高考数学必背知识点归纳与总结及例题解析 word下载

高考所有知识点

高中数学专题一 集合

一、集合有关概念

集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性 互异性 无序性 (1)集合的表示方法：列举法与描述法。 ? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与

B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作

?B或B??A A?2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

? 高考试题

? 3．不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是 （ ） ? A．{x|0?x?1} ? C．{x|?1?x?1} ? 5．设集合M?{x|x?B．{x|x?0且x??1} D．{x|x?1且x??1}

k1k1?,k?Z}，N?{x|x??,k?Z}，则 （ ） 2442A．M?N B．M?N C．M?N D．M?N??

（ ）

B．(CIA)∪(CIB)=I

6．设A、B、I均为非空集合，且满足A?B ?I，则下列各式中错误的是 ．．

A．(CIA)∪B=I

C．A∩(CIB)=?

D．(CIA)?(CIB)= CIB

（2）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1?S2?S3?I，则下面论断正确的是 ( )

（A）CIS1?（S2?S3）?? （C）CIS1?CIS2?CIS3??

（B）S1? （CIS2?CIS3） （D）S1? （CIS2?CIS3）?、设集合M?xx?x?0，N?xx?2，则 ( )

A．M?N?? B．M?N?M C．M?N?M D．M?N?R 5．设a,b?R，集合{1,a?b,a}?{0,?2???b,b}，则b?a? ( ) aA．1 B．?1 C．2 D．?2 1．函数y?x(x?1)?x的定义域为（ ）

A．x|x≥0

??

B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1

??C．x|x≥1??0?

????（1）已知集合A?{1,2,3,4,5}，B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y?A}，则B中所含元素的个数为 ( )

（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10

2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝x?Zx?3?2,则集合CuA等于 ( )

1,2,3,4? （B）?2,3,4? (C) ?1,5? (D) ?5? （A）???2．已知全集U?{1，2，3，4，5}，集合

A?{x|x2?3x?2?0}，B?{x|x?2a，a?A}，则

集合eU(A?B)中元素的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

21．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为

( )

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 、 1.集合A= {x∣?1?x?2}，B=xx?1，则A?(eRB)= （D） （A）xx?1 (B) xx?1 (C) {x∣1?x?2 } (D) {x∣1?x?2} 1. 集合

，

，则

（ ）

??????（A） （B） （C） （D）

1、设全集为R，函数f(x)?1?x2的定义域为M，则CRM为 ( ) A、?1,1 B、??1,1? C、???,?1]?[1,??) D、???,?1)?(1,??)

??

答案 DBCBC –D 答案BBADC-

高中数学专题二 复 数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中a，b?R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + bi为实数 虚数：当b?0时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且b?0时的复数a + bi为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0

（3）共轭复数：z?a?bi的共轭记作z?a?bi；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z?a?bi，对应点坐标为p?a,b?；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z?a?bi，把z?a2?b2叫做复数z的模； 【2】复数的基本运算 设z1?a1?b1i，z2?a2?b2i

（1） 加法：z1?z2??a1?a2???b1?b2?i； （2） 减法：z1?z2??a1?a2???b1?b2?i；

（3） 乘法：z1?z2??a1a2?b1b2???a2b1?a1b2?i 特别z?z?a2?b2。

（4）幂运算：i1?ii2??1i3??ii4?1i5?ii6??1??????

【3】复数的化简

c?diz?（a,b是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母

a?bi化为实数：z?c?dic?dia?bi?ac?bd???ad?bc?i ???22a?bia?bia?bia?bc?dicd?a?b?0?，当?时z为实数；当z为纯虚数是z可设为a?biabc?diz??xi进一步建立方程求解

a?bi

对于z?二． 例题分析

【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数z?A.

3?i，则z?z= 2(1?3i)11 B. C.1 D.2 42【例4】已知z1?2?i，z2??3?2i （1） 求z1?z2的值； （2） 求z1?z2的值； （3） 求z1?z2.

【变式1】已知复数z满足?z?2?i?1?i，求z的模.

【变式2】若复数?1?ai?是纯虚数，求复数1?ai的模.

【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数z?的真命题为（ ）

2的四个命题：其中?1?i2p1:z?2p2:z2?2ip3:z的共轭复数为1?ip4:z的虚部为?1 (A)p2,p3(B)p1,p2(C)p?,p? 【例6】若复数z?(D)p?,p?

a?3i， ?a?R?（i为虚数单位）

1?2i（1） 若z为实数，求a的值

（2） 当z为纯虚，求a的值.

a1?i?【变式1】设a是实数，且是实数，求a的值.. 1?i2

y?3i【变式2】若z??x,y?R?是实数，则实数xy的值是 .

1?xi【例7】复数z?cos3?isin3对应的点位于第 象限 【变式1】i是虚数单位,(A．i 【变式2】已知

1?i4)等于 ( ) 1-iB．-i C．1

Z=2+i,则复数z=（） 1＋i D．-1

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式3】i是虚数单位，若

1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是 2?i（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15 7?i【例8】（2012年天津）复数z?= （ ）

3?i（A）2?i （Ｂ）2?i （Ｃ）?2?i （Ｄ）?2?i

2i3? （ ） 【变式4】（2007年天津）已知i是虚数单位，1?iＡ1?i Ｂ?1?i Ｃ1?i Ｄ．?1?i 【变式5】.（2011年天津）已知i是虚数单位，复数A2?iB2?iC?1?2iD?1?2i

【变式6】（2011年天津） 已知i是虚数单位，复数(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

1?3i= （ ） 1?i?1?3i?（ ） 1?2i高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、

幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第一章、函数的有关概念

1．函数的概念： y=f(x)，x∈A．自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域 4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 5．映射

A、B集合，对应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

增函数上升，减函数下降.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)； ○

(C)复合函数的单调性 其规律：“同增异减”

注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数

都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则○

f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：定义域关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式

（1）要求两个变量之间的函数关系时，一是对应法则，二是定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1（配方法） ○

2 利用图象 ○

3 利用函数单调性 ○

题目练习：

1.求下列函数的定义域： ?y?x?12x2?2x?15 ?y?1?() x?1x?3?32.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)4.函数f(x)??x2(?1?x?2) ，若f(x)?3，则x=

??2x(x?2)?5.求下列函数的值域：

?y?x2?2x?3 (x?R) ?y?x2?2x?3 x?[1,2] (3)y?x?1?2x (4)y??x2?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1?3x),则当x?(??,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

? y?x2?2x?3 ?y??x2?2x?3 ? y?x2?6x?1

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论．

11.设函数f(x)?1?x判断它的奇偶性并且求证：f(1)??f(x)．

1?x2x

2

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第二章 基本初等函数

一、指数函数

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)a?mnmn，

?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rr?sra?aa（1）2

(a?0,r,s?R)；

rsrs(a)?a（2）

(a?0,r,s?R)；

rrs(ab)?aa （3）

(a?0,r,s?R)．

（二）指数函数及其性质

x1、指数函数的概念：函数的定义域为R． y?a(a?0,且a?1)，

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○

两个重要对数： a1 常用对数：以10为底的对数； lgN○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M2N)?logaM＋logaN； ○

logNM?logaM－logaN； N3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式

logab?logcbc?0，b?0） （a?0，且a?1；且c?1；．

logca1n（2）logab?． logab；

mlogba利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?（二）对数函数

1、对数函数的概念：y?logax(a?0，且a?1)，函数的定义

域是（0，+∞）．

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2、对数函数的性质：

a>1 32.521.50

定义域x＞0 值域为R 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 1、幂函数定义： y?x?(a?R)，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数． 例题： 1. 已知a>0，a

0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

log27?2log522.计算： ①log32? ;②24?log3= ；2535= ;

21log27642

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

24.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)?0的x的取值范围

a1?x

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第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：把使f(x)?0成立的实数y?f(x)(x?D)的零点。

x叫做函数

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○

y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

2（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

高考试题

8.（2007）若函数f(x)的反函数为f?1(x),则函数f(x-1)与f?1(x?1)的图象可能是 （ D ）

2

11（2007）.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若 a＜b，则必有 （ C ）

A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

1??2x?1?13（2007）.lim?2?? 1/3 . x?1?x?1?x?x?27（2008）．已知函数f(x)?2x?3，f?1(x)是f(x)的反函数，若mn?16（m，n?R+），则f?1(m)?f?1(n)的值为（A ） A．?2

B．1

C．4

D．10

?y≥1，?10（2008）．已知实数x，y满足?y≤2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实

?x?y≤m．?数m等于（ C ） A．7 B．5

C．4

D．3

11 （2008）．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），

f1)(2?，则f(?3)等于（ B ）

A．2

B．3

C．6

D．9

3.（2009）函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为 （ B ）

121x?2(x?0) (B) f?1(x)?x2?2(x?2) 2212?1（C）f(x)?x?4(x?0) (D)

21f?1(x)?x2?4(x?2)

215.若3sin??cos??0,则 的值为 （ A ） 2cos??sin2?5210（A） （B） （C） (D) ?2

333?1（A）f(x)?3（2011）．设函数f(x)（x?R）满足f(?x)?f(x)，f(x?2)?f(x)，则函数y?f(x)的图像是 （ ）

【解】选B 由知B，D符合；由

f(?x)?f(x)得y?f(x)是偶函数，所以函数y?f(x)的图象关于y轴对称，可f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是

4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

6．（2011）函数f(x)?x?cosx在[0,??)内 （ ）

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点

【解】选B （方法一）数形结合法，令

f(x)?x?cosx?0，则x?cosx，设函数y?x和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数

f(x)?x?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；

（方法二）在x?[?2,??)上，x?1，cosx?1，所以f(x)?x?cosx?0；

在

x?(0,]2?，

f?(x)?12x?sinx?0，所以函数

f(x)?x?cosx是增函数，又因为

f(0)??1，f()?2

????0，所以f(x)?x?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点．

22212（2011）．设n?N?，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．

12．设n?N?，一元二次方程x2?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解】x?4?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n为整24，又因为n?N?，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4时，可推

2数，且n?出一元二次方程x【答案】3或4

?4x?n?0有整数根． ．．

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第四章、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。 当??90?时，k不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2)

x2?x1（3）直线方程

①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1? 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，它的方程是x=x1。

②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：

y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

y2?y1x2?x1xy??1 ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0） 注意

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1:为

y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程

，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2； l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合 （8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2

（9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C

A2?B2（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

题目练习

例2.设曲线y?A．2 例3.曲线y=

x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（D ） x?1B．1 C．?1 D．?2

22134x?x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） 331212（A） （B） （C） （D）

9933 例4.已知直线l1为曲线y?x2?x?2在点（1，0）处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1?l2.

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第五章 三角函数

12、同角三角函数的基本关系：?1?sin2??cos2??1 ?2?13、三角函数的诱导公式：

sin??tan? cos??1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???．

?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．

?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

?5?sin??????????cos?，cos?????sin?． ?2??2?????????cos?，cos??????sin?． ?2??2???6?sin???14、函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数y?sin??x???的图象；再将函数

y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．

函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数

y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移

1?倍（纵坐标不变），

?个单?位长度，得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数

y??sin??x???的图象．

函数y??sin??x??????0,??0?的性质：

①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?2??．

函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则??11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： y?cosx y?sinx 图 y?tanx 象 定义域 值域 R R ???xx?k??,k???? 2??R ??1,1? 当x?2k????1,1? ?k???当x?2k??k???时， ?2最值 时，ymax?1；当x?2k??ymax?1；当x?2k??? ?2 ?k???时，ymin??1． 2? 既无最大值也无最小值 ?k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数 ????在?2k??,2k??? 22??在?2k???,2k???k???上????单?k???上是增函数；在 是增函数；在在?k??,k??? 22??调2k?,2k???? ??3??性 ? 2k??,2k??k???上是增函数． ???22???k???上是减函数． ?k???上是减函数． 对称中对对称中心?k?,0??k??? ???称对称轴?k??,0??k??? 性 2??心对称中心?k??,0??k??? ??2?x?k?? ?2?k??? 对称轴x?k??k??? 无对称轴

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ?cos??????cos?cos??sin?sin?； ?cos??????cos?cos??sin?sin?； ?sin??????sin?cos??cos?sin?； ?sin??????sin?cos??cos?sin?； ?tan??????tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；

1?tan?tan?tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．

1?tan?tan??tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ?sin2??2sin?cos?． ?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?1?cos2?）． 2（

cos2??cos2??12，

sin2???tan2??2tan?．

1?tan2??2??2sin?????，其中tan????

26、?sin???cos??27.正弦定理、余弦定理

正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有

△ABC，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

高考试题

4（2007）.已知sinα=

5，则sin4α-cos4α的值为 ( A ) 51313（A）- (B)- (C) (D)

555516、（2012）（本小题满分12分）

已知向量a?(cosx,?)，b?(3sinx,cos2x)，x?R，设函数f(x)?a?b. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在[0,12

17.（2007）（本小题满分12分）

?]上的最小值和最大值. 2???

设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点?,2?，

?4?

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

解：（Ⅰ）

f(x)?a?b?m(1?sin2x)?cos2x，

由已知

π?π?π??f???m?1?sin??cos?2，得m?1．

2?2?4??π??f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x??，

4??（Ⅱ）由（Ⅰ）得

π???当sin?2x????1时，f(x)的最小值为1?2，

4??由sin?2x????3π?π?，得值的集合为xx?kπ?，k?Zx??1??． ?4?8??

17．（2008）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2sinxxxcos?23sin2?3． 444（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g(x)?f?x???π??，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3?xxxx?xπ??3(1?2sin2)?sin?3cos?2sin???． 2422?23?解：（Ⅰ）?f(x)?sin?f(x)的最小正周期T?2π?4π． 12当sin??xπ??xπ?当s????1时，f(x)取得最小值?2；in????1时，f(x)取得最大值2．

2323????π??xπ????．又g(x)?f?x??．

3??23??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin?x?1?π?π??xπ??g(x)?2sin??x?????2sin????2cos．

23?3??22??2?x?x??g(?x)?2cos????2cos?g(x)．

2?2??函数g(x)是偶函数．

17．（2009）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????2?2?,?2). 交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(23(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[解（1）由最低点为M(）的图象与x轴的

,]，求f(x)的值域. 122??2?,?2)得A=2. 3?T?2?2???2 得=，即T??，??222T?2?2?4?,?2)在图像上的2sin(2???)??2,即sin(??)??1 由点M(3334??11????2k??,k?Z ???2k??故 326???又??(0,),???,故f(x)?2sin(2x?)

266????7??2x??[,] （2）?x?[,],　　　　122636????7?当2x?=，即x?时，f(x)取得最大值2；当2x??

62666?由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

即x?2时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

17．（2010）（本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3?3海里的两个观测点，现位于A点）北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

解：由题意知AB?5(3?3)海里，

?DBA?90??60??30?,?DAB?90??45??45?,

∴?ADB?180??(45??30?)?105? 在?DAB中,由正弦定理得

DBAB?，

sin?DABsin?ADB∴DB?AB?sin?DAB5(3?3)?sin45?5(3?3)?sin45? ??sin?ADBsin105?sin45?cos60??cos45?sin60?=

53(3?1)?103（海里）

3?12

答：救援船到达D点需要1小时.

高中数学专题三 函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第六章 导 数

第01讲：导数的概念、几何意义及其运算

常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：

C'?0(C为常数);(xn)'?nxn?1,n?N?；

(ax)'?axlna；

x'x(sinx)'?cosx;(cosx)'??sinx; (e)?e;11''(lnx)?;(logax)?logae

xx法则1： [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x) 法则2： [u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)

''法则3： [u(x)]'?u(x)v(x)?u(x)v(x)(v(x)?0)

v(x)v2(x)（一）基础知识回顾：

1.导数的定义：函数y?f(x)在x0处的瞬时变化率

f(x??x)?f(x)?y00称为函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作f/(x0)或lim?lim?x?0?x?x?o?xf(x0??x)?f(x0)y/x?x0，即f/(x0)?lim

?x?0?x如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x?(a,b)，

都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为函数y?f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)＝y＝

f(x??x)?f(x) lim?x?0?x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数

//////y?f(x)在x0处的导数y/x?x0，就是导函数f(x)在x0处的函数值，即y//x?x0＝f/(x0)。

2. 由导数的定义求函数y?f(x)的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量

?f?f(x??x)?f(x);

?ff(x??x)?f(x)?f（2）.求平均变化率; （3）.取极限，得导数y/＝lim。 ??x?0?x?x?x3.导数的几何意义：函数y?f(x)在x0处的导数是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率。 因此，如果f?(x0)存在，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为______________________。

4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：

?n/n?11??（1）公式(x)?nx的特例：①(x)??______; ②???_______, ③(x)???x?_________.

（2）法则：①[c?f(x)]?________; ②若y?f(u),u??(x)，则y?=_______________. （二）例题分析： 例1. 已知y=

/x1，用导数的定义求y′. x例2.设曲线y?A．2 例3.曲线y=

x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ D ） x?1B．1 C．?1 D．?2

22134x?x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ） 331212（A） （B） （C） （D）

9933 例4.已知直线l1为曲线y?x2?x?2在点（1，0）处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且l1?l2.

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

第02讲： 导数在研究函数中的应用

（一）基础知识回顾：

1. 设函数y?f(x)在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则y?f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则y?f(x)是这个区间内单调递减. 2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数y??f?(x)； （2）解方程f?(x)?0； （3）使不等式f?(x)?0成立的区间就是递增区间，使f?(x)?0成立的区间就是递减区间。

3. 求函数y?f(x)的极值的方法：

（1）求导数y??f?(x)； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）； （3）如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)的极

大值；如果在根x0附近的左侧f?(x)____0，右侧f?(x)____0，那么f(x0)是y?f(x)的极小值

4．在区间 ?a,b?上求函数 y?f(x)的最大值与最小值 的步骤：

（1）求函数 y?f(x)在(a,b)内的导数 ； （2）求函数 y?f(x)在(a,b)内的极值 ； （3）将函数y?f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 （二）例题分析：

例1．已知函数f(x)?x?3ax?2bx在点x=1处有极小值-1．

试确定a、b的值．并求出f（x）的单调区间．

例2．设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

〔0,3〕,都有f (x)＜c2成立，求c的取值范 (Ⅰ)求a、b的值; （Ⅱ）若对于任意的x?围.

1.设a?R，若函数y?e?ax，x?R有大于零的极值点，则（ ）

x3211 D. a?? ee,2．如果函数y?f(x)的图像如右图,那么导函数y?f(x)的图像可能是（ ）

A．a??1 B. a??1 C. a??

3．。函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）

（A）(

3??3?5?，) （B）(?，2?) （C）(，) （D）(2?，3?)

2222

第03讲： 导数的实际应用

（一）基础知识回顾：

1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点x，且f(x)是这个函数

00的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。

2.定积分的几何意义：

?baf(x)dx表示由直线__________,_________,__________和曲

线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。

3．微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，

b并且F?(x)?f(x)，那么?f(x)dx?F(b)?F(a)。常常把F(b)?F(a)记作F(x)|。

aba

（二）高考题目：

20.（2007）(本小题满分12分)

c2,其中a为实数. 设函数f(x)=2x?ax?a(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 解：（Ⅰ）

f(x)的定义域为R，?x2?ax?a?0恒成立，???a2?4a?0，

?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R．

（Ⅱ）

x(x?a?2)exf?(x)?2(x?ax?a)2，令

f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0．

由

f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又?0?a?4，

?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a；

当a?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0，

a?2时，f(x)的单调减区间为(0，2?a)；

即当0?当2?

a?4时，f(x)的单调减区间为(2?a，0)．

21．（2008）（本小题满分12分） 已知函数

f(x)?kx?1（c?0且c?1，k?R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是

x2?cx??c．

（Ⅰ）求函数

f(x)的另一个极值点； f(x)的极大值M和极小值m，并求M（Ⅱ）求函数

?m≥1时k的取值范围．

f?(?c)?0，

解：（Ⅰ）

k(x2?c)?2x(kx?1)?kx2?2x?ckf?(x)??(x2?c)2(x2?c)2，由题意知

即得c由

2k?2c?ck?0，（*）?c?0，?k?0．

f?(x)?0得?kx2?2x?ck?0，

由韦达定理知另一个极值点为x（Ⅱ）由（*）式得k?1（或x?c?2）． k22，即c?1?． c?1k当c?1时，k?0；当0?c?1时，k??2．

?（i）当k?0时，f(x)在(??，?c)和(1，??)内是减函数，在(?c，1)内是增函数．

k?1k??0， c?12?M?f(1)??kc?1?k2m?f(?c)?2??0，

c?c2(k?2)kk2由M?m??≥1及k?0，解得k≥2．

22(k?2)（ii）当k??2时，f(x)在(??，?c)和(1，??)内是增函数，在(?c，1)内是减函数．

?k2k?M?f(?c)??0，m?f(1)??0

22(k?2)?k2k(k?1)2?1M?m???1?≥1恒成立．

2(k?2)2k?2综上可知，所求k的取值范围为(??，?2)?[2，??)．

20．（2009）（本小题满分12分）

已知函数

f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若

f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

解（Ⅰ）

a2ax2?a?2f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵

f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

（Ⅱ）

ax2?a?2f'(x)?,

(ax?1)(1?x)2?0, ∴ax?1?0.

∵x?0,a①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??).

②当0?a?2时，

由

f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴

f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?aa处取得最小值

f(2?a)?f(0)?1, a综上可知，若

f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21.（2010）已知函数（Ⅰ）若曲线yf(x)?x，g（x）=alnx，a?R

?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式；

（Ⅱ）设函数h(x)?（Ⅲ）对（Ⅱ）中的?(a)和任意的a?0,b?0时，证明：

??(

a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b21．（2011）（本小题满分14分） 设函数

f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?1，g(x)?f(x)?f?(x)． x（1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g(（3）是否存在x01)的大小关系； x1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值范围；若x?0，使得|g(x)?g(x0)|?不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出原函数

，并求出f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间）

最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．

1，∴f(，又∵f(1)?0，所以ln1?c?0，即c?0， x)?nlxc?（c为常数）x1∴f(x)?lnx；g(x)?lnx?，

xx?1x?1??0，解得x?1， ∴g?(x)?，令，即g(x)?022xx【解】（1）∵

f?(x)?当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间； 当x?(1,??)时，g?(x)所以x?0，g(x)是增函数，故区间在(1,??)是函数g(x)的增区间；

?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以g(x)的最小值是g(1)?1． （2）g(111)??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?2lnx?x?， xxx，

(x?1)2则h?(x)??x2当x1?1时，h(1)?0，即g(x)?g()，

x当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0，h?(1)?0， 因此函数h(x)在(0,??)内单调递减，

1x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()；

x1当x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()．

x当0?（3）满足条件的x0不存在．证明如下： 证法一 假设存在x0即对任意x?0，使|g(x)?g(x0)|?1对任意x?0成立， x?0有lnx?g(x0)?lnx?2 ① x但对上述的x0，取x1因此不存在x0?eg(x0)时，有lnx1?g(x0)，这与①左边的不等式矛盾，

1对任意x?0成立． x1证法二 假设存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?对任意x?0成立，

x?0，使|g(x)?g(x0)|?由（1）知，g(x)的最小值是g(1)?1， 又g(x)?lnx?1?lnx，而x?1时，lnx的值域为(0,??)， x∴当x…1时，g(x)的值域为[1,??)， 从而可以取一个值x1?1，使g(x1)…g(x0)?1，即g(x1)?g(x0)…1,

1，这与假设矛盾． x11对任意x?0成立． x∴|g(x1)?g(x0)|…1?∴不存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?

21.（2012）（本小题满分14分）

设函数.

（Ⅰ）设（Ⅱ）设围；

，

，若对任意

，证明：

，有

在区间内存在唯一的零点；

，求

的取值范

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设的增减性。

是在内的零点，判断数列

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2椭圆、双曲线、抛物线

中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?b?0) 2ab

P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 B2 x y F2 图 形 F1 O F1 B1 A2 x 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0) c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） a22xy3．常用结论：（1）椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,Bab两点，则?ABF2的周长= 22（2）设椭圆x2?y2?1(a?b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴

ab的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab P F1 A1 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线：

e?P y F2 B2 O B1 F1 x 图 形 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) 22F1(0,?c),F2(0,c) 2|F1F2|?2c(c?0) c?a?b c(e?1)（离心率越大，开口越大） ay??bx a2b2ay?? ax b2222①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到

2222ababxy??0。 ab22x2y2xy②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；

abab（4）等轴双曲线为x2?y2?t2，其离心率为2 22（4）常用结论：（1）双曲线x?y?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双

a2b2曲线的同一支于A,B两点，则?ABF2的周长= 22yx（2）设双曲线?2?1(a?0,b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对2ab称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是

|PQ|? 三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0 标准方程 焦点在x轴上， 开口向右 y2?2px 焦点在x轴上， 开口向左 y2??2px 焦点在y轴上， 开口向上 焦点在y轴上， 开口向下 x2?2py x2??2py P y l x F O l 图 形 O y P x F y P F O x l P y O F x 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 |PF|?|x0|?p 2 O(0,0) F(?p ,0)2l x轴 pF(,0) 2pF(0,) 2y轴 pF(0,?) 2 p 2 p2e?1 x??x?p2 y?? y?p 22p |PF|?|y0|?p 2 p 四、弦长公式： |AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?? |A|其中,A,?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数

五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出

x1?x2??x?x2B；（3）设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0?1；再把x?x0代A2入直线方程求出y?y0。

法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

高考专题训练九 椭圆、双曲线、抛物线

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( )

3

A.4 5

C.4

解析：利用抛物线定义

B．1 7D.4

A到准线距离|AA′|，B到准线距离|BB′|， 且|AA′|＋|BB′|＝3，

315

AB中点M到y轴距离d＝2－4＝4. 答案：C

2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

A．n＝0 C．n＝2 解析：如图所示．

B．n＝1 D．n≥3

答案：C

3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

4A.5 3C．－5

3B.5 4D．－5

2??y＝4x

解析：由?得：y2－2y－8＝0, y1＝4，y2＝－2.

?y＝2x－4?

则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0) |AF|＝?4－1?2＋42＝5，

|BF|＝?1－1?2＋?－2－0?2＝2 |AB|＝?4－1?2＋?4＋2?2＝35

|AF|2＋|BF|2－|AB|225＋4－45

cos∠AFB＝＝ 2|AF|·|BF|235324＝－5. 答案：D

x2y2

4．(2011·浙江)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2

y2

－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )

13

A．a＝2

2

B．a2＝13 D．b2＝2

1

C．b＝2

2

解析：依题意：a2－b2＝5， x2y2

令椭圆2＋2＝1，

b＋5b

1

如图可知MN＝3AB， x21N∴x2＝9， B

?y＝2x由?x2y2

＋b2＝1，2b＋5?

b2∴xN＝

?b2＋5?

，

5b2＋20

2

??y＝2xa22由?222∴xB＝5， ?x＋y＝a?

b2?b2＋5?

25b＋201x2N∴x2＝a2＝9， B

5∴又a2＝b2＋5， 1

∴9b2＝b2＋4，∴b2＝2. 答案：C

5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )

13A.2或2 1

C.2或2

2B.3或2 23D.3或2 解析：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2， 42

∴|PF1|＝3|F1F2|，|PF2|＝3|F1F2|

42

则若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|＋3|F1F2|＝2|F1F2|>|F1F2|， 1

知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，∴e＝2.

422

若|PF1|－|PF2|＝3|F1F2|－3|F1F2|＝3|F1F2|<|F1F2|， 4c33

知P点在双曲线上，2a＝3c，∴a＝2，∴e＝2. 答案：A

x2y2

6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a>0，→→→b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP＋OF2)·F2P＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为( )

2＋1

A.2 3＋1C.2

→→→

解析：∵(OP＋OF2)·F2P＝0， ∴OB⊥PF2且B为PF2的中点， 又O是F1F2的中点

B.2＋1 D.3＋1

∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2. |PF1|－|PF2|＝2a??222则?|PF1|＋|PF2|＝4c??|PF1|＝3|PF2|

整理，可得(3－1)c＝2a，

c

∴e＝a＝3＋1. 答案：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

1??x2y2

7．(2011·江西)若椭圆a2＋b2＝1的焦点在x轴上，过点?1，2?作

??圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1. 1

两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝2.∴kAB＝－2，

∴直线AB：y－0＝－2(x－1)

∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)． ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5 x2y2

∴椭圆方程5＋4＝1. x2y2

答案：5＋4＝1

8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，2

焦点F1，F2在x轴上，离心率为2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

c2

解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝a＝2， ∴c＝22，

22xy

∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为16＋8＝1.

x2y2

答案：16＋8＝1

x22

9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆3＋y＝1的左、右焦点，点→→

A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B，则点A的坐标是____________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵F1(－2，0)，F2(2，0)，

→→

∵F1A＝(x1＋2，y1)，F2B＝(x2－2，y2)， ∴(x1＋2，y1)＝5(x1－2，y2)，

???x1＋2＝5?x2－2??x1＝5x2－62∵???， ???y1＝5y2?y1＝5y2

又∵点A，B都在椭圆上， x22∴3＋y22＝1，

2

x12＋y1＝1， 3

?5x2－62?22

∴＋(5y2)＝1， 325x22－602x2＋722∴＋25y2＝1， 3

?x22?

∴25?3＋y2?－202x2＋24＝1，

??

2

∴25－202x2＋24＝1，

6

∴x2＝52，∴x1＝5x2－62＝0，

∴把x1＝0代入椭圆方程得y21， 1＝1，∴y1＝±∴点A(0，±1)．

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