四年级奥林匹克数学基础资料库 第20讲 加法原理(一)

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第20讲 加法原理(一)

例1从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法?

分析与解:一天中乘坐火车有4种走法,乘坐汽车有3种走法,乘坐轮船有2种走法,所以一天中从甲地到乙地共有:4+3+2=9(种)不同走法。

例2旗杆上最多可以挂两面信号旗,现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面,如果用挂信号旗表示信号,最多能表示出多少种不同的信号?

分析与解:根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗,有红、黄、蓝3种;第二类是挂两面信号旗,有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示出不同的信号

3+6=9(种)。

以上两例利用的数学思想就是加法原理。

加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有

N=m1+m2+…+mn

种不同的方法。

乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则,在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积;加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。 例3两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?

分析与解:两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数都是奇数,或者两数都是偶数。

因为骰子上有三个奇数,所以两数都是奇数的有3×3=9(种)情况;同理,两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理,两次出现的数字之和为偶数的情况有9+9=18(种)。

例4用五种颜色给右图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?

分析与解:本题与上一讲的例4表面上十分相似,但解法上却不相同。因为上一讲例4中,区域A与其它区域都相邻,所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻,如果从区域A开始讨论,那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。

当区域A与区域E颜色相同时,A有5种颜色可选;B有4种颜色可选;C有3种颜色可选;D也有3种颜色可选。根据乘法原理,此时不同的染色方法有

5×4×3×3=180(种)。

当区域A与区域E颜色不同时,A有5种颜色可选;E有4种颜色可选;B有3种颜色可选;C有2种颜色可选;D有2种颜色可选。根据乘法原理,此时不同的染色方法有

5×4×3×2×2=240(种)。

再根据加法原理,不同的染色方法共有

180+240=420(种)。

例5用1,2,3,4这四种数码组成五位数,数字可以重复,至少有连续三位是1的五位数有多少个?

分析与解:将至少有连续三位数是1的五位数分成三类:连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。 连续五位是1,只有11111一种;

中任一个,所以有3+3=6(种);

3×4+4×3+3×3=33(种)。

由加法原理,这样的五位数共有

1+6+33=40(种)。

在例5中,我们先将这种五位数分为三类,以后在某些类中又分了若干种情况,其中使用的都是加法原理。

例6右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上(不一定回到O点)。如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线?

分析与解:如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条(见左下图);小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条(见右下图)。

实际上,小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况: 向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线; 同理,向右也有6条路线;

向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线; 同理,向下也有4条路线。 根据加法原理,共有不同的爬行路线

6+6+4+4=20(条)

练习20

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