中国股票市场收益率分布特征探索

股票预测

第２１卷　第４期２００７年７月湖南工业大学学报Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ．２１　Ｎｏ．４Ｊｕｌｙ２００７

中国股票市场收益率分布特征探索

邝志飞，唐邵玲

（湖南师范大学　数学与计算机科学学院，湖南　长沙　４１００８１）

摘要：介绍了正态分布和分形分布的主要特征，借助分形理论对中国股票市场的收益序列进行了实证研

究，估计出分形分布的参数，绘制了分形分布的密度曲线，并对其进行了检验。实证结果表明，分形分布能较好地拟合中国股票的收益率曲线。

关键词：收益率；分布函数；分形分布；正态分布

中图分类号：Ｆ８３０．９１　　　　　　　　　　　　　　文献标识码：Ａ　　　　　　　　　　　　　文章编号：１６７３－９８３３（２００７）０４－０１００－０５

Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　Ｒｅｔｕｒｎ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｔｏｃｋ　Ｍａｒｋｅｔ

Ｋｕａｎｇ　Ｚｈｉｆｅｉ，Ｔａｎｇ　Ｓｈａｏｌｉｎｇ

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００８１，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．　Ｉｔ　ｄｒａｗｓ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｃｕｒｖｅｏｆ　ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｒｅｔｕｒｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ　ｂｙ　ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ　ｆｒａｃｔａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｏｆ　ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．　Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｒｅｔｕｒｎ　ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ　ｉｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｒａｔｈｅｒ　ｔｈａｎ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｅｔｕｒｎ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

０引言

金融资产收益率的分布假设是现代金融理论和金

１正态分布的特征及应用[1]

正态分布假设观点始于法国数学家Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ

融市场风险分析的重要前提，通常假设金融资产收益率服从正态分布，而实际金融数据并非如此，往往具有尖峰胖尾等特性。在对股市收益率分布函数的分析中，通常有２种不同的思路：其一是分析价格的形成机制，即分析导致股价产生变动的原因，如剖析信息的到达、交易量与交易行为对价格变动的影响，然后再寻找一个合适的分布函数来描述经验数据；另一种方法是通过直接对经验数据进行分析，如研究收益率数据的基本数字特征（如尖峰、厚尾、非对称性与稳定性等数据的经验规律），从而根据数据的这些经验特征拟合分布。虽然２种分析思路各有侧重，但所得的结论在某种程度上是一致的。本文采用第二种方式研究收益率的分布函数。

（１９００），他在确定标的资产价格变动规律的过程中，发现资产价格的无条件分布为正态分布；Ｋｅｎｄａｌｌ（１９５３）对英国股市价格数据进行研究，认为股票价格的变化近似服从正态分布；Ｏｓｂｏｒｎｅ（１９５９）对美国股市的收益率数据进行了研究，认为用几何布朗运动来描述股价的变动是合适的。由Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ提出，经Ｏｓｂｏｒｎｅ完善的描述股票收益率行为的正态分布模型的基本理论假设是：１）对每一只股票而言，从一笔交易到另一笔交易，其价格的变化是独立同分布的随机变量；２）交易在时间上是均匀分布的，并且交易之间的价格变化有有限方差；３）在所分析的时间区间上，发生交易的数量是较大的。然而，只有在收益率的考察标度区间较大时，正态分布的假设才成立。当时间

收稿日期：２００７－０４－２７

作者简介：邝志飞（１９７１－），女，湖南永兴人，湖南师范大学硕士研究生，主要研究方向为金融统计；唐邵玲（１９６３－），女，湖南邵阳人，湖南师范大学副教授，主要研究方向为金融统计．

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第４期邝志飞，唐邵玲　中国股票市场收益率分布特征探索１０１

区间很小时，收益率的分布密度函数在尾部呈厚尾特征。从最早的Ｂ．　Ｂ．　Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ和Ｆａｍａ，到最近的Ｈｉｓｈ和Ａｎｄｅｒｓｏｎ的研究均表明，股票市场及其它金融资产收益率表现为非正态分布特性，用正态分布来描述往往效果很差。虽然基于正态分布假设的有效市场理论，因其科学、严谨、简洁而最终成为现代金融经济学的支柱理论之一，但有效市场理论在解释实际金融现象时遇到了很多问题，如日历效应、规模效应、股

［２］权溢价之谜、封闭式基金之谜。

于财富的杠杆效应。我们之所以称其为分形分布，是因为它是一个具有统计自相似性的概率密度函数，也就是说，在不同的时间增量下，统计特征保持相同。分形分布得到广泛应用的原因至少有以下几方面：

１）大量研究表明很多的随机变量服从非正态的分形分布；

２）广义中心极限定理表明，对独立同分布随机变量的和进行适当的标准化处理后，如果极限分布存在，则此分布一定属于分形分布族；

３）由于许多大型数据集具有胖尾、尖峰特征，用正态分布描述效果不好，而用分形分布去逼近却可以取得比较理想的效果。

分形理论创始人Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ早在２０世纪６０年代就研究了棉花价格的变动，导致经济系统中自相似性的发现和阐述，价格每一次特定的变化是随机的和不能预言的，但成串的变化又是与时间标度无关的，价格的日变化和月变化曲线非常相似，发现资本市场收益率曲线不符合正态分布，而是服从分形分布，这种分布在均值处有高峰，也有胖尾，其特点是“方差”无穷大，倾向于有趋势和循环，同时也有突然的和不连续的变化。但分形分布的密度函数没有一个统一的解析表达式，它的特征函数为：

；

。

２

２．１

分形分布

分形分布的特征函数及参数[3]

实际金融数据往往具有尖峰厚尾特性，而分形分

布能很好地刻划数据的尖峰厚尾特征。在经济文献中，分形分布（ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）又称为Ｐａｒｅｔｏ分布

［４］

、Ｐａｒｅｔｏ－ｌｅｖｙ分布或Ｓｔａｂｌｅ－Ｐａｒｅｔｉａｎ分布。该分布的性

质最早是由　Ｌｅｖｙ（１９３７）推导出来的，而他的工作又是以　Ｐａｒｅｔｏ（１８９７）有关收入分布的研究工作为基础的。Ｐａｒｅｔｏ发现，占个人收入９７％的收入分布接近对数正态分布，但对于其余３％的收入被发现迅速增加，且服从逆幂规律，从而产生胖尾特征。产生的原因在

其中：Ｘ是随机变量；ｔ是任意实数；ｉ是虚数单位。

分形分布的特征函数由４个参数决定，即α，β，δ，γ。α，β是２个关键参数，４个参数的不同组合产生不同的分形分布形式。各参数的取值范围及意义说明如下：

１）参数α称为分形分布的特征指数，０＜α≤２，它不仅刻画了分布的尖峰、肥尾特征，即分布在尾部极端取值的概率以及密度函数的高度，同时它也决定该分布的矩、随机变量和的分布及其标准化特征。当α＝２时，分形分布就是正态分布；当０＜α＜２时，分形分布相对正态分布就有更厚的尾部，且α的值越小，分布在尾部取极端值的概率越大。同时，对于该分布只有当α＝２时，才有有限的方差；只有当α＞１时，均值才存在。

２）参数β称为偏度指数，－１≤β≤１。当β＝　０时，分形分布关于δ对称；当β＞０时，分布右偏；当β＜０时分布左偏。β的绝对值越大，偏斜的程度越大。

３）参数δ是分布的位置参数，δ∈（－∞，＋∞）。当特征参数α＞１时，δ是分布的均值；当α≤１时，分布没有均值。δ表示分形分布的中心位置，当分形分

布被标准化时，δ表示均值且为０。

４）模参数γ∈（０，＋∞），控制分形分布曲线的宽度。当γ越大时，分形分布越宽，反之，分形分布则越窄。当α＝２，分布退化为正态分布时，γ是正态分布的标准差；当α＜２时，分形分布的方差不存在，γ不代表方差。２．２

分形分布的基本性质［５］１）矩特性

胖尾特性产生的结果之一就是——

不是所有的矩都存在。在多数统计问题中，一阶矩（均值）Ｅ（Ｘ）和二阶矩（方差）Ｖａｒ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－（Ｅ（Ｘ））２常被用来描述统计分布。然而，对于胖尾分布来说，这些不是普遍有用，因为这些表达式是发散的。当０＜α＜２时，对于任意ｐ∈［０，α］，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ是有限的，但是对于ｐ≥α，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ＝＋∞。因此，当０＜α＜２时，Ｅ｜Ｘ｜Ｐ　＝＋∞，这时分形分布就没有有限的二阶矩或方差；当１＜α≤２，Ｅ｜Ｘ｜＜＋∞，并且ＥＸ＝δ１＝δ０－βγ

０

２）稳定性

。

Ｌｅｖｙ（１９３７）指出，如果对于所有

的ｂ１、ｂ２＞０时，Ｆ（ｘ）满足下列关系式：

Ｆ（ｘ／ｂ１）　Ｆ（ｘ／ｂ２）＝Ｆ（ｘ／ｂ

），

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１０２湖南工业大学　学　报２００７年

或者分布函数的特征函数有类似的关系式：

ｆ　（ｂ１ｕ）　ｆ　（ｂ２ｕ）　＝　ｆ　（ｂｕ），

则Ｆ（ｘ）是稳定的。这表明Ｆ（ｘ／ｂ１）、Ｆ（ｘ／ｂ２）、Ｆ（ｘ／ｂ）具有相同的形式，只是尺度不同而已。应用这一关系式到分形分布，就有关系式：

。

式中：０＜α＜２是一个指数；

　　Ｃ为常数。

３

３．１

实证研究

样本与数据说明

我国从１９９０年１２月１９日上海证券交易所成立，开

始股票的集中交易至今，也就１０多年的历史，期间交易与管理制度经多次调整，特别是１９９６年１２月１６日，沪深股市实行涨跌停板制度，对股票收益有较大的影响，徐绪松、陈彦斌（２００１）认为这之后中国股市更趋于理性。因此，本文选取的数据样本取自１９９７年１月２日￣２００６年１２月３１日的上证指数和深证成指的日收盘价，共计２　４０１个数据，分别为上证指数、深证成指周收盘价以及月收盘价。在计算过程中，股票市场每日收益率以相邻营业日股指收盘价对数的一阶差分表示，即

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第４期邝志飞，唐邵玲　中国股票市场收益率分布特征探索１０３

些事实表明，股票的收益率分布不是正态分布，而是具有尖峰、厚尾的特征（图３、４），这一结论与国内的其它研究结果一致。

图３深市日收益率序列

　Ｆｉｇ．　３Ｄａｉｌｙ　ｒｅｔｕｒｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｎ　Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ

图１沪市日收益率序列Ｑ－Ｑ正态图Ｆｉｇ．　１Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　Ｑｕａｎｔｉｌｅ－Ｑｕａｎｔｉｌｅ　ｏｎ　ｄａｉｌｙ

ｒｅｔｕｒｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｎ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ

图４

图２

深市日收益率序列Ｑ－Ｑ正态图

沪市日收益率序列

Ｆｉｇ．　４Ｄａｉｌｙ　ｒｅｔｕｒｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｎ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ

Ｆｉｇ．　２Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　Ｑｕａｎｔｉｌｅ－Ｑｕａｎｔｉｌｅ　ｏｎ　ｄａｉｌｙ

ｒｅｔｕｒｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｉｎ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ

２）分形分布的参数估计［４，６－８］

表２列出了上证指数、深证成指的日收益、周收益的分形分布的参数估计值。

表２

上证指数、深证成指的日收益、周收益的分形分布的参数估计Ｔａｂｌｅ　２Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｏｎ　ｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

α１．５００　３５９２．０００　０１．７９７　９９５２．０００　０１．５５８　４１６２．０００　０１．５４８　８８２２．０００　０

β

－０．０６９　３６３０．０００　００．２７４　７４７０．０００　０－０．１２０　４０５０．０００　０－０．１５２　８９７０．０００　０

γ

０．７５７　１７１ｅ－０２０．１０６　７９３ｅ－０２０．１８８　２１４ｅ－０１０．２１８　３５５ｅ－０１０．８４８　３５７ｅ－０２０．１１７　１４９ｅ－０１０．２０１　４６４ｅ－０１０．２４７　３５０ｅ－０１

δ

－０．１８４３５５ｅ－０３－０．４４５　０５３ｅ－０３－０．２５１１４０ｅ－０２－０．２１９　７４２ｅ－０２０．２２３　６８８ｅ－０３－０．２９４　７４２ｅ－０３０．８８９　９０５ｅ－０３－０．１４６　１３２ｅ－０２

序　　　　列上证指数日收益

分　　　　布分形分布正态分布分形分布正态分布分形分布正态分布分形分布正态分布

上证指数周收益

深证成指日收益

深证成指周收益

由表２可以看出上证指数、深证成指的日收益率与周收益率的特征指数均在１．０￣２．０之间，表明上证指数、深证成指收益分布比正态分布更尖峰和更胖尾，分布的均值存在，但是分布的二阶矩却不存在或无穷。上证日收益，深证日、周收益的偏斜指数β＜０，表明上证日收益，深证日、周收益序列均为右偏；上证周收益序列左偏。深证日收益、周收益的特征指数相差不大，说明两者在一定程度上相似。上证指数的

日收益比周收益更具尖峰胖尾性，从而具有更强的长期记忆性。

３）分形分布、正态分布的拟合及检验。笔者利用ｍａｔｌａｂ编写程序，绘制了上证指数、深证成指的日收益的实际分布图、拟合的正态密度曲线和分形分布密度曲线来进行对比，如图５、６所示。从图中可清楚看到，分形分布密度曲线能较好地拟合实际股票收益率

序列，比正态分布密度曲线的拟合效果好。

股票预测

１０４湖南工业大学　学　报２００７年

图５上证指数日收益率

Ｆｉｇ．　５Ｄａｉｌｙ　ｒｅｔｕｒｎ　ｏｎ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ

图６深圳成指日收益率

Ｆｉｇ．　６

Ｄａｉｌｙ　ｒｅｔｕｒｎ　ｏｎ　Ｓｈｅｎｚｈｅｎ

利用ｐｐ图方法，对分形分布和正态分布的拟合效果进行检验，检验结果如图７、８所示。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8rw1.html