2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案 - 图文

2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．若对任意x??a,a?2?均有x?a?2x，则实数a的取值范围是 解：x?a?2x?3x?2ax?a?0?4a?6?0?a??2．已知2x?4x2?122???y2?4?2?y?0，则x?y的最小值为 42?4212??1?2x?4x?1?1???x?（利用函数单调性） ?22?yy?yyy?3． 2解：2x?4x?1?1???2???x?y?1?y?2，等号当且仅当x?y?1时等号成立，所以x?y的最小值为2． y????13．用?x?表示不超过x的最大整数.则??等于

1?sin2??2014???1112???2014， 解：0?sin1201422014sin2014????111112tan???1??2015，所以???2014．

11120142014?sin2?sin2tan2?201420142014???x2?1?,f1?x??f?x?,fn?x??f(?f?x??)则fn??? 4．已知f?x?????2x?1?2?n个f?1?n?1?1?1??1???1???1??????1????1?，所以fn???32． 解：fn?2fn?1?1fn?x??2??f1??fn?1?5．在正方体ABCD?A已知棱长为1，点E在A1D1上，点F在CD上，A1BC11D1中，1E?2ED1,DF?2FC.

f则三棱锥B?FEC1的体积为 2n?122n?12nK 解：如图，作FF1?C1D1,连接B1F1交EC1于点

三棱锥B?FEC1的体积为

15EC1S△BFK?． 3276．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上， 记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则

S?PQRS?ABC解：（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆， ?APR??CQR?180???BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR

PRARQRBR?,?中分别应用正弦定理得. sinAsinAPRsinBsinBQR?又?A??B?45,故PR?QR,故AR?BR即R为AB的中点.过R作RH?AC于H，

1(BC)22SS?PQRPR111?PQR2???则PR?RH?BC,所以,此时的最小值为.

2S?ABCBC2BC244S?ABC（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图所示，

的最小值为

设BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0????2),

CRx?, sin?sin?x3,?RQB????QRB??B????, 在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?sin?4xx1PQRB1?x?由正弦定理, ， ??sin????3sin?cos??2sin?sinBsin?PQBsinsin(???)4411x2112)?()2. 因此S?PQR?PR?(22sin?2cos??2sin?S?PQR111?()2??这样，，当且仅当??arctan2取等号， cos??2sin?(1?22)(cos2??sin2?)5S?ABC则?CPR?90???PRC??BRQ??. 在Rt?CPR中，PR?此时

S?PQRS?ABC的最小值为.

157．设P为抛物线y2?2x上的一个动点，过P作抛物线的切线与?O:x2?y2?1交于点M,N,?O在M,N两点处的切线交于点Q，则点Q的轨迹方程是

*8．选择集合S??1,2,?,n?n?N的两个不同的非空子集A和B．

??则使B中最小数大于A中最大数的概率是 设A中的最大数为k，其中1≤k≤n?1,整数n≥3，

1k?1k?1则A中必含元素k，另元素1，2，…，k?1可在A中，故A的个数为：C0， k?1?Ck?1?????Ck?1?2B中必不含元素1，2，…，k，另元素k?1，k?2，…，n可在B中，但不能都不在B中，

2n?kn?k故B的个数为：C1?1，从而集合对(A，B)的个数为2k?1?2n?k?1?2n?1?2k?1， n?k?Cn?k?????Cn?k?2??所以所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A，B)的个数为

??2k?1n?1n?1?2k?1??(n?1)?2n?1?1?2?(n?2)?2n?1?1．而所有的集合对(A，B)的个数为2n?12n?2

1?2n?1????(n?2)?2n?1?1所以使B中最小数大于A中最大数的概率是n n2?12?2????二、解答题：本大题共3小题，共56分.

x2y2l9.（本小题满分16分）. 已知椭圆E:2?2?1的左、右焦点分别为F1，F2，直线与椭圆E有且

ab只有一个公共点M，且交y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y 轴于点Q.

求证：F1,Q,F2,M,P五点共圆.

（略）

nx2?x10.（本小题满分20分）已知函数fn(x)?2，x1,x2,?,xn为正实数，且x1?x2?...?xn?1，

x?1证明：fn(x1)?fn(x2)?...?fn(xn)?0

（略）

11.（本小题满分20分）.

1?a?a?,n??n?1bn,n?N*．证明:a50?b50?20． 已知数列?an?,?bn?满足a1?0,b1?0,?1?bn?1?bn?an??ab112222证明：因为an?1?bn?1?an?bn?2?2?2(n?n)， 所以

anbnbnan494911ab11222222a50?b50?a1?b1??(2?2)?2?(i?i)?a1?b1?2?2?2?2?49?4?4?49?200.

a1b1biaii?1aii?1bi49111?2，所以a50b50?a1b1??又an?1bn?1?anbn??2?49?98?a1b1??100. anbna1b1i?1aibi所以(a50?b50)?a50?b50?2a50b50?200?200?400.因此a50?b50?20

2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案

加试

222一、（本小题满分40分）

已知数列?an?满足a1?1，an?1?3an?22an?1，n?N*．

2(I) 证明：?an?是正整数数列；(II) 是否存在m?N*，使得2015am，并说明理由．

22（Ⅰ）由an?1?3an?22an?1得an?1?6anan?1?an?4?0，（1）

2同理可得an?2?6an?2an?1?an?2?4?0，（2），由（1）（2）可知，an,an?2为方程x?6an?1x?an?1?4?0的两根，又an?an?2，即有an?an?2?6an?1，即an?2?6an?1?an. 因为a1?1,a2?5,所以an为正整数. （Ⅱ）不存在m?N*，使得2015am.假设存在m?N*，使得2015am，则31am.

22一方面，amam?2?am?1?4，所以31am?1?4,即am?1??4(mod31)，所以am?1??4??2(mod31).

22222301530由费马小定理知230?1(mod31)，所以am?1??1(mod31)，另一方面，(am?1,31)?1.事实上， 假设(am?1,31)?d?1，则d31，即d?31，所以31am?1，而31am?1?4，这样得到314.矛盾.

30所以，由费马小定理得am(mod31).这样得到1??1(mod31).矛盾. ?1?1302所以不存在m?N，使得2015am

二、（本小题满分40分）

如图，在等腰?ABC中，AB?AC?BC，D为?ABC内一点，满足DA?DB?DC. 边AB的中垂线与?ADB的外角平分线交于点P，边AC的中垂线与?ADC的外角平分线交于点Q.

证明： B、C、P、Q 四点共圆.

三、（本小题满分50分）

设p为大于3的素数，证明：（1）?p?1??1至少含有一个不同于p的素因子；

p*APQDBC（2）设?p?1??1?p?p?ii?1ni，其中p1,p2,?,pn是互不相同的素数，?1,?2,?,?n为正整数，

p2则?pi?i?.

2i?1n

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