第七讲 等腰三角形综合

第七讲 等腰三角形综合

1、如图1，等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，双曲线y

长是4，则该双曲线的表达式为 （ B ） k过OA的中点，已知等边三角形的边x

y

A.

2、

323323y y y x B. x x C. x D. 2 A D C

B

3、如图3，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，P为对角线AC上一动点，使PD+PE最小，则这个最小值为

4、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝

于点F．

⑴当AB＝AC时，（如图13），

①∠EBF＝_______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

⑵当AB＝kAC时（如图14），求 A

E

B

图13 1∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交2BE的值（用含k的式子表示）． FDEFADCBDC

1k , 22

图14

5、如图，抛物线y 4224x x 4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x55

轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

解：（1）抛物线解析式为y=﹣x+

即﹣x+22x﹣4，令y=0， x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．

如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F．

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．

在△AMF与△BME中，

，

∴△AMF≌△BME（ASA），

∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，

∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．

（2）答：能．

抛物线解析式为y=﹣x+2x﹣4=﹣（x﹣3）+2，

∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；

令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）．

△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：

①若DE⊥EM，

由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，

而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，

由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在；

②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；

③若EM⊥DM，如答图2所示：

设直线PC与对称轴交于点N，

∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．

在△ADM与△NEM中，

∴△ADM≌△NEM（ASA），

∴MN=MA．

抛物线解析式为y=﹣x+

∴M（3，0），MN=MA=2，

∴N（3，2）．

设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上， ∴，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4．

22x﹣4=﹣（x﹣3）+2，故对称轴是直线x=3， 将y=2x﹣4代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣x+

解得：x=0或x=，

当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3．

∴P（，3）． x﹣4，

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．

（3）答：能．

如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N．

与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．

∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．

在△DMN与△EMB中，

∴△DMN≌△EMB（ASA），

∴MN=MB．

∴N（3，﹣2）．

设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上， ∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4．

2将y=x﹣4代入抛物线解析式得：x﹣4=﹣x+

解得：x=0或x=，

时，y=x﹣4=x﹣4， 当x=0时，交点为点C；当x=

∴P（，）． ．

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）．

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