离散时间系统的时域分析实验报告

实验一 离散时间系统的时域分析

一、实验目的

１. 运用MATLAB仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。

２. 运用MATLAB中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理

离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：

当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应

N?dkk?0y[n?k]?M?k?0pkx[n?k]?[n]?h[n]，则系统响应为如下的卷积计算式：

y[n]?x[n]?h[n]?m????x[m]h[n?m]

? 当h[n]是有限长度的（n：[0，M]）时，称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR系统。在MATLAB中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。 例1

clf; n=0:40; a=1;b=2; x1= 0.1*n;

x2=sin(2*pi*n); x=a*x1+b*x2; num=[1, 0.5,3]; den=[2 -3 0.1];

ic=[0 0]; %设置零初始条件

y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n) y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n) y=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n) yt= a*y1+b*y2; %画出输出信号 subplot(2,1,1) stem(n,y);

ylabel(‘振幅’)；

title(‘加权输入a*x1+b*x2的输出’)；

subplot(2,1,2) stem(n,yt);

ylabel(‘振幅’)；

title(‘加权输出a*y1+b*y2’)；

(一)、线性和非线性系统

对线性离散时间系统，若y1(n)和y2(n)分别是输入序列x1(n)和x2(n)的响应，则输入

x(n)?ax1(n)?bx2(n)的输出响应为y(n)?ay1(n)?by2(n)，即符合叠加性，其中对任意

常量a和b以及任意输入x1(n)和x2(n)都成立，否则为非线性系统。 (二)、时不变系统和时变系统

对离散时不变系统，若y1(n)是x1(n)的响应，则输入x(n)=x1(n-n0)的输出响应为y(n)=y1(n-n0),式中n0是任意整数。该输入输出关系，对任意输入序列及其相应的输出成立，若对至少一个输入序列及其相应的输出序列不成立，则系统称之为时变的。 (三)、线性卷积

假设待卷积的两个序列为有限长序列，卷积运算符在MATLAB中可 命令conv实现。例如，可以把系统的冲激响应与给定的有限长输入序列进行卷积，得到有限长冲激响应系统的输出序列。下面的MATLAB程序实现了该方法。 例2

clf;

h=[3 2 1 -2 1 0 -4 0 3];%冲激 x=[1 -2 3 -4 3 2 1 ]; %输入序列 y=conv(h,x); n=0:14; stem(n,y);

xlabel(‘时间序号n’);ylabel(‘振幅’)； title(‘用卷积得到的输出’)；grid;

三、实验内容与步骤

１. 假定一因果系统为

y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.2403x(n-2) 用MATLAB程序仿真该系统，输入三个不同的输入序列：

??0.1n)，x2(n)?cos(2??0.4n)，x?2x1(n)?3x2(n) x1(n)?cos2(计算并并显示相应的输出y1(n)， y2(n)和y(n)。

２. 用MATLAB程序仿真步骤1给出的系统，对两个不同的输入序列x(n)和x(n-10)，计算

并显示相应的输出序列y3(n)和y4(n)。

3．用MATLAB程序仿真计算下列两个有限长序列的卷积和并显示图形。

x1(n)??(n)?3?(n?1)?2?(n?2)

x2(n)?u(n)?u(n?3)

四、实验仪器设备

计算机，MATLAB软件

五、实验要求

给出理论计算结果和程序计算结果并讨论。

六、实验结果

实验1：

clf; n=0:40; a=2;b=-3;

x1= cos(2*pi*0.1*n); x2=cos(2*pi*0.4*n); x=a*x1+b*x2; den=[1, -0.4,0.75];

num =[2.2403 2.4908 2.2403];%分子系数 ic=[0 0]; %设置零初始条件

y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n) y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n)

yn=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n)%画出输出信号 subplot(2,2,1) stem(n,y1); ylabel('振幅'); title('y1输出'); subplot(2,2,2) stem(n,y2); ylabel('振幅'); title('y2输出'); subplot(2,2,3) stem(n,yn); ylabel('振幅'); title('yn输出');

实验2： clf;

n=0:40;n1=0:50;

a=2;b=-3;

x1= cos(2*pi*0.1*n); x2=cos(2*pi*0.4*n); x3=a*x1+b*x2;

x4=[zeros(1,10), x3]; den=[1, -0.4,0.75];

num=[2.2403 2.4908 2.2403]; ic=[0 0]; %设置零初始条件 y3=filter(num,den,x3,ic);

y4=filter(num,den,x4,ic);%计算输入为x (n)时的输出y(n) %画出输出信号 subplot(2,1,1) stem(n,y3); ylabel('振幅'); title('yn输出'); subplot(2,1,2) stem(n1,y4); ylabel('振幅'); title('y1输出');

实验3： clf;

x=[1 3 2];%冲激

u=[1 1 1]; %输入序列 y=conv(u,x); n=0:4; stem(n,y);

xlabel('时间序号n');ylabel('振幅'); title('用卷积得到的输出');grid;

实验二（1） 离散时间信号的DTFT

一、实验目的

１. 运用MATLAB理解Z变换及其绘制H(z)的零极点图。 ２. 运用MATLAB计算逆Z变换。

二、实验原理

（一）、MATLAB在ZT中的应用。

线性时不变离散时间系统的冲激响应h(n)的z变换是其系统函数H(z)， 在MATLAB中可以利用性质求解Z变换，例如可以利用线性卷积求的Z变换。若H(z)的收敛域包含单位圆，即系统为稳定系统，即系统在单位圆上z?ej?处计算的是系统的频率响应。

（二）、逆Z变换

Z变换对于分析和表示离散线性时不变系统具有重要作用。但是在MATLAB中不能直接计算Z变换，但是对于一些序列可以进行逆Z变换。

已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：

X(z)??x(n)z?n,Rx??z?Rx?n???

1n?1x (ndzR x? ) ? ? c X ( z ) z , c ? ( , R x ? )

2?j?通常，直接计算逆Z变换的方法有三种：围线积分法、长除法和部分分式展开法。在实际中，直接计算围线积分比较困难，往往不直接计算围线积分。由于序列的Z变换常为有理函数，因此采用部分分式展开法比较切合实际，它是将留数定律和常用序列的Z变换相结合的一种方法。

设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过常用序列的Z变换求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。在MATLAB中提供了函数residuez来实现上述过程，调用格式如下：

[R，P，K]= residuez（B，A）

其中B、A分别是有理函数分子多项式的系数和分母多项式的系数，输出R是留数列向量，P是极点列向量。如果分子多项式的阶数大于分母多项式的阶数，则K返回为常数项的系数。

三、实验内容与步骤

选做一个实验：

1、.运行下面程序并显示它，验证离散时间傅立叶变换DTFT的时移性。

已知两个线性时不变的因果系统，系统函数分别为 H1(z)?1?z?N1?z?N，H2(z)? N?N1?az分别令N=8，a=0.8，计算并图示这两个系统的零、极点图及幅频特性。 程序：

2、运行下面程序并显示它，验证离散时间傅立叶变换DTFT的频移性。

四、实验仪器设备

计算机，MATLAB软件

五、实验注意事项

课前预先阅读并理解实验程序；

六、实验结果

clear

num1=[1 0 0 0 0 0 0 0 -1];%分子系数高阶到低阶 den1=[1 0 0 0 0 0 0 0 0]; subplot(2,2,1) zplane(num1, den1) grid;

title('H1零极点分布图') ;

[H,w]=freqz(num1,den1,200,'whole'); %中B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，

HF=abs(H); %返回量H则包含了离散系统频响在 0~pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数）

subplot(2,2,2); %w则包含了范围内N个频率等分点。 plot(w,HF)

title('H1幅频响应特性曲线'); a=0.8; A=a^8;

num2=[1 0 0 0 0 0 0 0 -1];%分子系数高阶到低阶 den2=[1 0 0 0 0 0 0 0 A]; subplot(2,2,3) zplane(num2, den2); grid;

title('H2零极点分布图') ;

[H,w]=freqz(num2,den2,200,'whole'); %中B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，

HF=abs(H); %返回量H则包含了离散系统频响在 0~pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数）

subplot(2,2,4); %w则包含了范围内N个频率等分点。 plot(w,HF)

title('H2幅频响应特性曲线');

实验二（2） 离散傅立叶变换DFT

一、实验目的

１. 运用MATLAB计算有限长序列的DFT和IDFT。 ２. 运用MATLAB验证离散傅立叶变换的性质。 3 .运用MATLAB计算有限长序列的圆周卷积。

二、实验原理

（一）、离散傅立叶变换DFT的定义

一个有限长度的序列x(n)（0≤n

j???2?k/Nn????x(n)e??j2?kn/N 0?k?N?1

可以看到X(k)也是频域上的有限长序列，长度为N。序列X(k)称为序列x(n)的N点DFT。N称为DFT变换区间长度。 通常表示

WN?e?j2?/N

可将定义式表示为

X(k)?

n????x(n)W?kn 0?k?N?1

X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为

1x(n)?N

（二）、DFT的性质

1．圆周移位

n????X(k)W??kn 0?n?N?1

定义序列x(n)的m单位的圆周移位y(n)为：

y(n)?~x(n?m)RN(n)?x((n?m))NRN(n)

(x((n?m))N即对x(n)以N为周期进行周期延拓的序列~x(n)的m点移位，RN(n)表示对此延拓移位后再取主值序列)

1． 圆周卷积

??X1(k) 0?k?N?1 设 x1(n)??NDFT??X2(k) 0?k?N?1 x2(n)??NDFT??X1(k)X2(k) 0?k?N?1 则 x1(n) x2(n)??NDFT这里 x1(n) x2(n) 表示x1(n)与 x2(n)的N点循环卷积。

x1(n) x2(n)??x2(m)[x1((n?m))NRN(n)],n?0,1,?,N?1

m?0N?1

2． 共轭对称性

x(n)?xep(n)?xop(n),0?n?N?1

1?*x(n)?[x(n)?x(N?n)]ep?2??,0?n?N?1

1*?xop(n)?[x(n)?x(N?n)]2?DFT??X(k) x(n)??N1DFTxep(n)????[X(k)?X*(k)]?Re[X(k)]?Xr(k)

N2实际应用中，利用上述对称性质可以减少DFT的运算量，提高运算效率。

三、实验内容与步骤：（2，3选做一个）

１. 构造离散傅立叶正、反变换函数的MATLAB程序，其中dft(xn,N)为离散傅立叶正变换，

idft(xn,N)为离散傅立叶反变换。

2、如果x(n)?sin(n?/8)?sin(n?/4)是一个N=16的有限长序列，利用离散傅立叶变换函数求其16点DFT。

3、如果x(n)?cos(0.82?n)?2sin(0.43?n)是一个0?n?100的有限长序列，绘制x(n)及其离散傅立叶变换X（K）的幅度、相位图。

四、实验仪器设备

计算机，MATLAB软件

五、实验注意事项

课前预先阅读并理解实验程序；

六、实验结果

Dft:程序

function xk=dft(xn,N) ?t n=[0:1:N-1]; k=n;

WN=exp(-i*2*pi/N); %旋转因子 nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; xk=xn*WNnk; end

idft：程序

function xn=idft(xk,N) %idft n=[0:1:N-1]; k=n;

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; %矩阵的转制*K WNnk=WN.^(-nk); xn=xk*WNnk/N; end

实验程序： 选做2

k=16; %序列长 N=16;?t点数 n1=[0:1:15];

xn1=sin(pi/8*n1/k)+sin(pi/4*n1/k); %抽样信号 xk1=dft(xn1,N); subplot(1,2,1); stem(n1,xn1); xlabel('t/T'); ylabel('x(n)'); subplot(1,2,2); stem(n1,xk1); grid;

xlabel('k'); ylabel('x(k)');

选做1：

fp=400; %通带上限临界频率 fs=600; %阻带临界频率

Rp=0.3; %通带允许的最大衰减 Rs=60; %阻带允许的最小衰减 Fs=1000; %采样频率

Wp=2*pi*fp; %通带截止平率 Ws=2*pi*fs; %阻带截止平率 %Nn=256;

n=(0:100-1);%采样点数

[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %用于计算阶数和截止平率 [b,a]=butter(N,Wn,'s'); %计算分子向量b，分母向量a

w=linspace(1,400,100)*2*pi; %起始值，终止值，元素个数

H=freqs(b,a,w); % 在[0,2π]上进行采样，采样频率点由矢量w指定 figure(1);

plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H))); title('巴特沃斯模拟滤波器幅频特性'); xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度/db');

%[bz,az]=impinvar(b,a,Fs); êiyong冲击响应不变法转换为数字滤波器

实验四 基于MATLAB的FIR数字滤波器设计

一、实验目的

１. 进一步熟悉FIR数字滤波器的理论知识。

２. 熟悉与FIR数字滤波器设计有关的MATLAB函数。 3. 学会通过MATLAB，利用窗函数法设计FIR数字滤波器。

二、实验原理

设计FIR滤波器实际上是要在满足线性相位的条件下，实现幅度响应的逼近。而一个FIR滤波器若是符合线性相位，则必须满足一定的条件，即：

一个FIR滤波器若是线性相位的，则其单位冲激响应必然满足

h(n)??h(N?1?n) n=0,1,…,N-1

h(n)是关于(N-1)/2对称（奇对称或偶对称） 即,

(1) h(n)是偶对称序列

? N ? 1

??? ?2? ?h?n??h?N?1?n?,0?n?N?1(1) h(n) 是奇对称（反对称）序列

N?1?? ? ?

2? ? ?h?n???h?N?1?n??设滤波器要求的理想频率响应为Hd(ejw) , 那么FIR滤波器的设计问题在于——寻找一?系统函数H(z)??h(n)zn?0N?1?n ，使其频率响应H(e)?H(z)|z?ejw逼近Hd(ejw)。若要求

jwFIR滤波器具有线性相位特性，则h(n)必须满足上节所述的对称条件。逼近的方法有三种：

窗口设计法（时域逼近）；频率采样法Frequency-sampling（频域逼近）；最优化设计Optimum Equiripple（等波纹逼近）。

窗函数法又称傅立叶级数法，是设计FIR数字滤波器的最简单的方法。FIR数字滤波器的设计问题就是要使所设计的FIR数字滤波器的频率响应H(w)去逼近所要求的理想滤波器的响应Hd(w)。从单位采样响应序列来，就是使所设计滤波器的h(n)逼近理想单位采样响应序列hd(n)，这可以用hd(n)和一个窗函数w(n)的乘积来得到。 （一）、设计原理。

窗函数设计FIR数字滤波器的步骤如下： （1）给定要求的频率响应函数Hd(w)； （2）计算hd(n)；

（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗的性状以及窗的大小N；

（4）根据所选择的合适的窗函数w(n)来修正hd(n)，得到所设计的FIR数字滤波器的单位采样响应序列h (n)= hd(n) w(n)，n=0，1，…，N-1 （二）、函数的应用

MATLAB中用fir1函数来设计具有标准频率响应的FIR滤波器。其调用方式：

b=fir1(n,wn)——设计n阶低通FIR滤波器，返回的向量b为滤波器的系数（即h(n)的值），它的阶数为n+1；截止频率为wn（对π归一化后的值）。 b=fir1(n,wn，’hign’)——设计n阶高通FIR滤波器 b=fir1(n,wn，’low’)——设计n阶低通FIR滤波器

b=fir1(n,wn，’bandpass’)——设计n阶带通FIR滤波器 b=fir1(n,wn，’stop’)——设计n阶带阻FIR滤波器

b=fir1(n,wn，win)——输入参数win用来指定使用的窗函数的类型，其长度为n+1，缺省情况下，默认为汉明窗。

三、实验内容与步骤 以下选做一个

１. 用矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗分别设计低通数字滤波器。信号采样频率为

1000Hz，数字滤波器的截止频率为 100Hz，滤波器的阶数为80。

２.编写MATLAB程序，利用窗函数法设计线性相位FIR低通数字滤波器，实现对模拟信号采样后进行数字低通滤波，对模拟信号的滤波要求如下：

通带截止频率：fp=2kHz;阻带截止频率：fs=3kHz; 阻带最小衰减：αs=40dB; 采样频率：Fs=10kHz

选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)，并画出幅频特性衰减曲线。

3．编写MATLAB程序，利用窗函数法设计一线性相位FIR数字低通滤波器，通带边界频率频率0.6π，阻带边界频率0.7π0, 阻带衰减αs>50dB，通带波纹不大于1dB。

四、实验仪器设备

计算机，MATLAB软件

五、实验注意事项

根据要求独立编程设计。

六、实验结果 选做3

clear;

wp=0.6*pi;%通带边界频率频率0.6π ws=0.7*pi;%阻带边界频率0.7π0 wd=ws-wp;%主瓣宽度 N=ceil(8*pi/wd); wn=(0.6+0.7)*pi/2;

b=fir1(N,wn/pi,hanning(N+1)); freqz(b,1,512);

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8sqt.html