

冷 12晴晴冷 8暖 8忙冷 27雨雨闲暖 15冷 5暖 16暖 12

若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵；

(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

解： (1)

根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：

x忙x2闲??X???1??6340???P(X)?????103103??2

634040??63H(X)???p(xi)logp(xi)???log?log??0.964 bit/symboli?103103103103? (2)

设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z

H(XYZ)?????p(xiyjzk)logp(xiyjzk)ijk ????12128827271616?103log103?103log103?103log103?103log103 ?8103log8103?15103log15103?5103log5103?12103log12?103?? ?2.836 bit/symbol H(YZ)????p(yjzk)logp(yjzk)jk ????2020232332322828??103log103?103log103?103log103?103log103?? ?1.977 bit/symbolH(X/YZ)?H(XYZ)?H(YZ)?2.836?1.977?0.859 bit/symbol(3)

I(X;YZ)?H(X)?H(X/YZ)?0.964?0.859?0.159 bit/symbol

2.11有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为

Y X x1=0 x2=1 y1=0 1/8 3/8 y2=1 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；

(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)；

(3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。

解： (1)

131p(x1)?p(x1y1)?p(x1y2)???882311p(x2)?p(x2y1)?p(x2y2)???882H(X)???p(xi)logp(xi)?1 bit/symboli131p(y1)?p(x1y1)?p(x2y1)???882311p(y2)?p(x1y2)?p(x2y2)???882H(Y)???p(yj)logp(yj)?1 bit/symbolj

Z = XY的概率分布如下：

z?0z2?1??Z???1??71???P(Z)????8??8?

2711??7H(Z)???p(zk)???log?log??0.544 bit/symbol888??8kp(x1)?p(x1z1)?p(x1z2)p(x1z2)?0p(x1z1)?p(x1)?0.5p(z1)?p(x1z1)?p(x2z1)p(x2z1)?p(z1)?p(x1z1)?p(z2)?p(x1z2)?p(x2z2)p(x2z2)?p(z2)?1873?0.5?8813311??1H(XZ)????p(xizk)logp(xizk)???log?log?log??1.406 bit/symbol28888??2ik

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