2015年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷

2015年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）（2015?番禺区一模）下列计算正确的是（ ） A．2=﹣2 B．

﹣1

=±3 C．（ab）=ab D．

2224

=

2．（3分）（2015?番禺区一模）二元一次方程组的解是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）（2014?泉州）如图的立体图形的左视图可能是（ ）

A． B． C． D． 4．（3分）（2015?番禺区一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＜b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＜0 5．（3分）（2010?烟台）某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每

2

名队员的平均成绩与方差S如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 21 1 1.2 1.3 S A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（3分）（2015?番禺区一模）下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ）

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A． B． C． D．

7．（3分）（2015?番禺区一模）据报道，2014年6月，恒大集团与阿里巴巴集团实施战略合作，阿里巴巴注资12亿元入股广州恒大．将数据1200000000用科学记数法表示为（ ） A．1.2×10 B．12×10 C．1.2×10 D．1.2×10 8．（3分）（2015?顺义区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC=3，则AB的长为（ ）

8

8

﹣9

9

A．4 B．6 C．8 D．10 9．（3分）（2015?番禺区一模）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

10．（3分）（2015?番禺区一模）如图，在?ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

A．cm B．2cm C．3cm D．4cm

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．（3分）（2015?梅州）函数y=﹣1中，自变量x的取值范围是 ．

12．（3分）（2015?番禺区一模）若分式?? ．

13．（3分）（2015?番禺区一模）计算：|﹣2|﹣4sin30°+（﹣1）

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2015

的值为0，则x的值为

+（π﹣2）= ．

0

14．（3分）（2015?番禺区一模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ．

15．（3分）（2015?陕西模拟）因式分解：xy﹣4xy+4x= ． 16．（3分）（2015?番禺区一模）如图，从一运输船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则点A到灯塔BC的距离约为 （精确到1cm）．

2

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）（2010?苏州）解不等式组：

．

18．（9分）（2015?番禺区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

19．（10分）（2015?番禺区一模）某工厂原计划生产24000台空气净化器，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了12000台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产100台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．

第3页（共23页）

20．（10分）（2015?番禺区一模）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼．某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：

（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数； （2）请把条形统计图补充完整；

（3）已知该校有1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？

21．（12分）（2015?番禺区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标； （3）求点O到直线AB的距离．

22．（12分）（2015?番禺区一模）已知：关于x的一元二次方程：（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若是此方程的实数根，抛物线y=（m﹣1）x+（m﹣2）x﹣1与x轴交于A、B，抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．

23．（12分）（2015?番禺区一模）如图，ABC中，AB=AC=4

，cosC=

．

2

2

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）综合应用：在你所作的圆中，求证：（3）求△BDE的周长．

第4页（共23页）

；

24．（14分）（2015?番禺区一模）如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求∠ACD的大小；

（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求

的值（用含k的代数式表示）．

25．（14分）（2015?番禺区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+x+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．

（1）求此抛物线的对称轴；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上？

（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

2

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2015年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）（2015?番禺区一模）下列计算正确的是（ ） A．2=﹣2 B．=±3 C．（ab）=ab D．= 【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的运算；负整数指数幂． 【分析】结合选项分别进行负整数指数幂、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项．

﹣12224

【解答】解：A、2=，原式错误，故本选项错误；

B、=3，原式错误，故本选项错误；

2224

C、（ab）=ab，计算正确，故本选项正确； D、和不是同类二次根式，不能合并． 故选C． 【点评】本题考查了负整数指数幂、幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握运算法则．

2．（3分）（2015?番禺区一模）二元一次方程组

的解是（ ）

﹣1

A． B． C． D．

【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①+②得：2x=2，即x=1， ①﹣②得：2y=2，即y=1， 则方程组的解为

，

故选B

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（3分）（2014?泉州）如图的立体图形的左视图可能是（ ）

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A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图．

【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形． 【解答】解：此立体图形的左视图是直角三角形， 故选：A．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4．（3分）（2015?番禺区一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＜b B．ab＜0 C．b﹣a＞0 D．a+b＜0 【考点】实数与数轴．

【分析】首先根据数轴判断a、b的符号，再按照实数运算的规律判断即可． 【解答】解：由数轴可知，b＜a＜0，则

A、在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，即a＞b，故选项错误； B、同号相乘得正，即ab＞0，故选项错误； C、b﹣a=﹣（|b|﹣|a|）＜0，故选项错误；

D、两负数相加得负，即a+b＜0，故选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了实数与数轴，实数中的基本概念和计算．要求掌握这些基本概念并迅速做出判断． 5．（3分）（2010?烟台）某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每

2

名队员的平均成绩与方差S如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 21 1 1.2 1.3 S A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数． 【专题】图表型．

【分析】看图识图，先计算平均数、方差，选择平均数大，方差小的人参赛即可． 【解答】解：观察图形可知甲、乙方差相等，但都小于丙、丁， ∴只要比较甲、乙就可得出正确结果， ∵甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩高且发挥稳定． 故选：B．

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【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6．（3分）（2015?番禺区一模）下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】利用平移设计图案．

【分析】根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．

【解答】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；

B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确； C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误． 故选：B．

【点评】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想． 7．（3分）（2015?番禺区一模）据报道，2014年6月，恒大集团与阿里巴巴集团实施战略合作，阿里巴巴注资12亿元入股广州恒大．将数据1200000000用科学记数法表示为（ ） A．1.2×10 B．12×10 C．1.2×10 D．1.2×10 【考点】科学记数法—表示较大的数．

88﹣99

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

9

【解答】解：1 200 000 000=1.2×10， 故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．（3分）（2015?顺义区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC=3，则AB的长为（ ）

n

n

A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】垂径定理；勾股定理．

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【分析】连接OA，先根据勾股定理求出AC的长，再由垂径定理可知AB=2AC，故可得出结论．

【解答】解：连接OA，

∵OC⊥AB，OA=5，OC=3， ∴AC=

=

=4，

∵OC过圆心，

∴AB=2AC=2×4=8． 故选C．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 9．（3分）（2015?番禺区一模）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的只有1种情况，

∴从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的概率为：．

故选A．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．（3分）（2015?番禺区一模）如图，在?ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

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A．cm B．2cm C．3cm D．4cm 【考点】平行四边形的性质．

【分析】由在?ABCD中，可得CD=AD=6cm，BC=AD=8cm，又由DE平分∠ADC，易证得△CDE是等腰三角形，即可求得CE的长，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8cm，CD=AB=6cm，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD=6cm，

∴BE=BC﹣CE=2cm． 故选B．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CDE是等腰三角形是关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．（3分）（2015?梅州）函数y=﹣1中，自变量x的取值范围是 x≥0 ． 【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解． 【解答】解：根据题意，得x≥0． 故答案为：x≥0．

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

12．（3分）（2015?番禺区一模）若分式?? 4． ．

【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题．

的值为0，则x的值为

【分析】根据分式的值为零的条件可以得到【解答】解：由分式的值为零的条件得由x﹣4=0，得x=4， 由x+2≠0，得x≠﹣2．

综上，得x=4，即x的值为4．

，

，从而求出x的值．

第10页（共23页）

故答案为：4．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

13．（3分）（2015?番禺区一模）计算：|﹣2|﹣4sin30°+（﹣1）+（π﹣2）= 0 ． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．

20150

【解答】解：原式=2﹣4×﹣1+1

=2﹣2﹣1+1 =0．

故答案为：0．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（3分）（2015?番禺区一模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= 32° ．

【考点】圆周角定理． 【专题】压轴题；探究型．

【分析】根据圆周角定理求得∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD=180°﹣∠AOD，故∠BCD=32°． 【解答】解：连接OD．

∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，

∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； ∴∠BCD=32°；

另法：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=58°，

∴∠A=90°﹣58°=32°，

∵∠BCD和∠A都是BD所对圆周角， ∴∠BCD=32°． 故答案为：32°．

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【点评】本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．

15．（3分）（2015?陕西模拟）因式分解：xy﹣4xy+4x= x（y﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解．

【分析】先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．

222

【解答】解：xy﹣4xy+4x=x（y﹣4y+4）=x（y﹣2）．

2

故答案为：x（y﹣2）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底． 16．（3分）（2015?番禺区一模）如图，从一运输船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则点A到灯塔BC的距离约为 59 （精确到1cm）．

22

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据仰角的定义，在三角形中利用三角函数解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，

=tan35°， 解得AC=

≈

≈59米．

故答案为59米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，在直角三角形中灵活运用三角函数是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）（2010?苏州）解不等式组：

．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．

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【解答】解：由x﹣2＞0， 得x＞2；

由2（x+1）≥3x﹣1， 得2x+2≥3x﹣1； 2x﹣3x≥﹣1﹣2 x≤3

∴不等式组的解集是2＜x≤3

【点评】求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 18．（9分）（2015?番禺区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】求出∠DEC=∠DFB=90°，DB=DC，根据AAS证△BFD≌△CED，根据全等三角形的性质推出即可．

【解答】证明：∵CE⊥AF，FB⊥AF， ∴∠DEC=∠DFB=90°，

又∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD，

在△BFD和△CED中

∴△BFD≌△CED（AAS）， ∴BF=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 19．（10分）（2015?番禺区一模）某工厂原计划生产24000台空气净化器，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了12000台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产100台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器． 【考点】分式方程的应用．

【分析】设原计划每天生产空气净化器x台，实际每天生产了（x+100）台，根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍为等量关系建立方程求出其解即可．

第13页（共23页）

【解答】解：设原计划每天生产空气净化器x台，则原计划

=1.2×

，

天完成，依题意得：

解得x=400．

经检验x=400是原方程的解，并且符合题意． 答：原计划每天生产空气净化器400台．

【点评】本题是一道工程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍为等量关系建立方程是关键． 20．（10分）（2015?番禺区一模）我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼．某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：

（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数； （2）请把条形统计图补充完整；

（3）已知该校有1000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用整体1减去A，C、D所占的百分比，即可求出B所占的百分比，再用B所占的百分比乘以360°即可得出答案；

（2）根据C所占的百分比与所给的人数，求出总人数，再用总人数乘以B所占的百分比，从而补全图形；

（3）根据D所占的百分比乘以总人数即可得出全校最喜欢足球的人数． 【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣28%﹣8%=20%， 其所在扇形图中的圆心角的度数是20%×360°=72°；

（2）总人数是8÷8%=100（人）， B的人数是：100×20%=20（人）， 如右图：

（3）根据题意得： 1000×28%=280（人），

答：全校最喜欢足球的人数是280人．

第14页（共23页）

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体的思想． 21．（12分）（2015?番禺区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标； （3）求点O到直线AB的距离．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将B坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）对于y=﹣x﹣1，令y=0求出x的值，即可得出C的坐标；

（3）确定出OC、AB的长，然后根据三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，即可求出．

【解答】解：（1）∵点B（1，﹣2）在函数y=的图象上， ∴m=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣， ∵点A（﹣2，n）在函数y=﹣的图象上， ∴n=1，即A（﹣2，1）， ∵y=kx+b经过A（﹣2，1）、B（1，﹣2）， ∴

，

第15页（共23页）

得：∠CDB=180°﹣α﹣（90°﹣）﹣=90°﹣α．

∴∠FDE=∠CDB=90°﹣α，

∴∠BAH=∠FDE，∵∠ABH=∠DFE=α， ∴△ABH∽△DEF， ∵FD=kAD，AB=AD， ∴S△DEF=kS△BAH， ∵AD∥BC，

∴S△BCD=S△ABC=2S△BAH， ∴

=k，

22

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．

25．（14分）（2015?番禺区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+x+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．

（1）求此抛物线的对称轴；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上？

（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

2

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=ax+x+c，运用待定系数法即可求得解析式，然后根据对称轴公式求得即可；

（2）先求得M的坐标，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的解析式，即可求出t的值；

2

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（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似时，又分两种情况：△BEP∽△ADB与△PEB∽△ADB，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可．

【解答】解：（1）由题意得

，

解得．

故抛物线的解析式为：y=﹣x+x+4，它的对称轴为：x=﹣

2

=，

（2）由题意得：M（，2），（t＞0）．

PB是PM绕点P顺时针旋转90°而得，∴E（t+2，0），b（t+2，t）． 从而有D（t+2，4）．

假设D（t+2，4）在抛物线上，有﹣（t+2）+（t+2）+4=4， 解得 t=3或t=﹣2 ∵t＞0，

∴t=3，即当t=3时，点D落在抛物线上．

（3）①当0＜t＜8时，如图1， BE=，PE=2，BD=4﹣，AD=t+2， 若△BEP∽△ADB，

此时∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：

2

=，即=

2

，

化简得t=﹣16，此时t无解． 若△PEB∽△ADB，此时∠BPE=∠BAD，∠D=∠E，有： =

，即=

，化简得：t+4t﹣16=0，

2

解得：t=﹣2±2． ∵t＞0，

∴t=﹣2+2． ②当t＞8时，如图2，若△POA∽△ADB

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BE=，PE=2，BD=﹣4，AD=t+2， 若△BEP∽△ADB，

此时∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：

2

=，即=，

化简得t﹣16t﹣16=0， 解得t=8±4（负根舍去）． 若△PEB∽△ADB，同理得此时t无解．

综合上述：当t=﹣2+2、t=8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的关键；

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