第八章 空间解析几何答案

第八章 空间解析几何答案

第八章 空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算 1.填空题

（1）点(1,1,1)关于xoy面对称的点为（(1,1, 1)），关于yoz面对称的点为（( 1,1,1)），关于xoz面对称的点为（(1, 1,1)）.

（2）点(2, 1,2)关于x轴对称的点为（(2,1, 2)），关于y轴对称的点为（( 2, 1, 2)），关于z轴对称的点为（( 2,1,2)），关于坐标原点对称的点为（( 2,1, 2)）.

2. 已知两点M1(1,1,1)和M2(2,2,1)，计算向量12的模、方向余弦和方向角.

解：因为12 (1,1,0)，故|12| 2，方向余弦为cos

2

2

，cos

2

2

，cos 0，方向角为 4， 4， 2.

3. 在yoz平面上，求与A(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距离的点. 解：设该点为(0,y,z)，则

1 (y 1)2 (z 1)2 4 (y 1)2 (z 2)2 9 (y 3)2 (z 3)2，

即 1 (z 1)2 4 (z 2)2

z 3 4 (y 1)2 (z 2)2 9 (y 3)2 (z 3)

2

，解得 ，则该点 y 3为(0,3,3).

4. 求平行于向量a 2i 3j 4k的单位向量的分解式.

解：所求的向量有两个，一个与a同向，一个与a反向. 因为

|a| 22 32 ( 4)2 29，所以ea

129

(2i 3j 4k).

5.设m i 2j 2k，n 2i j k，求向量a 4m n在各坐标轴上的投影及分向量.

解：因为a 4m n 4(i 2j 2k) (2i j k) 6i 9j 7k， 所以在x轴上的投影为ax 6，分向量为axi 6i，y轴上的投影为

ay 9，分向量为ayj 9j，z轴上的投影为az 7，分向量为azk 7k.

6. 在yOz平面上，求与A(1,2,1)、B(2,1,0)和C(1, 1,1)等距离的点.

第八章 空间解析几何答案

解：设所求的点为P(0,y,z)，由|AM| |BM| |CM|可得

12 (y 2)2 (z 1)2 22 (y 1)2 z

21 z 1 (y 1) (z 1)

，解之得y 22 (y 1)2 2222

2，z 0故所求的点为(0,12

,0).

7. 已知点B(1, 2,6)且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为 4,4,1，求点A的坐标.

解：设点A的坐标为(x,y,z)，由题意可知(1 x, 2 y,6 z) ( 4,4,1)，则x 5,y 6,z 5，即点A的坐标为(5, 6,5).

8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角

形必与原三角形有相同的重心.

证明：若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)是一个 FGH的三个

顶

点

，

设

三

角

形

的

重

心

为

E

，则

E 13(A B C) 1

3

(x1 x2 x3,y1 y2 y3,z1 z2 z3)

设 ABC的同比m

n

之分点分别为F、G、H，分点的坐标为

F(

nx1 mx2n m,ny1 my2nz1 mz2

n m,n m

)

G(

nx2 mx3n m,ny2 my3n m,nz2 mz3

n m

)

H(

nx3 mx1ny3 my1nzn m,n m,3 mz1

n m

)

则三角形 FGH的重心为

1

3(F G H) (nx1 mx2nx2 mx3nx3 mx1n m n m n m

,ny1 my2ny2 my3ny3 my1nz1 mz2nz2 mz3nz3n m n m n m,n m n m mz1

n m)

1

3

(x1 x2 x3,y1 y2 y3,z1 z2 z3). 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积

1.若|a| 3,|b| 4,(a,b)

3

，求c 3a 2b的模.

解：|c|2

(3a 2b) (3a 2b) 3a 3a 2b 3a 3a 2b 2b 2b

9|a|2 12a b 4|b|2 9 32 12 3 4 cos

3

4 42 73

所以|c| 73.

2.已知|a b| |a b|，证明：a b 0.

第八章 空间解析几何答案

证明：由|a b| |a b|，可得|a b|2 |a b|2，可知

(a b) (a b) (a b) (a b)

，展开可得

|a|2 |b|2 2a b |a|2 |b|2 2a b，即4a b 0，故a b 0.

3.已知|a| 10,|b| 18,|a b| 20，求|a b|. 解：因为

400 |a b|2 (a b) (a b) |a|2 |b|2 2a b 100 324 2a b

所以2a b 24，|a b| (a b) (a b)

a|2 |b|2 2a b

324 24 87.

4.已知a (1,2,4)，b (3, 3,3)，求a与b的夹角及a在b上的投影.

解：a b 1 3 2 ( 3) 4 3 9，

cos

9

7 4 16 9 9 9

7

， arccos

7

. 因为

a b |b|Prj9

ba，所以Prjba

33

.

5.已知a,b,c为单位向量，且满足a b c 0，计算a b b c c a. 解：因为(a b c) (a b c) 0，所以

|a|2 |b|2 |c|2 2a b 2b c 2c a 0，

而|a|2 |b|2 |c|2 1，所以a b b c c a

32

. 6.求与a i 2j k,b 2i j 3k都垂直的单位向量. 解：

ijkc a b 12

1

21

1

5j 3k

21 3

1 3

i

12 3

j

1221

k 7i而|c|

( 7)2 52 ( 3)2 ，所以ec

1( 7,5, 3).

7.设 a 5b, 6a 18b, 8(a b)，试证A、B、D三

点共线.

证明：只需证明//.

因为 2a 10b 2(a 5b) 2，所以//.

8.已知a (1, 2,3)，b (2,m,0)，c (9, 3,9) （1）确定m的值，使得a b与c平行.

第八章 空间解析几何答案

（2）确定m的值，使得a b与c垂直.

解：（1）要使a b与c平行，只需(a b) c 0，因为

a b (3,m 2,3)，而

j(a b)

c m 2 (9m 9,0,9 9m)，

3所以当m 1时a b与c平行.

（2）要使a b与c垂直，只需(a b) c 0，因为a b ( 1, m 2,3)，而(a b) c ( 1, m 2,3) (9, 3,9) 9 3m 6 27 3m 24，所以当m 8时，a b与c垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题

（1）将xOz坐标面上的抛物线z2

4x绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（z2 y2

4x），绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程

为（z2 4x2 y2

）.

（2）以点(2, 3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为

（(x 2)2 (y 3)2 (z 2)2 17）.

（3）将xOy坐标面的圆x2 y2 4绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面

的方程为（x2 y2 z2 4）.

2.求与点A(1,2,1)与点B(1,0,2)之比为1:2的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.

解：设动点为P(x,y,z)，由于|PA|:|PB| 1:2，所以

2(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 1)2 (y 0)2 (z 2)2，解

之

，

可

得

3x2 3y2 3z2 6x 16y 4z 19 0

，即

(x 1)2 (y 82203)2 (z 3)2 9，所以所求的动点的轨迹为以点

(1,83,23)为心，半径为23

的球面. 3.求与点(2,1,3)和点(4,2,4)等距离的动点的轨迹. 解：设动点为P(x,y,z)，由题意知

(x 2)2 (y 1)2 (z 3)2 (x 4)2 (y 2)2 (z 4)2，

第八章 空间解析几何答案

整理得2x y z 11 0.

4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）16x2 9y2 9z2 25. 解：该曲面为单叶双曲面. （2）16x2 9y2 9z2 25. 解：该曲面为双叶双曲面.

）

x2 y2（3z2

4 25

1. 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x2 y2 9x. 解：该曲面为双曲柱面. （5）y2 z2 9x. 解：该曲面为椭圆抛物面.

（6）4(x 1)2

(y 2)2

(z 3)2

0. 解：该曲面为椭圆锥面.

§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题

（1）二元一次方程组

y 2x 1

4x 3

在平面解析几何中表示的图形是（两相

y交直线的交点(2,5)）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z轴且过点(2,5,0)）.

（2）旋转抛物面z x2 y2(0 z 2)在xOy面上的投影为

（ z x2 y2

z 2

），在xOz面上的投影为（x2 z 2），在yOz面上的投

影为（y2 z 2）.

2.求球面x2 y2 z2 4与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.

解：将z 1 x代入x2 y2 z2 4，得x2 y2 (1 x)2 4，因此投影方程为

z 0

2x2 2x y2

3

. 3.分别求母线平行于x轴、y轴及z轴且通过曲线 x2 2y2 z2 4

x2 y2 2z2

0

的柱面方程.

第八章 空间解析几何答案

解：在 x2 2y2 z2 422

x2 y2 2z2

0中消去x得3y z 4，即为母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程.

在 x2 2y2 z2

4 y3x2 2

x2 y2 2z2

0

中消去得5z 4，即为母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程.

在 222 x 2y z 422 2z 0

中消去z得x 5y 8，即为母线平行于z轴且 x y2 22

通过曲线的柱面方程.

4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：

（1） (x 1)2 y2 z2 4x 1

.

y 解：将y x 1代入(x 1)2 y2 z2 4得2(x 1)2 z2

4，即

(x 1)2z2(2)2

4

1. 令x 1 2cos ，z 2sin ，所求的参数方程为 x 1 2cos

y 2cos

.

z 2sin （2） x2 y2 z2

9 x2 z2

4

. 解：做变换 x 2cos sin ，将其带入方程x2 y2 z2 92

z 2，即得y 5. 所

x 2以参数方程为

cos y 5（0 2 ）.

z 2sin x 25.求螺旋线

cos y 2sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

z 3 解：螺旋线在xOy面上的投影为

x 2cos

y 2sin ，直角坐标方程为 x2 y2 4.

z 0 z 0螺旋线在yOz面上的投影为

y 2sin

z 3

，直角坐标方程为 z y 2sin

3.

x 0 x 0

第八章 空间解析几何答案

螺旋线在zOx面上的投影为

x 2cos z z 3

，直角坐标方程为 x 2cos

3.

y 0 y 06.画出下列方程所表示的曲线：

（1） x2 y2 4z2 16

z 1

.

22

（2） x z y x2 (y 2)2

1

. x2z2

（3） 4

16 1.

y 4§8.5 平面及其方程 1. 填空题

（1）一平面过点(1,1, 4)且平行于向量a (2,1, 1) 和b (1,0,1)，平面的点法式方程为（(x 1) 3(y 1) (z 4) 0）,平面的一般方程为（x 3y z 2 0）,平面的截距式方程（

xyz2 2 1）,平面的3 2

一个单位法向量为（

11

(1, 3,1)）. （2）设直线L的方程为 A1x B1y C1z D1 0

A2

x B2y C，当（D1 D2 0）

2z D2 0时，直线L过原点；当（A1 A2 0）且（D1 0或D2 0有一个成立）时，直线L平行于x轴但不与x轴相交；当（

B1D1

B

）时，直线L与y2D2

轴相交；当（C1 C2 D1 D2 0）时，直线L与z轴重合. 2.求过三点(1, 1,1)，(3,1, 3)和(0,1,2)的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为

x x1y y1z z1x 1y 1z 1x2 x1y2 y1z2 z1 3 11 1

3 1 x3 x1y3 y1z3 z1

0 11 1

2 1

x 1y 1z 1 2

2 4=0，即5x y 3z 7 0. 1

2

1

3.求过点(1, 1,1)且垂直于两平面x y 2z 0和x 2y 5z 0的平面

第八章 空间解析几何答案

方程.

i

jk

解：该平面的法向量为1

2 i 7j 3k，平面的方程为 2

5

(x 1) 7(y 1) 3(z 1) 0，即x 7y 3z 5 0.

4.求点(1,2,1)到平面x 2y 2z 10 0的距离.

解：点P0 (x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离公式是

d

|ax0 By0 Cz0 D|

A2

B2

C

2

，因此点(1,2,1)到平面x 2y 2z 10 0

的距离为d

|1 1 2 2 2 1 10|

2

22

2

2

1.

5.求平面x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.

解：所给平面的法向量为n (1, 2,1)，设该平面与xOy面、yOz面和zOx面的夹角为 z、 x和 y，于是

cos n k||1 0 2 0 1 1|1

z

||n| 2 ( 2)2 1

2

6， cos |n i||1 1 2 0 1 0|1

x

|n| 2 ( 2)2 12

6， cos |n j|y

|n| |1 0 2 1 1 0|2

2 ( 2)2 1

2

6. 6.求过点(1, 4,5)且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.

解：设所求平面的方程为

xya a y

a

1，由于点(1, 4,5)在平面上，则1a 4a 5a

1，a 2，所求方程为x y z 2 0. 7.分别按下列条件求平面方程：

（1）平行于yOz平面且经过点(2, 3, 2)；

（2）通过y轴和点(2, 1,1)；

（3）求平行于x轴，且经过两点(2,1, 2)和(4,0, 1)的平面方程. 解：（1）yOz平面的法向量是n (1,0,0)，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为1 (x 2) 0 (y 3) 0 (z 2) 0，即x 2. （2）所求平面的法向量即垂直于y轴又垂直于向量n (2, 1,1)，所以所

第八章 空间解析几何答案

i

jk求平面的法向量为2

11 i 2k，因此所求平面的方程为

1

1 (x 2) 0 (y 1) 2 (z 1) 0，即x 2z 0.

（3）由于所求平面平行于x轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将

点(2,1, 2)和(4,0, 1)分别代入By Cz D 0得B 2C D 0及

C D 0，解得C D及B D. 因此所得方程为Dy Dz D 0，

即y z 1 0. §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题

（1）直线xy1

2 z

4

和平面x 2z 4z 4的关系是（平面与直线互相垂直）.

（2）过点(1, 1,0)且与直线

x 32 y 1z 2

1 3

平行的直线的方程是（x 12 y 11 z

3

）. （3）直线x 1 x y1 y 5 2 z 8 6

1与直线 的夹角为（）. 2y z 3

32.化直线

x y z 2

2x y z 5

为对称式方程和参数方程.

i

j

k

解：直线的方向向量为s n1 n2 1

11 2i j 3k. 取211

x0 1，代入直线方程可得y0 1，z0 2. 所以直线的对称式方程为

x 1y 1z 2 1 2

3

. 令x 1 2 y 11 z 2 x 1 2t3 t，所给直线的参数方程为

y 1 t.

z 2 3t

3.求过点(2,0,3)且与直线

x 2y 4z 7

3x 5y 2z 1垂直的平面方程.

解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即

ijk

n n1 n2 1 24 ( 16,14,11).

35 2

所求平面的方程为 16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0，即

16x 14y 11z 1 0.

第八章 空间解析几何答案

4. 求直线 x 3y z 2 0 x y z 2x y z 1 0与直线 0

y 2z 1 0

夹角的余弦.

i

j

k

解：因为两直线的方向向量为n1 3

1 4i 2j 2k，

1 1

ijk

n2 11 1 3i 2j k，设两直线的夹角为 ，则

012cos

|4 3 2 2 2 1|521

42 22 2232 ( 2)2 12

42

. 5. 求点P(2,1,5)在直线L:

x 11 y 13 z

1

上的投影. 解：过P(2,1,5)作垂直于已知直线L的平面 ，则其法向量n (1,3, 1)，于是平面的方程为(x 2) 3(y 1) (z 5) 0，即x 3y z 0.

x 1 t

将已知直线的参数方程

y 1 3t代入x 3y z 0，可得t 4，因

z t

11此点P(2,1,5)在直线L上的投影即为平面 与直线L的交点

(

711, 111,4

11

). 6. 求直线L: 2x 3y z 0

在平面 :2

3x y z 8 0x y z 1上的投影直线

的方程.

解：设所给直线L的平面束方程为2x 3y z (3x y z 8) 0，即

(2 3 )x (3 )y (1 )z 8 0，其中 为待定常数，要使该平

面与已知平面 垂直，则有2(2 3 ) (3 ) (1 ) 0，解得

4

3

，将其代入(2 3 )x (3 )y (1 )z 8 0，可得6x 5y 7z 32，因此直线L在平面 上的投影直线方程为

6x 5y 7z 32

2x y z 1. 7.确定 的值，使直线L:

2x y 1 0

x z 2 0

与平面 :x y z 1平行，

并求直线L与平面 之间的距离.

第八章 空间解析几何答案

i

jk

解：直线L的方向向量n 2

10 i 2j k，要使直线L与平面

101

平行，只要n s 0（其中s (1, , 1)为平面 的法向量），即

1 2 1 0，解得 1. 令x0 1，代入直线L的方程可得y0 1，

z1 1 1 1 1 ( 1)|

3

0 1，直线L与平面 之间的距离d

|2 12 ( 1)2

3

. 8.求通过直线L: x y z 1 0

2x y z 2 0

的两个互相垂直的平面，其中一个平

面平行于直线

x 1y 1z2 1 1

1

. 解：设平面束方程为x y z 1 (2x y z 2) 0，即

(2 1)x ( 1)y ( 1)z 2 1 0，n (2 1, 1, 1).

设平行于直线

x 1y 2 1 1 z 1

1

的平面为 1，由(2 1)2 ( 1) ( 1) 0，可知 1，令x0 1，代入直线L的

方程，可得y0 z0 0平面 1的方程为 (x 1) 2y 0，即

x 2y 1 0. 设垂直于平面 1的平面为 2，由(2 1) 2( 1) 0，可得

1

4

，平面 2的方程为32(x 1) 34y 5

4

z 0，即6x 3y 5z 6 0. 第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：

（1）已知|a| 1，|b| 2，且a与b夹角为

3

，则|a b| （3）.

（2）若向量a (1, 2,1)，b ( 3, , )平行，则( , ) （(6, 3)）. （3）已知向量的模为10，且与x轴的夹角为

6，与y轴的夹角为

3

，与z轴的夹角为锐角，则=（3 , 5, 0 )）.

x acos（4）曲线

y asin (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是

z b （ x2 y2 a2 0

）. z（5）xOy平面上曲线4x2

y2

16绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是

第八章 空间解析几何答案

（4x2 (y2 z2) 16）. （6）直线

x x1 y y1z z1

与平面Ax By Cz D 0的夹角 的正弦sin （

mA nB pCm2

n2

p

2

A2 B2 C

2

）.

（7）方程x2 z2 y所表示的曲面名称为（双曲抛物面）. x 2

（8）与两直线

y 2 t及x 2 y 2 z 1

z 1 t

121都平行，且过原点的平面方程是（x y z 0）.

（9）已知动点P(x,y,z)到yOz平面的距离与点P到点( 1,1,2)的距离相等，则点P的轨迹方程为（(y 1)2 (z 2)2 2x 1 0）.

（10）与两平面x 2y z 1 0和x 2y z 3 0等距离的平面方程为（x 2y z 1 0）.

2. 设a i k，b i j k，求向量c，使得a c b成立，这样的c

有多少个，求其中长度最短的c.

解：设c (x,y,z)，则

jk

a

c 0 1 y (z x) y，则y 1,z x 1，因此这样yz

的c (x,1, 1 x)，有无穷个.

由于|c| x2 1 ( 1 x)2 2(x 13

12)2 2

，因此，当x 2时， 即c (

12,1, 1

2

)长度最短. 3. 已知点A(1,1,0)和点B(0,1,2)，试在x轴上求一点C，使得 ABC的面积最小.

解：设C(x,0,0)，则 ( 1,0,2)，

(x 1, 1,0)，

AB AC 10 2i 2(x 1)j k，故 ABC的面积为

x 1 1S

12|AB AC| 12

22 [2(x 1)]2 1，显然，当x 1时， ABC的

第八章 空间解析几何答案

面积最小，为2

，所求点为(1,0,0).

224. 求曲线 x 2y z2 4

在各坐标平面上的投影曲线方程. z x2 y

2

2x2 y2解：在xOy平面投影为 4

z 0

；在yOz平面投影为

2z2 3y2 4 3x20；在zOx平面投影为 z2 4

x . y 0

5.求原点关于平面 :Ax By Cz D 0的对称点的坐标.

解：过原点作垂直于平面Ax By Cz D 0的直线，该直线的方向向

量等于平面 的法向量(A,B,C)，所求直线的对称式方程为

x x At

A yB zC，即

y Bt为其参数方程. 将此参数方程代入平面 ，有 z Ct

(A2 B2 C2)t D 0，解得t D

A2

B2 C

2

，即直线与平面的交点为( AD BDA2

B2 C2,A2 B2 C2, CD

A2 B2 C2

). 设所求的对称点为(x0 0y00,y0,z0)，则

x2 AD 0 BD

A2 B2 C2，2 A2 B2 C

2

，z0 02 CD

A2

B2 C2，

即

所

求

的

对

称

点

为

(

2AD 2BD 2CD

A2 B2 C2,A2 B2 C2,A2 B2 C

2

). 6.求直线L:x 11 y1 z 1

1

在平面 :x y 2z 1 0上的投影直线绕x轴线转一周所成曲面的方程.

解：过L作垂直于平面 的平面 0，所求的直线L在平面 上的投影就是平面 和 0的交线. 平面 0的法向量为：

i

jk

n0 2

1 i 3j 2k，则过点(1,0,1)的平面 0的方程为： 1

2

(x 1) 3y 2(z 1) 0，即x 3y 2z 1 0. 所以投影线为

x y 2z 1 0

x 3y 2z 1 0

. 将投影线表示为以x为参数的形式：

第八章 空间解析几何答案

y x 2，则绕x轴的旋转面的方

z 1x程为2(2 1)

y2 z2 (x2)2 [ 12(x

2

1)]2，即5x2 4x 16y2 16z2 4 0.

7.求球心在直线x 21 y2 z 1

1

上，且过点(1,2, 1)和点( 1, 2,1)的球面方程.

解：设球心为(x,y,z)，则

(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2，即

x 2y z 0.

x 2 t又因为球心在直线上，直线的参数方程为

y 2t，将直线的参数方程

z 1 t代入x 2y z 0，可得t

111 16，球心坐标为(6,

3,7

6

)，所求球面方程为(x 116)2 (y 127265

3) (z 6) 6

.

8.已知两条直线的方程是Lx 1y 21:1 2 z 4

1

，L 22 y 12:

x0 z

1

，求过L1且平行于L2的平面方程. 解：因为所求平面过L1，所以点(1, 2,4)在平面上. 由于平面的法向量垂

i

jk直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为1

2 2i 3j 4k.

20

1

因此所求平面的方程为2(x 1) 3(y 2) 4(z 4) 0，即

2x 3y 4z 8 0.

9. 在过直线

x y z 1 0

2x y z 0

的所有平面中，求和原点距离最大的平面. 解：设平面束方程为x y z 1 (2x y z) 0，即

(2 1)x ( 1)y ( 1)z 1 0，平面与原点的距离为

d

|(2 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 1|

1(2 1)2

( 1)2

( 1)

2

6( 21

3)2

3

要使平面与原点的距离最大，只要

2

3

，即该平面方程为x y z 3 0.

第八章 空间解析几何答案

10. 设两个平面的方程为2x y z 5 0和x y 2z 6 0 （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为n1 (2, 1, 1)和n2 (1,1, 2)，设两个平面的夹角为 ，则

cos

|n1 n2||2 1 1 1 ( 1|n ) ( 2)|22 ( 1)2 122 12 ( 2)2 1

2

，

1||n2|所以

3

.

（2）因为角平分面上任意一点(x,y,z)到两个平面的距离相等，由点到平

面的距离公式，可得

|2x y z 5|x y 2z 6|22

( 1)2

( 1)

2

|2

12

( 2)

2

，即

2x y z 5 (x y 2z 6)

，所求的角平分面方程为

x 2y z 1或3x 3z 11.

（3）设通过两个平面的交线的平面方程为

2x y z 5 (x y 2z 6) 0

，即(2 )x ( 1)y (2 1)z 5 6 ) 0，由于该平面垂直于yOz坐

标面，所以(2 ) 1 ( 1) 0 (2 1) 0 0，可得 2，因此所求的平面方程为3y 3z 7 0. 11. 求直线

x1 y 2 z

3

绕z轴旋转所得旋转曲面的方程. x x(t)

解：由于空间曲线

y y(t)( t )绕z轴旋转所得旋转曲面的方

z z(t)程为

x2 y2 x(t)2 y(t)2

)

( t )，消去参数 z z(tt即可. x 此直线的参数方程为

t y 2t，故该直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方

z 3t程为 x2 y2 (t)2 ( 2t)2

z 3t

，消去参数t，旋转曲面的方程为

x2 y2

59

z2. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：

第八章 空间解析几何答案

（1）3x 4y 6z 12,x 0,y 0,z 0. （2）2z x2 y2,z 2. （3）z （4）z

x2 y2,z 4 x2 y2. 2 x2 y2,z x2 y2.

2

（5）z x2 2y2，z 2 x. （6）y x2，z 0，z y，y 1.

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