北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；

B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}：则

（1）A?B? ，（2）AB? ，（3）AB? ， （4）A?B= ，（5）AB= 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则

(1) P(AB)? , (2)(P(AB))= , (3)P(A?B)= . 2. 已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3, 则P(AB)= .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2, 则P(A?B)? 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个

签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随

机地取一个球，求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）

该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A B L R C D

2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1：（1）S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}； （2）S?{0,1,2：（1）A?{1,2,3}

3,5}B?{3,4,5,6}；

（2）A?{正正，正反},B?{正正，反反},C?{正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC；(2) ABC；(3) ABC；(4)A?B?C；(5) AB?AC?BC；

(6) AB?AC?BC 或 ABC?ABC?ABC?ABC；

2： (1)A?B?{x:1?x?4}；(2)AB?{x:2?x?3}；(3)AB?{x:3?x?4}；

（4）A?B?{x:0?x?1或2?x?5} ；（5）AB?{x:1?x?4}。

§1 .3 1： (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(A?B) = 0.7. 2：P(AB))=0.4. §1 .4 1：(1)C8C22/C30,(2)(（C22?C8C22?C8C22）/C30,(3)1-(C22?C8C22）/C30.

2： P4/4.

§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。 §1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10

设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)

33281010192810101910 =

21822???? 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；

§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

?p2?p2?p4?2p2?p4

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律.

2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。

§2.2 0?1分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6

（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.4 随机变量的分布函数

x??1?0?1设随机变量X的分布函数是： F(x) = ?0.5?1?x?1

?1x?1?（1）求 P(X≤0 )； P?0?X?1?；P(X≥1)，(2) 写出X的分布律。

?Ax?2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = ?1?x??0x?0x?0, 求（1）常数A, (2) P?1?X?2?.

§2.5 连续型随机变量

?kx0?x?1X1 设连续型随机变量的密度函数为：f(x)??

0其他?（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，

（3）用二种方法计算 P(- 0.5

x?1?0?2 设连续型随机变量x?0的分布函数为：F(x) = ?lnx1?x?e

?1x?e?(1)求X的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4x+ 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从??0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

2§2.7 正态分布

1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (2) 确定c，使得 P(X>c) = P(X

2 某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120

§2.8 随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y = 2X – 1, 求随机变量X的分布律。 2设随机变量X的密度函数为：f(x)???2(1?x)0?x?1，

其他?0Y?X2；求随机变量Y的密度函数。

3. 设随机变量X服从（0， 1）上的均匀分布，Y??2lnX ，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 2： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X≥1) = 0.981684,

(3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× (e?2?2e?2?2e?2)= 2e?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)

= 0.4×5e + 0.6×（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

?217?3e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2P(X?2,Y?2)0.27067??0.516

P(Y?2)0.52458§2.3 1： 设X表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),

(1) P( X = 2 ) = C50.60.4223 (2) P(X ≥3 ) = C50.60.4?C50.60.4?0.6

332445

4 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C50.640.4?0.65 (4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4

52： 至少必须进行11次独立射击.

§2.4 1：（1）P(X≤0 )=0.5； P ?0?X?1? = 0.5；P(X≥1) = 0.5，

(2) X的分布律为： X -1 1 P 0.5 0.5 2： (1) A = 1, (2) P?1?X?2? =1/6

?0?2§2.5 1：（1）k?2，（2）F(x)??x?1?（3）P(- 0.5

x?00?x?1； x?100.5?0.50?0.5?0.5f(x)dx??0dx??2xdx?1； 4 或= F(0,5) – F(-0.5) =

11?0?。 44?1/x1?x?e 2： （1）f(x)?? （2）P(X?2)?1?ln2

0其他?§2.6 1： 3/5 2： (1)e?2(2)e?2?e?4

§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：σ≤31.25。

§2.8 1： Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 ?1?1?y/2(1?y)0?y?1??e2： fY(y)??y， 3： fY(y)??2?0?其他?0?

y?0； y?0

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球

个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)P(X?1)?0.6； 1 0.1 b 0.2 (2)P(X?1|Y?2)?0.5； (3)设F(x)是Y的分布函数，F(1.5)?0.5。

§3.2 二维连续型随机变量

1. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)???k(x?y)0?x?1,0?y?1

0其他?求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 2．(X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)???kxy0?x?1,0?y?x

其他?0求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

f(x,y)?1?2(1?x2)(1?y2)???x???,???y???

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

?e?x f(x,y)???00?y?x

其他§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18 (1) P(Y?1)?1/3； 2 a b 1/9 (2) P(X?1|Y?2)?0.5； （3）已知X与Y相互独立。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立？

2?cxy0?x?1,0?y?1 f(x,y)??

其他?0

*§3.5 多个随机变量的函数的分布 *§3.6 几种特殊随机变量函数的分布 第3章作业答案 §3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3

1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2

2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1

0.7 0.3 1

§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1： fX(x)?12dy?????2(1?x2)(1?y2)?(1?x2)?????x???；

fY(y)??12dx????2(1?x2)(1?y2)?(1?y2)?????y???；

?xe?x 2： fX(x)???0?e?yx?0； fY(y)??x?0?0y?0； y?0§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

2： c = 6, X与Y相互独立。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.

?3x22?x?41?2. 设X有密度函数：f(x)??8 , 求E(X),E(2X?1),E(2),并求

其他X?0?X大于数学期望E(X)的概率。

3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

已知E(XY)?0.65， 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是： 1 0.1 b 0.2 （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。 4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY?1)。

f(x,y)??

?xy0?x?1,0?y?2 他?0其§4.2 数学期望的性质

1．设X有分布律： X 0 1 2 3 则E(X?2X?3)是：

2 p 0.1 0.2 0.3 0.4

（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.

?5?yx2?y?12. 设(X,Y)有f(x,y)??4，试验证 E(XY)?E(X)E(Y)，但X与Y不

?其他?0相互独立。

§4.3 方差

1．丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,DX.

0?x?2?(x?1)/42．X有密度函数：f(x)?? ，求 D(X).

其他0?§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差

1． 设X~?(2),Y~B(3,0.6),相互独立，则E(X?2Y),D(X?2Y)的值分别是：

（A）-1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88. 2. 设X~U(a,b),Y~N(4,3)，X与Y有相同的期望和方差，求a,b的值。

（A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.

§4.5 协方差与相关系数

1．随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数?XY，

X Y －1 0 1 . 0 0.2 0.1 0 1 0.1 0.3 0.3 2．设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数?XY， f(x,y)???x?y0?x?1,0?y?1

其他?0§4.6 独立性与不相关性 矩

1．下列结论不正确的是（ ）

（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关； （B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；

（C）E(XY)?E(X)E(Y)，则X与Y相互独立； （D）f(x,y)?fX(x)fY(y)，则X与Y不相关；

(X,Y)?0，则不正确的是（ ） 2．若 COV（A）E(XY)?E(X)E(Y)；（B）E(X?Y)?E(X)?E(Y)；

（C）D(XY)?D(X)D(Y)；（D）D(X?Y)?D(X)?D(Y)； 3．（X,Y）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y －1 0 1 . －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4．E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y不相关的（ ）

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 5. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的（ ）

（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。

?21x2y/4x2?y?1 f(x,y)??

其他?0第4章作业答案

§4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；

§4.2 1： D；

§4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36； §4.4 1：A； 2： B；

§4.5 1：0.2， 0.355； 2：－1/144, －1/11；

§4.6 1：C； 2：C； 3：X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4：C；5：A；

第5章 极限定理

*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理

1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在

用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。 2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本

2均值X= ，样本均方差S? ，样本方差S? 。

2．设总体方差为b有样本X1,X2,?,Xn，样本均值为X，则Cov(X1,X)? 。

2§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9= ，2 ?0.1(5)= ，t0.9(10)= 。

2．设X1,X2,?,Xn是总体?2(m)的样本，求E(X),D(X)。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1．设总体X~N(?,?2)，样本X1,X2,?,Xn，样本均值X，样本方差S，则

2X???/n1n~ ，

X??~ ，

S/n1?2?(Xi?1i?X)～ ，

2?2?(Xi?1ni??)2～ ，

*§6.4 二个正态总体的三个统计量的分布

第6章作业答案

§6.1 1．x?1.57,s?0.254,s2?0.0646； 2. Cov(X1,X)?b2/n；

D(X)?2m/n；

§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．E(X)?m,§6.3 1.N(0,1),t(n?1),

?2(n?1),?2(n)；

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

???x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0知参数? 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?)，为估计?的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6

量数： 9 5 3 7 4 试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。

??10?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求未

§7.2 极大似然估计

??(??1)x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0未知参数? 的极大似然估计。

?0?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求

§7.3 估计量的评价标准

??2X?1是a 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布，有样本X1,X2,?,Xn，证明a的无偏估计。

2.设总体X～?(?)，有样本X1,X2,?,Xn，证明aX?(1?a)S2是参数?的无偏估计（0?a?1）。

§7.4 参数的区间估计

1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度X~N(?,?2),抽取9根纤维，测

量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求?的置信度为0.95的置信区间，（1）若?2?0.0482,（2）若?2未知。

2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x?12.075㎜，

s = 0.0494㎜, 设另件长度X~N(?,?),取置信度为0.95，（1）求?的置信区间，（2）求?的置信区间。

22*§7.5 二个正态总体的参数的区间估计

*§7.6 区间估计的二种特殊情形 第7章作业答案

§7.1 1：(X2)； 2： 5， 4.97； 1?Xn?1)2；

i§7.2 1：(?lnXi?1n§7.3

§7.4 1：（1.377，1.439），（1.346，1.454）； 2：（0.0013，0.0058）；(0.036, 0.076)；

第8章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念

,1. 某种电子元件的阻值（欧姆）X~N(1000400),随机抽取25个元件，测得平均电

阻值x?992，试在??0.1下检验电阻值的期望?是否符合要求？

22. 在上题中若?未知，而25个元件的均方差s?25，则需如何检验，结论是什么？

§8.2 假设检验的说明

1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标X~N(?,64),品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验H0:???0，H1:???0；n?16，当X与?0的绝对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。

§8.3 一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为??3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一

定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为x?3808毫升，设方差为?验肺活量均值的提高是否显著（取??0.02）？

2?1202，试检

*§8.4 二个正态总体下参数的假设检验 *§8.5 假设检验的三种特殊情形 第8章作业答案

§8.1 1：拒绝H0:??1000； 2： 接受H0:??1000； §8.2 1：0.1； §8.3 1：拒绝H0；

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