江苏省扬州市新坝中学2013届高三第一次学情调研数学(文)试题

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高三数学学情调研（文科）

2012-10-9

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1．若全集U R，集合M xx2 x 0，则集合 U M=

a 3i2．若复数（a R，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为 ▲ ．

1 2i

3．在平面直接坐标系xOy中，角 的始边与x轴的正半轴重合，终 边在直线y 3x上，且x 0，则sin ▲ ． 4．已知sin(

1

) ,则cos( ) ▲ ． 434

5. ABC中，若 B 30， AB AC，则BC= ▲ ．

x＋2，x≤0

6．函数f(x)＝ ，则不等式f(x)≥x2的解集是 ▲ ．

－x＋2， x＞0

7．若 ∈ ， ，sin2 ＝

4 2

1

，则cos －sin 的值是 ▲ ． 16

antant

A2c

则角A的大小为 ▲ ． ，

Bb

8． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1

nππ9．f(n)＝cos 2＋4，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝ ▲ ．

2x a10．“a 1”是“函数f(x) x在其定义域上为奇函数”的条

2 a

件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

11. 已知直线y kx 1与曲线y x ax b切于点（1, 3），则b的值为 ▲ ．

3

1-cos2 1

则tan( 2 )= ▲ ． =1，tan( - )=-sin cos 3，

13．若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是． 12.已知

14．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为 ▲ ．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

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步骤．

15. (本小题满分14分)

已知全集U R,集合A xx x 6 0，B xx 2x 8 0，

2

2

C xx2 4ax 3a2 0，若CU(A B) C，求实数a的取值范围.

16. (本小题满分14分)

如下图所示，图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象，

图2是函数g(x) loga(x b)的部分图象．

(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)如果函数y g(f(x))在区间 1,m 上单调递减，求m的取值范围。 17．（本题满分14分）

在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C （1）求sinC；（2）当c

2a，且b a.

18． (本小题满分16分)

3. 4

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（2x 已知函数f(x) cos

2

) cos2x(x R) 3

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2） ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()

且a b，试求角B和角C.

19．（本题满分16分）

B2，b 1，c 3，2

如图，直角三角形ABC中，∠B＝90 ，AB＝1，BC

．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A MN，使顶点A 落在边BC上(A 点和B点不重合).设∠AMN＝ ． (1) 用 表示线段AM的长度，并写出 的取值范围； (2) 求线段A N长度的最小值．

20. (本小题满分16分

)

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设函数f(x) x2,g(x) alnx bx(a 0).

（1）若f(1) g(1),f (1) g (1),求F(x) f(x) g(x)的极小值；

（2）在（1）的条件下，是否存在实常数k和m,使得f(x) kx m和g(x) kx m恒成立? 若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由；

参考答案

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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1.； 2. 6；3. （0,1）8.

1； 4. 5. 3 6．[－1,1]

7.

32

1

9. 2 10．充分不必要 11．3 12. 1 13. m≥ 14. 27

23

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤． 15. 解：A x 2 x 3,B xx 4,或x 2，A B xx 4,或x 2 CU(A B) x 4 x 2，而C x(x a)(x 3a) 0 7分 （1）当a 0时，C xa x 3a，显然不成立 9分

（2）当a 0时，C ，不成立 11分

（3）当a 0时，C x3a x a，要使CU(A B) C，只要

3a 4

，即

a 2

4

2 a 。 14分

3

16.解：(1)由题图1得，二次函数f(x)的顶/点坐标为(1,2)，

故可设函数f(x)＝a(x－1)＋2，

又函数f(x)的图象过点(0,0)，故a＝－2， 整理得f(x)＝－2x＋4x.

由题图2得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，

logab＝0， 故有

loga1＋b＝1，

2

2

∴

a＝2，

b＝1，

∴g(x)＝log2(x＋1)(x>－1)．

(2)由(1)得y＝g(f(x))＝log2(－2x＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x＋4x＋1复合而成的函数，

而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立． 2±6由t＝0得x，

2又t的图象的对称轴为x＝1.

26

所以满足条件的m的取值范围为1<m<.

217．（本题满分14分）

2

2

2

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在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C （1）求sinC；（2）当c

2a，且b a. 解：（1）由已知可得1 2sin2C 分

因为在 ABC中，sinC 0，

所以sinC 分

（2）因为c

2a，所以sinA

3

. 4

37

.所以sin2C . ……………… 248

. ………………………………41. ………………………………6分 sinC

2

因为

ABC是锐角三角形，所以cosC ，cosA . ………………8分

所

以

siB n

由

正

s

iAn Asi

Cn

弦

定

C cosA

a

理可得

：

sinA

214

分

，

所

以

a

. …………………………………………14分

说明:用余弦定理也同样给分. 18． (本小题满分16分)

19.解：（1）设MA MA x，则MB 1 x．（2分）

在Rt△MBA 中，cos(180 2 ) ∴MA x

1 x

， （4分） x

11

． （5分）

1 cos2 2sin2

∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，

A 点和B点不重合，∴45 90 ．（7分）

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（2）在△AMN中，∠ANM＝120 ,（8分）

ANMA

,（9分） sin sin(120 )

121＝．（10分）

AN

2sin sin(120 )sin(120 )

sin

1令t 2sin sin(120

) 2sin (sin )＝sin2 cos

2111＝（13分） 2 cos2 sin(2 30 )．222

∵45 90 ， ∴60 2 30 150 ． （14分）

当且仅当2 30 90 ， 60 时，有最大值∴ 60 时，A N有最小值

3，（15分） 2

2．（16分） 3

20．⑴由f(1) g(1),f (1) g (1)，得

b 1,

解得a b 1，

a b 2,

1(x 1)(2x 1) 1 xx

则F(x) f(x) g(x) x2lnx x，F (x) 2x 因为x 0，所以

x

F (x) F(x)

（0，1） －

1 0 极小值

（1，+∞）

+

所以F(x)的极小值为F(1) 0．

2

⑵因为f(x)与g(x)有一个公共点（1，1），而函数f(x) x在点（1，1）处的切线方

程为y 2x 1，下面验证

2

f(x) 2x 1,

都成立即可，

g(x) 2x 1,

2

由x 2x 1≥0，得x≥2x 1，知f(x)≥2x 1恒成立， 设h(x) lnx x (2x 1)，即h(x) lnx x 1,h (x)

11 x 1 ，知其在（0，1）xx

上单调递增，在（1，++∞）上单调递减，所以h(x) lnx x (2x 1)的最大值为h(1) 0，所以lnx x≤2x 1恒成立．

故存在这样的k和m，且k 2,m 1．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8sqm.html