高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇

电磁学

静电学

1、 静电场的性质

静电场是一个保守场，也是一个有源场。

?F?dl?o 高斯定理

静电力环路积分等于零

??sE?ds??qEoi

?? ??qi?????dv?

v??电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系

b?qE?dr?waa?wb

?E?dr?Ua?Ub ①

过程 E?dr??dU

dU dxdU Ex?? ②

dx 一维情况下 Exdx??2、 几个对称性的电场

（1） 球对称的电场

场源 点电荷 E U 1Q 4?Eor21Q4?Eor2r?R 1Q 4?Eor1Q4?Eor1Q4?EoRr?R 1Q4?Eorr?R 均匀对电球面 ?Q、R? 0均匀带点球体 r?R r?R ?Q、R? 1Q4?Eor2r?R 1Qr34?EoR 313?r?R?4?R???? 24?Eor3Eo?r?3r?R 1Q4?EorQ223R?r??2R3r?R 例:一半径为R1的球体均匀带电,体电荷密度为?,球内有一半径为R2的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U

解:(1)在空腔中任选一点p,

Ep可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之

差, 即 Ep?令a?o1o2

?3Eor1??3Eor2??3Eo?r?r?

12Ep??3Eoa

这个与p在空腔中位置无关,所以空腔中心处Eo2?(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理

?3Eoa

Up可以看成两个均匀带电球体产生电势之差

即 Uo2??6Eo?3R21?a2???6Eo?3R22?0??6Eo????32R?1?R?222?a ?假设上面球面上,有两个无限小面原sisj,计算si,受到除了si上电荷

之处,球面上其它电荷对si的静电力,这个静电力包含了sj上电荷对si上电荷的作用力.

同样sj受到除了si上电荷以外,球面上其它电荷对sj上电荷的作用力,

这个力同样包含了si对sj的作用力. 如果把这里的sisj所受力相加,则si,sj之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。

?R2?Q?22求法:F=fo?R???R????2Eo2Eo?4?R2?

再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?

?22

通常谈论的表面上电场强度是指什么?

例:求均匀带电球面?Q,R?,单位面积受到的静电力fo?? 解:令R?R?R?R?R?

过程无限缓慢

得出此过程中静电力做功的表达式:

Q2Q2Q2Q2 fo?4?R?R????2Co2C2?4??oR2?4??o?R?R?2Q2?1?Q2??R?? ?1??1?1????? ?R?8?EoR?1?R?8?EoR??R??Q2 ?R 28?EoRQQ1?2 fo????4?R24?R22?o2Eo或者算出fo?E表面??E表面??2Eo

而且可以推广到一般的面电荷??? 在此面上电场强度 E表面?1?E1?E2? 2 例:一个半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的

电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.

例:求半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度. 解:静电场(真空)能量密度 ?? 本题球面外侧: E?1EoE2 21Q

4?EoR221?1Q??2?fo ??Eo???2?4?EoR2?2Eo推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为Er的多向同

性均匀电合质,

1?22 ??ErEoE?fo?

22ErEo

下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和

???? FT???????2?Rsi?n?R?d?c?o s?20?2E0 ???3?oEocos???0222?2Rsin?cosd? 2?0 ??9??ER?0o2o2cos3?dcos?

2 ?

9?o?Eo2R2 4前面求出过

本小题:E?

本题:

导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为

???ocos?,?d 3?0由于要求导体内E?0

E?Eo?E?0

,, Eo?E??d?o? 3?o3?o ??o?3?oEo

??3?oEocos?

1mV22?1mV22?eV0 2再由题中告知：?的值正好在VAB的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在tb时刻形成均匀分布的一段电子束V

此话要求①在t=tb时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重 ②达到小孔右侧的两电子束的长度相等 由此可写方程

??V1?(T??)V2 ?V2?tb?V1?(tb??)得到??V2TV1?V22eV0

V12?V2?m2eV0?4eV0m4eV0

V12?V2?6eV0m?m

V2?m

所以V1?2eV0eV0，V2?22 mm?V2?tB(V2?V1) tb?V2?V2?V1?2T

（3） 由于tb?2T，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：

① 电流在空间位置的分布

② 电流强度的大小分布

?b?V1 eV0?2T?2?4s

m电子束长度

??V1?(2?2)T?2eV0?2(2?2)sm

4、静电势能、电势

例1：如图所示N对e、-e离子，等间距a，沿直线排列 （1） 设N??,试确定某个e的电势能W?和-e的电势能W? （2） N足够大时，W?W?近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W

（3） N足够大时，将非边缘的一对离子e、-e一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.

提示ln(1?x)?x?x22?x33?...

ln2?1?11??... 23解：（1）U??2???e?e?e???...? 4??0a4??0?3a?4??0a???e11(1???...) 2??0a23W??eU?U???U?

e2??ln2

2??0aW???eU?e2??ln2

2??0a（2）足够大的N,

1e2W?(NW??NW?)??ln2

22??0a（4） 将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能W?W?

e2此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为W?'?W???

4??0a再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能W1?W?W??W?'

e2无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能W2??

4??0a利用动能关系，求出外力做功

?e2?e2A?(W1?W2)?W???(W?W?)?W?']}?W??W??W???4??0a4??0a?e(2ln2?1)2??0a2

例2 如图两个点电荷位于X轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则X轴上多点的电势如图曲线所示，当x?0时，电势U??;当x??，电势

U?0，电势为零的坐标为x0;电势极小值为?U0的点的坐标为?x0（α>0）,试根据图

线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X轴的位置。

解：由图中信息可知，带正电荷的电荷Q1在x=0处，由于x?x0处电势为0，所

以另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在x<0的位置上（设距离x=0距离为a）

利用图中x=0点电势为零方程：

kQ1Q2?k?0 XOX0?aX在?x0处，合电势为?U0,方程

kQ1Q2?k??U ?XO?X0?aX在?x0处，合电力等于0,方程

kQ1Q2?k?0 22(?XO)(?X0?a)联立三个方程得到

?(??1)2U0x0?x0U0，Q2? a??(??2)x0，Q1???2k??2k例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电

荷量均为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图，大小均为u0?kq2md

求质点运动中，它们之间的最小距离

解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。 设运动过程中，A,B两质点的位置矢量为rA,rB,则相对位矢为r?rB?rA

er?r r分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：

kq2maA?(?2er?i)i

rkq2maB?(2er?j)j

rkq2kq2m(aB?aA)?(?2er?j)j?(2er?i)i

rrkq2ma?2er（其中a是B相对A的相对加速度）

rB在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。

初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，rm,vm

?mrmvm?mdu0?22?1mv2?kq?1m(2u)2?kq

0?2mrm2d?联系消去vm，解得rm 解之前利用u0?kq22?mdu0?kq2 md联立解得vm?1?5du0，rm?d rm4例4：电荷均匀分布在半径为R的圆面上，电荷量的密度为?，试求园面边缘的电势。

解：利用u0??kdq，其中dq???2r?mdr（这里?m是r的函数） rr?2Rcos?m,dr??2Rsin?md?m

dq?2?r?m?(?2Rsin?m)d?m??4?Rr?msin?md?m

R2Rcos?0?BDd?dcos?0?R cos???r1r2r2?dRR?(1?) r2dr2d(3R2?d2) 32R化简整理得：cos?0?例3：点电荷+q和-q’（q’

求：（1）求该电场线最终的场线与x轴间的夹角

（2）求该电场线或其最终的场线与x轴的交点c的位置 解：题给的那条由q发出的电场线将来去向何处，首先应该在q发出的千万条电场线中找出一条能达到B而未达到B的那条电场线在A发出时与AB的夹角α0 由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比，所以在写电量时均对应的电量表示，

q?2?(1?cos?0)?q'

4??2q'??0?arctan?1??

q??（1） 当???0时，题给的电场线将在B点，设这条电场线最终与AB夹角为β

q2?(1?cos?)2?(1?cos?) ?q'4?4?

解得??arccos?1????q(1?cos?)? q'?（2） 当???0时，

q4??2?(1?cos?)4??2?(1?cos?) ?(q?q')4?4?

解得??arccos?当????(1?cos?)?1?

?q?q'?q?0时，c点即为B点

如图,r1?ΔPCA中，

r2 x1sin??r1sin?

ΔPCB中，

x2sin??r2sin?

利用r1?r2，

x1sin? ?x2sin?

又(E,Eq,Eq')三角形中，

Eq'Eq ?sin?sin??q'sin? ?qsin?所以

x1q'?，另一个方程x2?x1?L x2qq'qL,?X2?L

q?q'q?q'?X1?例4.；两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为λ和-λ，相距2a，两带电线

构成的平面为Z-X平面，使Z轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。

（1） 电势为U的等势面半径为r?2ka?2??0U?的圆柱面，其中，圆k?exp2???k?1??k2?1a处。 柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x轴上，x0?2k?1（2） 在X-Y平面上，电场线的方程为x其中b为常量。

2即圆心在y轴上的圆，?y2?by?a2?0，

证明：本系统是一个相对Z轴具有一定对称性的系统，即在任意一个垂直于Z轴平面内，电场的分不相同，所以可在X-Y平面内讨论

（1） 写出P(X,Y)点处的电势表达式，设为U

U?U??U??r????????lnr??lnr??ln? ?2??02??04??0?r???2r?2?(x?a)2?y2，r?2?(x?a)2?y2

?(x?a)2?y2U?ln 224??0(x?a)?yk2(x?a)2?y2 ?22(x?a)?y?2??0U?，整理后的 ????2ka????k2?1??得证 ??2因为k?exp??2(x?k?122a)?yk2?1（2） 在X-Y平面内，如图写出P(X,Y)点电场强度为

E?E??E?

Ex???1x?a?1x?a?2??0r?r?2??0r?r??x?ax?a[2?]22??0r?r??1y?1y?2??0r?r?2??0r?r?

Ey???yy[2?2]2??0r?r?

在P点电场线的斜率

Eydy?dxEx整理得

?11??y?2?2?r?r??y(r?2?r?2)???? x?ax?a(x?a)r?2?(x?a)r?2?22r?r?dy2xy2xydx?x2dy?y2dy?a2dy?2??0222dxx?y?ay?xa?xa?d??y??0??y??b?yyyy??2222

所以x2?y2?by?a2?0得证。

例：两个导体相距很远，其中一个导体带电荷Q1，电势为U1，另一个导体带电荷为Q2，

电势为U2，电容为C电容器原来不带电，现在用极细的导体将它与两个导体相连，如图所示，求，电容器充电后的电压。

解：用细导线相连，电容器冲电，并使电容器两极板间电势差为U,则此时电容器带电量为Q=CU，因此导致两导体带电量变为（Q1-CU）.(Q2-CU)

由于孤立导体所带电荷量与导体之比为Q/U,与其带电量多少无关，因此，末态两导体的电势U1',U2'满足U1'?(Q1?CU)U1U,U2'?(Q2?CU)2 Q1Q2两导体间电势差等于电容器的两极板间电势差，即

U?U1'?U2'?(U1?解得U?CU1CUU)?(U2?2U) Q1Q2U1?U2Q1Q2(U1?U2) ??U1U2?Q1Q2?C(U1Q2?U2Q1)?1?C???QQ2??1?由于无限长带电直线上无限多个无限小线小线元与辅助半圆上无限多个无限小弧之具有对应关系，所以ΔL在P点产生的电场强度与ΔL2在P点产生的电场强度完全相同。

所以P点的电场强度用同样带有λ的带电辅助半圆在P点产生的电场强度代替。 下面计算：‘

P点电场强度大小——在P点放一个单位正电荷，它受带电半圆的作用力大小。 ——P点处单位正电荷对带电半圆的作用力大小

——它等于带电半圆上单位长带电量受到P处单位正电荷的作用力

f0??

4??0a21E?f0?2a??1? ?2a??24??0a2??0a1

?E????L1??L,利用图?L1??Lcos? ?2a??24??0r4??0ar1作一个辅助圆（以P点为圆心，a为半径作半个圆（与常电直线相似）利用

?L1?L2?，带入上式子 ra?E?14??0???L2 2a无限长带电直线上任意一段无限小带电线元ΔL在P点产生的电场强度大小和方向正好等于同样带电线密度为λ的一段对应的弧元ΔL2在P点产生的电场强度的大小和方向。

解法：如图，在无限大带电平面上，任取一无限带电元ΔS, ?q???S

?Ez?14??0????S1??S11??S2 ????2224??04??0rra

利用

?S1?S2r2a2此式子告诉我们：在无限大均匀带电平面上，任意一个无限小面元在P点产生的电场强度在Z方向分量正好等于辅助半球面上对应的小球面元ΔS2上电荷在P点产生的电场强度的大小。

再求无限长带电直线周围电势分布

E?r2r1?er（柱坐标）

2??0r1?E?dr?U1?U2?所以U????dr?(lnr2?lnr1)? 2??0r2??0r11r2?lnr 2??01，则P点的电场强度（一定时Z方向）等于

Ep?

???S2??2 ??2?a?224??0a2?04??0a例：如图计算无限长均匀带电直线周围电场强度表达式 解：方法一：利用高斯定理

如图：带电直线为轴取高为ΔL1，半径为r的高斯面

??E?dS?上底?q

?0??E??E?0?dS?0，

下底??E?dS?0

?dS?E?2?r?L

侧面?q???L ?01?E??2??0r

方法二：初等方法

例：平面对称的电场，无限大带电平面，?，求周围电场强度。 解法一：利用高斯定理

如图取一个高斯面

??E?dS?侧面?q

?0??E?dS?0

右端??E?dS?E?S1?E?S

左端??E?0?dS?E?S2?E?S

?q???L ?0?2E?S???S? ?E??02?0例：有三个同心的导体薄球壳，半径分别为a，b，c，其中内、外球壳均接地，而中间球壳是由两个半球壳拼接而成，且其中带有一定电量。

试问：三个球壳半a，b，c之间满足什么关系，才能使中间球壳的两部分不会相互分离

解：设内、外球壳因感应产生带电量分别为Qa,Qc,中间球壳带电量为Q 根据题意可知，内、外球壳接地，电势为零，可以列方程：

Ua?0?kQaQQ?k?kc abcQaQQ?k?kc cccUc?0?k?QaQQQ??a? abcca(b?c)

b(c?a)?Qa?Q?Qc??Q?Qa?QC(a?b)

b(c?a)再求中间球壳受力方向（向外为正）

中间球壳两半球不分离的条件是球壳上受到的合力小于等于零

Eb??kQa 2bEb??kQa?Q b2Eb?11QQa?QQaQ(Eb??Eb?)?[ka?k]?k?k 222222bbb2b带入Qa，整理可得

Eb??kQab?2ac?bc 2b(c?a)bFb?QEbQ2ab?2ac?bc?k2?0（两半球不分离条件）

b(c?a)b用c>a.

条件为ab?2ac?bc?0

?2b?1a?1c

例：在正N变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为q的等差数列，即q，2q，3q…Nq,从N边行中心到任意一个顶点的距离均为R，求多边形中心电场强度E的大小

解：（1）先确定N边行带电系统在中心O点的合场强方向 ①

当N为偶数时，图（b）作N1边中垂线XX'(过O点)设想以XX'轴将正N边行对折，

即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，各点电荷量均为（N+1）q，由对称性，各点在O点引起的电场元矢量和的方向垂直于XX'轴，可知原系统在O点的和电场方向必与XX'轴垂直。这是因为对折前后沿XX'方向电场分量为0 当N奇数时，同样做中垂线XX'，设想以XX'为轴将正N边行对折，即将右边1,2,3…

②

多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，叠加后，除XX'轴上的一个顶点的电量为

N?12q（下端）除外，其余多点的电量均为（N+1）q。再将与图（c）所示系统关于XX'轴成完全对称的另一个系统（第二次叠加）与之叠加，叠加后的系统如图（d），此新的系统多顶点的电量均为（N+1）q，因此这个系统的中心0点，电场强度为0，因

此图（c）所示系统在O点的电场强度没有沿XX'轴方向的分量。由此可知，原系统在O点合场强方向必与XX'轴垂直，

综上可知，无论N为什么数，原系统在O点的合场强方向垂直

（2）现取N0为YY'轴，将两个N边行带电系统关于YY'轴镜像对称地叠加如图（e），

此时除N点电荷为2Nq，其他多点电荷均为Nq，显然两个系统叠加后再O点引起的合场强方向沿OY'方向大小为

E0?kNq,每个系统对应场强与E0关系为 R2这就是原正N边行中心处电场强度E的大小

电偶极子

观察远处电场强度时，可用一个量来代表这个电偶极子： 电偶极距pe?qL

小结：（1）电偶极子的电偶极距pe?qL

（2）电偶极子在其延长线方向和中垂线上的电场强度分布 如图所示

E11?12p4??0r3，E1?p

4??0r31（3）如图所示，

在p（r，θ）点处，电偶极子的产生电场强度分量为

?12pcos?E?r??4??0r3 ?1psin??E???4??0r3?（4）电偶极子在p（r，θ）处产生的电势，如图

U?1pcos?pr，或者 U?334??04??0rr1E与U的关系

?E?dr?U1?U2,Ex??12dU dXE???U

柱坐标下?

??U1?U1?U??E???U???,?,? ??r?r??rsin?????（5）电偶极子在外电场的势能（如图所示）

?E12?dr?U1?U2

?M12?dr?U1?U2

??qELsin?d?12?qEL?sin?d??qEL?dcos??qEL(cos?2?cos?1)1122

??qELcos?1?(?qELcos?2)U??qELcos???p?E

例： 解：分析

t=0时产生大的一个微粒，由于此时以及随后A板加上正电压U0，所以这个带负电的微粒，将被加速。这个微粒可以有T/2的加速时间，在这段时间内，设微粒可以经历的路程为X，

1?T?1qU0?T????x?a?? ???2?2?22Lm?2??依据所给表达式

223U0q?T?3U0q??L2??L??162m?162Lm?2?2?T???2?? ??2所以x>L

这个说明t=0时产生的第一个微粒可以到达A板 ① 设t?0?t?这里最后产生的那个微粒t1这段时间产生微粒正好能全部到达A板，

刚好能到A板，这个微粒产生后向A板加速的时间设为Δt1，则

T2?t1??t，求t1，如图所示

找方程,设加速度a，

d1?d2?L

d1?12a??t1?,v1?a(?t1) 2202?v1?2(2a)d2

五个方程，五个未知量，联立求解得

?t1?T4

说明：t?t1?T4时刻产生的那个微粒未到A板

② 假设某一个时刻产生的一个微粒，将要到达但是还未到达A板，掉过来反向加速，求到

达B板需要多长？（近A板时，速度为零）

2L?1qU02(2a)?2?a?2?? 22mL??24mL2qU0?L2?qU02? 4m23U0q?T?2??利用题给式子L?????162m?2??反向向B加速时间为

3T 24T2?T8?33TT?() 824这个微粒可足够时间到达B板，这种情况正好是

t?T4时，在A板附近的那个微粒。

③ t?T4?t?T2时间内产生的那个微粒

可以肯定，这些微粒不能到达A板，而且在距A板前一段距离停止，然后反向加速，反之，那么这些微粒到达B板需要?1??

如图所示，A板处，在?2v0的作用下已经经历了?间将?T的时间，所以反向向B的加速时8?1，而离A板较远处开始向B板加速到达B板时间将??，因此

?t?t?T4T2内产生的微粒，在掉头向B加速过过程中有更富裕的时间到达B板。

最后的结论：在t?0?t?T2时间内产生的微粒，只有t?0?t?T4内产生

的微粒可以到达A板，粒子数目为80

例：细直开口管子质量为m，可无摩擦的沿线滑行，管子均匀带电Q，长度为l.系统处于图中所示的电场中，在画箭头区域为均匀电场，场强为E,未画箭头的区域宽度为L>l、无电场。求：管子的振幅A沿线振动的周期。

解：（1）当长度为X(X

F??xQEQE??kx,(k?) ll可见管子进入电场的过程中受力与位移大小成正比，与位移方向相反的力作用，管子在

这个阶段做简谐振动。

（2）设管子振动到振幅位置，管子左（右）端进入左（右）电场边界距离为X0,由图中几何关系2X0?L?2A?l

?L 22解得x0?A?l

下面分两种情况讨论管子运动周期 ① 当x0?l时，即到达振幅位置时，管子还未完全进入到电场区域。这种情况，管

子的振动周期由两部分构成 A:电场区域的一个全振动时间TE B:无电场区域来回的匀速直线运动时间T0

TE?2?m2(L?l)，T0?

v0k式子中v0为管子做简谐振动的最大速度，即管子在无电场区域运动速度。

根据简谐振动运动过程v0?x0???kx m02(L?l)

带入T0表达式T0?2(L?l)kxm0klL(A??)m22T?TE?T0?2?② 当x0?mmL?l ?2kkA?l?L22l时，即振幅位置时管子已经完全进入到电场区域，这种情况管子的振动

周期由三部分组成： A、 无电场区域匀速运动T0

B、 管子未完全进入电场区域时简谐振动时间TE

C、 管子完全进入电场区域后，在电场中作匀变速直线运动TE'

设管子完全进入电场区域时速度为vt，管子在电场中作变速直线运动，速度为

QE，位移m(x0?l)，有vt?2QE(x0?l) m设管子刚进入电场区域时速度，即管子做简谐振动的速度为v0，能量守恒：

1112mv0?mvt2?mkl2 222从中解得

v0?k2QEQE) l?2(x0?l)，利用(k?lmmv0?QE(2x0?l) mv0cos?t，得到

2(x0?l)

2x0?l再利用简谐振动的规律vt?t?1?arccosvt?v0marccosk这个t是管子在一个周期内，在电场区域作简谐振动所需时间的四分之一，因此

TE?4t?4 再由T0?marccosk2(x0?l)

2x0?l2(L?l)v02(X0?l)?2(L?l)2m(x0?l)QE

TE'?4QE?42m(x0?l)mQET?T0?TE?TE'?2(L?l)?42m(x0?l)mm?4arccosQE(2X0?l)k2(x0?l)2x0?l

QEQE)，x0?A?l?L带入得到最后结果。

22l将(k?

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