第2章2.1.1~2.1.3知能优化训练

[学生用书 P35]

1．下列几个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②相等向量一定是平行向量；③共线向量一定在同一直线上．其中，真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.只有②正确．

2．下列结论中，正确的是( ) A．零向量只有大小没有方向

B．若a、b都是单位向量，则a＝b C．对任一向量a，|a|>0总是成立的

→→D．|AB|＝|BA|

解析：选D.对A，零向量有方向，且方向是任意的，故A不正确． 对B，有|a|＝|b|＝1，但a与b的方向未必一致，故B不正确． 对C，∵|0|＝0，∴C不正确．

→→

对D，|AB|、|BA|分别与线段AB、BA的长度相等，且AB＝BA，所以D正确．

3．把平面上所有单位向量都归到一共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )

A．一条线段 B．一个圆面 C．一个圆 D．圆上一群孤立的点 解析：选C.平面上的单位向量有无数个，当把这些向量起点集中到一起时，长度都为1，故终点组成圆．故正确答案为C.

4.

如图所示，已知边长为a的等边三角形ABC中，H为边AB的中点，→

则|CH|＝__________.

→

解析：|CH|即为AB边上的高CH的长度．

3答案：a

2

1．下列说法错误的是( )

A．a与b平行，则a与b的方向相同或相反 B．两个相等向量的起点相同，则其终点必相同 C．零向量与数字0的大小都是0

D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析：选A.只有a、b均为非零向量时才正确． 2.

→→→

如图所示，向量OB，OC，AO是( ) A．有相同起点的向量 B．有公共点的向量 C．模相等的向量 D．相等的向量

解析：选C.向量的模都等于半径．

→→

3．已知向量a、b是两个非零向量，AO、BO分别是与a、b同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )

→→→→→→A.AO＝BO B.AO＝BO或AO＝－BO →→→C.AO＝1 D．|AO|＝|BO|

→→→→

解析：选D.AO、BO是单位向量，∴|AO|＝|BO|＝1. 4．下列命题中正确的是( ) A．|a|＝|b|?a＝b B．|a|>|b|?a>b C．a＝b?a∥b D．|a|＝0?a＝0

解析：选C.A中，a与b方向不定．B中，a与b不能比较大小．D中，a与0两者意义不同．只有C正确．

5．下列结论中，不正确的是( )

→→→→

A．向量AB、CD共线与向量AB∥CD意义是相同的

→→→→B．若AB＝CD，则AB∥CD

C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b

→→→→

D．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC 答案：C 6.

如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )

→→A．|AB|＝|EF| →→

B.AB与FH共线 →→C.BD＝EH →→

D.DC与EC共线

解析：选C.BD与EH不一定平行，也不一定相等．

→→→→

7．若|AB|＝|AD|，且DC＝AB，则四边形ABCD的形状为①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④等腰梯形

判定不正确的是__________．

→→→→

解析：由AB＝DC，得四边形ABCD为平行四边形．又由|AB|＝|AD|，得?ABCD为菱形． 答案：③④ 8.

→

如图所示，E、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，则与向量EF共线的向量有__________．

解析：∵E、F分别为三角形对应边的中点，∴EF∥BC，

→→→

∴适合条件的向量为FE，BC，CB.

→→→

答案：FE，BC，CB

9．下列结论中，正确的是__________．

①2011 cm长的有向线段不可能表示单位向量；

→

②若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、→

OB是单位向量；

③方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量；

→

④一人从点A向东走500米到达点B，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移．

解析：一个单位长度取作2011 cm时，2011 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故①错；易知②正确；③中两向量是平行向量，故③错；④中可以表示，故④也错误．

答案：② 10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km后到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

(1)作出向量AB、BC、CD； (2)求|AD|. 解：(1)

向量AB、BC、CD如图所示：

(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线． 又|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AD＝BC，

∴|AD|＝|BC|＝200 km. 11.

如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

(1)分别写出与AO、BO相等的向量； (2)写出与AO共线的向量； (3)写出模与AO的模相等的向量； (4)向量AO与CO是否相等？

解：(1)与AO相等的向量是BF，与BO相等的向量是AE. (2)与AO共线的向量是BF、CO、DE.

(3)与AO的模相等的向量是BO、CO、DO、AE、DE、BF、CF.

→→→→

(4)AO与CO不相等．因为AO与CO的方向相反．

12．A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么

→→

条件时，向量OC与AB共线(其中O为坐标原点)?

解：由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)， 所以∠BAO＝45°.

→

当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，OC＝0，

→→

这时OC与AB共线(零向量与任意的向量都共线)；

当xy≠0，且x＝y，即点C在一、三象限的角平分线上时，

→→

有AB∥OC，这时OC与AB共线．

→→

综上，当x＝y时，OC与AB共线．

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

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