高等数学综合练习题集八

综合练习八01A微分方程dydx?yx?tanyx的通解是().(A)1y?cx;(B)siny?xsinxx?c;(C)sinyxx?cx;(D)siny?cx.01B求下列微分方程的通解:(1)(lnx?lny?1)ydx?xdy?0;(2)y??2x?y?12x?y?1;(3)y??(sin(lnx)?cos(lnx)?a)y;(4)xy??x2?y2?y;(5)xy??ylnyx;(6)x(lnx?lny)dy?ydx?0;(7)(1?e?xy)ydx?(y?x)dy?0;(8)y??2y?x?52x?y?4;(9)(x2?y2?2y)dx?(x2?2x?y2)dy?0.01C在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N.在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微函数),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).02A微分方程xdy?ydx?y2eydy的通解是().(A)y?x(ex?c);(B)x?y(ey?c);(C)y?x(c?ex);(D)x?y(c?ey);02B函数y(x)满足微分方程xy??y?y2lnx?0且在x?1时,y?1,则在x?e时,y?().(A)1e;(B)12;(C)2;(D)e;02C求下列微分方程的通解:(1)dy?xy?x3y3dydx?0;(2)?xy2?sinxdx2y;.48.(3)dydxcosy?cosxsin2y?siny;(4)y??y2y2?2xy?x;(5)dx?(xcosy?sin2y)dy?0;(6)(2xy2?y)dx?xdy?0.(7)y??y2?2(sinx?1)y?sin2x?2sinx?cosx?1;(8)y(xy?1)dx?x(1?xy?x2y2)dy?0;02D求下列微分方程满足初始条件的特解:(1)y3dx?2(x2?xy2)dy?0,y|x?1?1;(2)(x?siny)dy?tanydx?0,y|x?1??6.02E设f(x)具有连续的二阶导数,满足f(0)?0,f?(0)?1,且微分方程y[f(x)?4xex]dx?f?(x)dy?0为全微分方程,试求出f(x),并求该微分方程的通解.02F求方程y??y2?x2y(x?1)的通解.02G求方程y?sec2y?x1?x2tany?x满足条件y|x?0?0的解.03A已知函数y?y(x)的图形经过原点和点M(1,2),且y(x)满足微分方程y???21?yy?2?0,则当x?2时,y?().(A)?2;233(B)3;(C)2;(D)43.03B已知曲线y?y(x)上原点处的切线垂直于直线x?2y?1?0且y(x)满足微分方程y???2y??5y?excos2x则此曲线的方程是y?().(A)ex(cos2x?sin2x?1);(B)ex(sin2x?cos2x?1);(C)(1?xx4)esin2x;(D)x4excos2x.03C微分方程y???3y??2y?3x?2ex的特解y*的形式是()(A)(ax?b)ex;(B)(ax?b)xex;(C)(ax?b)?cex;(D)(ax?b)?cxex..49.03D求下列微分方程的通解:(1)yy???y?2?1?0;(2)y????1?(y??)2;(3)yy???(y?)2?(y?)3?0;(4)yy???y?2?y2lny;(5)xy???y??x2.03E求下列微分方程的通解:(1)y???2y??5y?sin2x;(2)y???a2y?8cosbx(a?0,b?0);(3)y???y??xsin2x;(4)y??cosx?2y?sinx?3ycosx?ex.03F求下列微分方程满足初始条件的特解:(1)y???ay?2?0,y|x?0?0,y?|x?0??1;(2)2y???sin2y?0,y|x?0??/2,y?|x?0?1;(3)y???2y??y?cosx,y|x?0?0,y?|x?0?3/2;(4)xy???x(y?)2?y??0,y|x?2?0,y?|x?2?1/2;(5)y???7y??12y?x,y|x?0?7/144,y?|x?0?7/12.03G求y???3y??2y?10e?xsinx满足当x???时,y?0的特解.04A下列差分方程中,不是二阶差分方程的是().(A)yt?2yt?2?0(B)?3yt?yt??3et(C)?2yt??yt?0(D)?2yt??yt?t04B求解差分方程:yt?1?3yt?t2?3t.04C求二阶齐次线性差分方程的通解:yt?2?2yt?1?3yt?0.04D求二阶齐次线性差分方程的通解:yt?2?2yt?1?5yt?0.04E求二阶线性非齐次差分方程的通解:yt?2?2yt?1?yt?t.04F求二阶线性非齐次差分方程的通解:yt?2?3yt?1?2yt?2t?t.04G求差分问题的特解:yt?23y1?9(3?2)?2t?1?3yt?3sin(4)t,y0??14?42,y9(1?2)2??14?42.04H设Qt,St和Pt分别表示某产品的t期需求量,供给量和价格,且Qt,.50.St,Pt和Pt?1满足关系式?Qt?a?bP?t??St??d?fPt?1t?1,2,3,??Qt?St其中a,b,d,f都是正的常数,已知初始价格为P0.(1)求Pt;(2)当f?b时,求tlim???Pt.04I设函数f(x),g(x)满足f?(x)?g(x),g?(x)?2ex?f(x),且f(0)?0,g(0)?2,?求))0[g(x1?x?f(x(1?x)2]dx.04J设St为t期存款总额,?为存款利率,t?1期存款总额St?1与St满足关系式St?1?St??St?(1??)St设初始(t?0)存款额为S0,求St.05A设y?y(x)x满足ty(t)dt?x2?y(x),求y(x).005B设可导函数?(x)满足?x(x)cosx?2?(t)sintdt?x?1,0求?(x).x05C已知可微函数f(x)满足关系式f(t)1f2(t)dt?f(x)?1,求未知函数f(x).05D设曲线积分f'(x)xyf'(x)dx?dyL[2]?0,L为xOy平面上任意按段光滑的闭曲线,在(??,??)上二次可微,且f(0)?1,f'(0)?1,求f(x).05E设f(t)连续并满足f(t)?cos2t?tf(s)sinsds,求f(t).005F设f(x)?xsinx?x(x?t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x).005G已知1f(ax)da?102f(x)?1,求f(x)..51.05H设f(x)可导f(x)满足:1xf2(t)dt?x2f(x),求f(x).05I设f(x)连续可微,且对任意h成立f(x?h)?且满足f(1)?2,求f(x).x?hxt(t2?1)dt?f(x)f(t)05J设f(x)?e?xsinx?2f(x).x0(x?t?1)f(t)dt,其中f(x)为二阶可微函数,求05K求以y?C1ex?C2e2x(C1,C2?Const.)为通解的微分方程.05L建立具有特解y1?e2xcosx的常系数(尽可能低阶的)线性齐次微分方程.05M建立具有特解y1?x,y2?sinx的常系数(尽可能低阶的)线性齐次微分方程.05N设y1?x,y2?x?e2x,y3?x(1?e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的特解,求该微方程的通解及该方程.05O常系数二阶方程y???ay??by?f(x)的一个特解可表示为y(x)?xx0?(x?t)f(t)dt其中?(x)是对应齐次方程,且满足条件?(0)?0及??(0)?1的特解,试证明之..52.

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