2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学最后一模试卷(理科)_142

2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学最后一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣2x＞0}，则A∩B=（ ） A． {3} B． {2，3} C． {﹣1，3} D． {0，1，2} 2．若复数

（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）

2

A． ﹣2 B． 4 C． ﹣6 D． 6

3．已知随机变量X服从正态分布N（1， ），若P（X≤2）=0.72，则P（X≤0）=（ ） A． 0.22 B． 0.28 C． 0.36 D． 0.64

4．执行如图的程序框图，若输出的k=2，则输入x的取值范围是（ ）

2

A． （21，41） B． [21，41] C． （21，41] D． [21，41）

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则 A． 4

n﹣1

=（ ）

B． 4﹣1 C． 2

nn﹣1

D． 2﹣1

n

6．过双曲线﹣=1的一个焦点F作一条渐近的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）

的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ） A．

B． 2 C．

D．

7．已知函数f（x）=cos（2x+

），g（x）=sin（2x+

），将f（x）的图象经过下列哪

种变换可以与g（x）的图象重合（ ） A． 向左平移

B． 向右平移

C． 向左平移

D． 向右平移

8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A． 4 B． 12 C． 24 D． 30

9．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（ ） A． （，） B． （﹣，﹣） C． （，） D． （﹣，﹣）

10．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（ A．

12．关于曲线C：x

+y

=1，给出下列四个命题：

+

）

的最小值是（ ）

B． ﹣25 C． 25 D． ﹣

①曲线C有且仅有一条对称轴；

②曲线C的长度l满足l＞； ③曲线C上的点到原点距离的最小值为

；

④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是

上述命题中，真命题的个数是（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 ．

14．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．

15．（x+2）（

16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点（an，an+2）在直线y=3x+2上，又知a1=1，a2=2，则数列{an}的前2n项和S2n等于 ．

17．△ABC的顶点A在y=4x上，B，C两点在直线x﹣2y+5=0上，若|

2

2

﹣mx）的展开式中x项的系数490，则实数m的值为 ．

52

﹣|=2，则△

ABC面积的最小值为 ．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

的最大值．

．

19．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）

20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．

（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； （II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

21．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为

．过点M作倾

斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

四、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 23．如图所示，AC为⊙O的直径，D为（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC BC=2AD CD．

的中点，E为BC的中点．

选修4-4：坐标系与参数方程

24．（2015 天水校级一模）在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP| |OM|=4，记点P的轨迹为C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+

选修4-5：不等式选讲

25．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （1）解不等式f（x）≤2；

）=

距离的最大值．

（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．

2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学最后一模试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣2x＞0}，则A∩B=（ ） A． {3} B． {2，3} C． {﹣1，3} D． {0，1，2}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 解答： 解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0， 解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}， ∵A={﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故选：C．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．若复数

（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）

2

A． ﹣2 B． 4 C． ﹣6 D． 6

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

分析： 化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论． 解答： 解：复数

=

，它是纯虚数，则

a=﹣6． 故选C．

点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．

3．已知随机变量X服从正态分布N（1， ），若P（X≤2）=0.72，则P（X≤0）=（ ） A． 0.22 B． 0.28 C． 0.36 D． 0.64

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： 随机变量ξ服从正态分布N（1， ），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．

解答： 解：随机变量ξ服从正态分布N（1， ）， ∴曲线关于x=1对称，

2

22

∴P（x≤0）=P（x≥2）=1﹣P（x≤2）=0.28 故选：B．

点评： 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．

4．执行如图的程序框图，若输出的k=2，则输入x的取值范围是（ ）

A． （21，41） B． [21，41] C． （21，41] D． [21，41）

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 执行程序框图，若输出的k=2，则第1次循环后，满足条件2x﹣1≤81，可解得：x≤41；第2次循环时，满足条件2（2x﹣1）﹣1＞81，可解得：x＞21． 解答： 解：执行程序框图，有 若输出的k=2，

则第1次循环后，满足条件2x﹣1≤81，可解得：x≤41；

则第2次循环时，满足条件2（2x﹣1）﹣1＞81，可解得：x＞21； 则输入的x的取值范围是：x∈（21，41]， 故选：C．

点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则 A． 4 B． 4﹣1 C． 2 D． 2﹣1

考点： 等比数列的通项公式；等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

n﹣1

n

n﹣1

n

=（ ）

分析： 设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出a1的值，表示出Sn与an，即可求出之比． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q， ∴q=

=，

2

∴a1+a3=a1（1+q）=a1（1+）=， 解得：a1=2，

∴an=2×（）

n﹣1

=（）

n﹣2

，Sn=，

∴==2﹣1，

n

故选：D

点评： 此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键． 6．过双曲线

﹣

=1的一个焦点F作一条渐近的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）

的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ） A．

B． 2 C．

D．

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 先设垂足为D，根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标，进而得到D点坐标．表示直线DF的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1，进而得到a和b的关系，进而求得离心率．

解答： 解：设垂足为D，

根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x，焦点为F（

，0）

所以D点坐标（

，）

∴kDF==﹣

∵OD⊥DF ∴kDF kOD=﹣1 ∴

，即a=b

∴e===

故选A．

点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，解决的关键是熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识．

7．已知函数f（x）=cos（2x+

），g（x）=sin（2x+

），将f（x）的图象经过下列哪

种变换可以与g（x）的图象重合（ ） A． 向左平移

B． 向右平移

C． 向左平移

D． 向右平移

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解答： 解：由g（x）=sin（2x+把函数f（x）=cos（2x+可得函数y=cos[2（x﹣

）=cos[

﹣（2x+

）]=cos（﹣2x﹣

）=cos（2x+

），

）的图象向右平移）+

]=cos（2x+

个单位， ）=g（x）的图象，

故选：B．

点评： 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A． 4 B． 12 C． 24 D． 30

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体， 几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的， 如图所示，

所以该几何体的体积为：V三棱柱﹣V三棱锥=×3×4×5﹣××3×4×3=24． 故选：C．

点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．

9．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（ ） A． （，） B． （﹣，﹣） C． （，） D． （﹣，﹣）

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量． 专题： 平面向量及应用．

分析： 设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标． 解答： 解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）． ∵（+）∥，⊥（+）， ∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0． ∴x=﹣，y=﹣，

故选D

点评： 本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

10．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（

+

）

的最小值是（ ）

A．

B． ﹣25 C． 25 D． ﹣

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 画出图形，讨论P点的位置：P点在O点和C点时，容易求出而P点在O，C之间时，将

带入，根据基本不等式便可得到，最后即可得到

解答： 解：如图，

的最小值．

，

（1）若点P和O重合，则：

∴

；

；

；

（2）若点P和C重合，则∴

；

（3）若点P在O，C之间，则：∴

；

∴∴综上得

； 的最小值为

． ；

=

； ；

故选D．

点评： 考查对零向量的理解，向量加法的平行四边形法则，数量积的计算公式，以及基本不等式：a+b，a＞0，b＞0．

12．关于曲线C：x

+y

=1，给出下列四个命题：

①曲线C有且仅有一条对称轴； ②曲线C的长度l满足l＞；

③曲线C上的点到原点距离的最小值为

；

④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是

上述命题中，真命题的个数是（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1[:]

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 将方程中的x换为y，y换为x，方程不变，判断出①正确；通过对曲线的性质，得到②正确；构造距离关系式，得到③正确，利用积分的几何意义，得到④正确． 解答： 解：对于①：将方程中的x换为y，y换为x，方程不变， 故该曲线C关于直线y=x对称，故①正确； 对于②：根据曲线C：xy=（

2

+y=1，得

），（0≤x≤1），

其中两个端点为A（0，0），B（1，1），

此时|AB|=，

因为该曲线为曲线，

∴曲线C的长度l满足l＞； 故②正确；

对于③：设点P（x，y）为曲线C上任意一点， 则|OP|=x+y =x+（=2x+6x﹣4

22

2

2

2

）， ﹣4

+1

4

∵x∈[0，1]， ∴|OP|的最小值为

，故③正确；

对于④：曲线C与两坐标轴所围成图形的面积设为S，则 S=

（

﹣1）dx=

2

（x﹣2+1）dx=，

故④正确；

综上，①②③④都正确； 故选：A．

点评： 本题考查对称问题、最值问题的处理思路和方法、定积分的基本运算等知识，属于难题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 ﹣1﹣i ．

考点： 复数的基本概念．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出． 解答： 解：z=i（i+1）=﹣1+i的共轭复数是﹣1﹣i． 故答案为：﹣1﹣i．

点评： 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．

14．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为

．

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z取得最大值．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，

其中A（

，），B（﹣，﹣1），C（2，﹣1） 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（

，）= 故答案为：

点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

15．（x+2）（

2

﹣mx）的展开式中x项的系数490，则实数m的值为 ±

52

．

考点： 二项式定理的应用．

专题： 计算题；二项式定理． 分析： （x+2）（组成的，求出（

22

﹣mx）的展开式中x项是由（

5

2

52

﹣mx）的展开式中常数项与x项所

52

﹣mx）的展开式的常数项以及x项的系数即可．

﹣mx）的展开式中x项是由（

5

2

解答： 解：（x+2）（项所组成的， ∵（x

3r﹣10

﹣mx）的展开式中常数项与x

52

﹣mx）的展开式的通项公式为：Tr+1=

；

5

（﹣mx）=（﹣m）

rr

令3r﹣10=0，解得r=，不合题意，应舍去；

令3r﹣10=2，解得r=4， ∴（x+2）（2 （﹣m）

4

4

2

﹣mx）的展开式中x项的系数为 =490，

52

即m=49，

解得m=±． 故答案为：±．

点评： 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了多项式乘法运算问题，是基础题目．

16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点（an，an+2）在直线y=3x+2上，又知a1=1，a2=2，则数列{an}的前2n项和S2n等于

．

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 当n为偶数时，点（an，an+2）在直线y=3x+2上，可得an+2=3an+2，变形为an+2+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式可得an．由于奇数项成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可得an，分组求和，利用差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：当n为偶数时，点（an，an+2）在直线y=3x+2上， ∴an+2=3an+2， ∴an+2+1=3（an+1），

∴当n为偶数时，数列{an+1}为等比数列，首项为a2+1=3，公比为3．

n﹣2n﹣1

∴an+1=3×3．∴an=3﹣1． ∵奇数项成公差为1的等差数列，

∴当n为奇数时，an=1+（n﹣1）×1=n．

∴数列{an}的前2n项和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）

=+

=．

故答案为：．

点评： 本题考查了差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．△ABC的顶点A在y=4x上，B，C两点在直线x﹣2y+5=0上，若|ABC面积的最小值为 1 ． 考点： 直线与圆锥曲线的关系．

专题：[:Z&xx&] 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由题意设A（

，m），运用点到直线的距离公式求得d，通过配方求得d的最小值，

2

﹣|=2，则△

再由三角形的面积公式可得面积的最小值为1． 解答： 解：由题意设A（|BC|=2

，

，m），

A到直线BC的距离d==

=≥，

当m=4时，d取得最小值，且为1． 则△ABC面积S=d |BC|=

d≥1．

且当A（4，4）时，面积取得最小值，且为1．

故答案为：1．

点评： 本题考查抛物线的方程和运用，主要考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

的最大值．

．

考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形．

分析： （Ⅰ）化简已知条件可得sin（A+而求得 C的值．

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得解答： 解：（Ⅰ）sinA+

=2sin（A+

），由此可得

的最大值．

）=sinB．…

）=sinB，再由大边对大角可得A+B=

，从

cosA=2sinB，即 2sin（A+）=2sinB，则 sin（A+

（3分）

因为0＜A，B＜π，又a≥b，进而A≥B， 所以A+

=π﹣B，故A+B=

，故 C==

．…（6分）

=

[sinA+sin（A+

）]

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得=

sinA+cosA=2sin（A+

时，

）．…（10分）

故当A=取最大值2．…（12分）

点评： 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档

题．

19．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）

考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 应用题；概率与统计．

分析： （Ⅰ）利用概率和为1，可求a；根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；

（Ⅱ）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率； （Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列与期望E（X）． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005； 估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5…4分 （Ⅱ）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A． P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；

∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； …（6分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=0.4；

X可能的取值是0，1，2，3； ∴P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P

=

==．

=； ；

；

…（12分） 所以 E（X）=0×

+1×

+2×

+3×

=…（13分）

点评： 本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目．

20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．

（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； （II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （Ⅰ）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明；

（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到二面角． 解答： 证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1． 又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C， 又AB 平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1． 由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O﹣xyz． 其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴． 不妨设AB=2，则A（2，﹣1，0），B（0，﹣1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．

=（﹣2，0，0），设

=（﹣2，1，

），

=0，

． =0，

=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则

即取z1=﹣1，得=（0，，﹣1）．

设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则

=0，

=0，

即取x2=，得=（，0，2）．

所以cos n1，n2＞==﹣．

因此二面角B﹣AC﹣A1的余弦值为﹣．

点评： 熟练掌握线面、面面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．

21．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为

．过点M作倾

斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；

（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）根据椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为

，建

立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；

（III）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k （﹣k）=﹣1，k=±1，再验证即可求得结论． 解答： （Ⅰ）解：由题设，得

2

2

=1，①且=，②

由①、②解得a=6，b=3，[:Z。xx。] 椭圆C的方程为

． …3分

（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在． 设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得 （1+2k）x+（8k﹣4k）x+8k﹣8k﹣4=0， ﹣2，x1是该方程的两根，则﹣2x1=设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2）， 同理得x2=

．…6分

，x1=

．

2

2

2

2

因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2）， 故kPQ=

=

=1，

因此直线PQ的斜率为定值． …9分

（Ⅲ）解：设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k， 假设∠PMQ为直角，则k （﹣k）=﹣1，k=±1．…11分 若k=1，则直线MQ方程y+1=﹣（x+2），

与椭圆C方程联立，得x+4x+4=0，

该方程有两个相等的实数根﹣2，不合题意； 同理，若k=﹣1也不合题意． 故∠PMQ不可能为直角．…13分

点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．

2

四、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 23．如图所示，AC为⊙O的直径，D为（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC BC=2AD CD．

的中点，E为BC的中点．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 证明题．

分析： （I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为

的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，

因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；

（II）欲证AC BC=2AD CD，转化为AD CD=AC CE，再转化成比例式证明△DAC∽△ECD即可．

解答： 证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为因为E为BC的中点，所以DE⊥BC． 因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°， 所以AB∥DE．…（5分） （Ⅱ）因为D为

的中点，所以∠BAD=∠DAC，

的中点，所以BD=DC．

=

．最后只须

又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD． 所以

=

，AD CD=AC CE，2AD CD=AC 2CE，

因此2AD CD=AC BC．…（10分）

点评： 本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．

选修4-4：坐标系与参数方程

24．（2015 天水校级一模）在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP| |OM|=4，记点P的轨迹为C2．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+

）=

距离的最大值．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 直线与圆．

分析： （Ⅰ）设出M、P的极坐标，由|OP| |OM|=4，即M、P的极径之积等于4得到两点的极坐标的关系，把M的极坐标用P的极坐标表示，代入直线C1的极坐标方程即可得到曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）化极坐标方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径作和可求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+

）=

距离的最大值．

解答：[:ZXXK] 解：（Ⅰ）设P（ρ1，θ），M（ρ2，θ）， 由|OP| |OM|=4，得ρ1ρ2=4，即∵M是C1上任意一点，∴ρ2sinθ=2，即

．

，ρ1=2sinθ．

∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；

222

（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ=2ρsinθ，即x+y﹣2y=0．

22

化为标准方程x+（y﹣1）=1． 则圆心坐标为（0，1），半径为1． 由直线ρcos（θ+即：x﹣y=2．

圆心（0，1）到直线x﹣y=2的距离为d=∴曲线C2上的点到直线ρcos（θ+

）=

距离的最大值为

．

．

）=

，得：

．

点评：[:] 本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式，是基础的计算题．

选修4-5：不等式选讲

25．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （1）解不等式f（x）≤2；

（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： （1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集． （2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax﹣1实数a的取值范围即可．

解答： 解（1），

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