七年级数学竞赛第6讲 高斯函数

七年级数学竞赛第6讲：高斯函数

一、内容提要

1．设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作?x?，?x??x??x?称为x的小数部分；例如：?，2?2?1。 ?3.2??3，?3.2??0.2，??1.3???2，??1.3??0.7，??2??1??2．?x?与?x?具有如下基本性质：

（1）对于任何实数x，有x??x???x?，其中0??x??1。 （2）当?x??0时，x为整数；当x为整数时，?x??0。

（3）当0?x?1时，?x??0；反之，当?x??0时，0?x?1。 （4）对于任何实数x，有?x??x??x??1，x?1??x??x。 3．基本思路是寻求不等关系“n?x?n?1，某个整数n”，确定?x?，进而顺利解决问题。

二、例题精讲：

【例1】（五羊杯竞赛题）若21111?3?4?????15?s，则?s?= 。 223242152

1．（2012年上海新知杯竞赛）把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行，S（n）为前n个之和．求

?S???S???S?????123S2013

?

【例2】（重庆市竞赛题）若?x??5，?x?、?y?、?z?分别表示不超过x、y、z的最大整数，?y???3，?z???2，

则?x?y?z?可以取值的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

1．?x?、?y?、?z?分别表示不超过x、y、z的最大整数，若?x??5，?y???3，?z???1， 求?x?y?z?的值。

2．（第33届美国数学竞赛题）设?x?表示不超过x的最大整数，又设x,y满足方程组

??y?2?x??3，如果x不是整数，那么x?y是（ ） ???y?3?x?2??5A、一个整数 B、在4与5之间 C、在-4与4之间 D、在15与16之间 E、16.5

??2?x??y??23．（山东省竞赛题）设x,y满足方程组?，求?x?y?的值。

??3?x?2??y?16

【例3】（2000全国联赛）正整数n小于100，并且满足等式?????????n，其中?x?

236表示不超过x的最大整数。这样的正整数n有（ ）个。

A、2 B、3 C、12 D、16

1．（2002江苏竞赛）?x?表示不超过x的最大整数，如?3.2??3。已知正整数n小于2002，且??????，

?3??6?2则这样的n有 个。

【例4】（全国初中数学联赛题）解方程：?3x?1??2x?

1．（上海市竞赛题）解方程：?2x???3x??8x?

?n??n??n????????n??n?n1。 27。 2?x??y???z???0.9(1)?【例5】（华罗庚杯少年数学邀请赛试题）已知x,y,z满足??x???y??z?0.2(2)，

?(3)??x??y??z??1.3求x、y、z的值。

三、能力训练：

1．（第17届希望杯）以下四个结论中，正确的是（ ）

A、?a????a??0 B、?a????a??0或1 C?a????a??0 D?a????a??0或?1

2．（2006希望杯）对于数x，符号?x?表示不超过x的最大整数。例如?3.14??3，

??7.59???8，则满足关系式??

3x?7??4的x的整数值有（ ） ??7?A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

3．若规定：?x?表示不大于x的最大整数，如?5??5，??2.4???2；?x?表示大于x的最小整数，如?3??4，

??2.4???2。则使等式2?x???x??15成立的整数x? 。

4．（2004年希望杯）规定?a?表示不超过a的最大整数，当x??1时，代数式2mx3?3nx?6

的值为16，则??2m?n???3??( ) A、?4 B、?3 C、3 D、4

5．（2004年希望杯）设?x?表示不超过x的最大整数，如?3.14??3，??2.7???3，??1?2?2?3?????200?320??0?41002（ ）

A、1001 B、2003 C、2004 D、1002 6．（重庆市竞赛题）若??x?1?100??????x?2??99??100?????????x?100????x?1??356，则x可能 取值为（ ）

A、3.54 B、3.55 C、3.44 D、3.45

7．求小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的正整数的个数。

8．（第19届希望杯）设f(x)?x?1x?1，求?f(2)???f(3)???????f(100)?的值。

9．（第19届五羊杯）解方程：?3.8x???3.8?x?1（x为自然数）。

4??4，则

?10．（重庆市竞赛题）解方程：|x|?2?x??4?x??8?x??16?x??58?0。

??a??n???n?????；其中n为正整数，a为正实数．

11．设P(n)＝??2?????（1）若P(5)＝5，求a的取值范围； （2）求证：P(n)＞a?1

12．从某地区七年级抽取一个班学生的期末考试数学成绩，已知该班有学生49人，成绩xi 是整数，且

1?xi?100（i?1，2，3，?，49），该班学生数学平均分为x，且有唯一的一个众数a，设y?a?x，

试问：当y达到最大值时，?y?的值是多少？（?y?表示不超过y的最大整数）

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