2018年北京各区高三上期末理科数学汇编--立体几何

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---立体几何

1.（西城）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．36

2. （西城）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?平面AA1C1C，AA1?AB?AC?2，?A1AC?60?.

过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F. （Ⅰ）求证：A1C?平面ABC1；

（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形； （Ⅲ）若

BF2?，求二面角B?AC1?F的大小. BC3解：（Ⅰ）因为 AB?平面AA1C1C，所以 A1C?AB． [ 1分] 因为 三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC，所以 四边形AA1C1C为菱形， 所以 A1C?AC1． [ 3分]

所以 A1C?平面ABC1． [ 4分] （Ⅱ）因为 A1A//B1B，A1A?平面BB1C1C，所以 A1A//平面BB1C1C． [ 5分] 因为 平面AA1EF平面BB1C1C?EF，所以 A1A//EF． [ 6分]

因为 平面ABC//平面A1B1C1，

平面AA1EF平面ABC?AF，平面AA1EF平面A1B1C1?A1E，

所以 A1E//AF． [ 7分] 所以 四边形AA1EF为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面AA1C1C内，过A作Az?AC．

因为 AB?平面AA1C1C，

如图建立空间直角坐标系A-xyz． [ 9分] 由题意得，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,1,3)，C1(0,3,3)．

????2??44BF2BF?BC?(?,,0)， ，所以 ?因为

333BC324所以 F(,,0)．

33由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为A1C?(0,1,?3)． ???设平面AC1F的法向量为n?(x,y,z)，

?????n?AC1?0,则???n????AF?0,?3y?3z?0,?即?2 4x?y?0.?3 ?3令y?1，则x??2，z??3，所以 n?(?2,1,?3)． [11分]

???所以 |cos?n,A1C?|?|n?A1C||n||A1C|???????2． [13分] 2由图知 二面角B?AC1?F的平面角是锐角，

所以 二面角B?AC1?F的大小为45?． [14分]

3. （海淀）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：

1 6② 三棱锥的四个面全是直角三角形

① 三棱锥的体积为

③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是所有正确的说法是 D （A）① （B）①② （C）②③ （D）①③

俯视图3 21222222主视图左视图

4.（海淀）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，CD?BC，BC?CD?1，AD?2，E为AD中

点.将?ABE沿BE翻折到?A1BE的位置， 使A1E?A1D如图2.

?平面BCDE； （Ⅰ）求证：平面A1ED（Ⅱ）求A1B与平面A1CD所成角的正弦值；

（Ⅲ）设M、N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M?ACD和三棱锥N?ACD（图中未画出）11的体积大小，并说明理由.

AEDA1MEDBNC

图1 图2

（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD中，AD//BC，CD?BC，BC?1，AD?2，

E为AD中点，BE?AD

BC故图2，BE?A1E，BE?DE

……………..1分 ……………..2分

因为A1EIDE?E，A1E，DE?平面A1DE

所以BE?平面A1DE ……………..3分 因为BE?平面BCDE，所以平面A1DE?平面BCDE ……………..4分

（Ⅱ） 解一：取DE中点O，连接OA1，ON.

因为在?A1DE中，A1E?A1D?DE?1，O为DE中点

zA1M?DE 所以AO1

因为平面A1DE?平面BCDE

平面BCDE?DE

xBENCDy 平面A1DEAO?平面A1DE 1所以AO?平面BCDE 1因为在正方形BCDE中，O、N分别为DE、BC的中点， 所以ON?DE 建系如图. 则A1(0,0,11113)，B(1,?,0)，C(1,,0)，D(0,,0)，E(0,?,0).……………..5分

22222

uuur13 A1B?(1,?,?)

22uuuruuur13 A1D?(0,,?)，DC?(1,0,0)，

22

r设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，则 1

ruuur?13??n?A1D?0z?0?y? ?ruuu，即?2，令z?1得，y?3， r2??x?0?n?DC?0?r所以n?(0,3,1)是平面ACD的一个方向量. ……………..7分 1uuurruuurrA1B?n36cos?A1B,n??uuurr???? ……………..9分

42?2|A1B|?|n|

所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为6. ……………..10分 4zA1M（Ⅱ） 解二：在平面A1DE内作EF?ED， 由BE?平面A1DE，建系如图. 则A1(0,,13)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，22EBNDCyE(0,0,0). ……………..5分

x

uuur13 A1B?(1,?,?)

22uuuruuur13 A1D?(0,,?)，DC?(1,0,0)，

22

r设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，则 1

ruuur?13??n?A1D?0z?0?y? ?ruuu，即?2，令z?1得，y?3， r2??x?0?n?DC?0?r所以n?(0,3,1)是平面ACD的一个方向量. ……………..7分 1uuurruuurrA1B?n36cos?A1B,n??uuurr???? ……………..9分

42?2|A1B|?|n|

所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为

6. ……………..10分 4（Ⅲ）解：三棱锥M?ACD和三棱锥N?ACD的体积相等. 11理由如下:

uuur11313方法一：由M(0,,)，N(1,,0)，知MN?(1,,?)，则

24444uuurrMN?n?0

……………..11分

因为MN?平面ACD， 1 ……………..12分

所以MN//平面ACD. ……………..13分 1故点M、N到平面A同底等高，所以体积相11CD的距离相等，有三棱锥M?A1CD和N?ACD等. ……………..14分

方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN.

因为在?A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，所以MP//A1D 因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以NP//CD 因为MPNP?P，MP，NP?平面MNP，A1D，CD?平面ACD 1

……………..11分 ……………..12分 ……………..13分

所以平面MNP//平面ACD 1

因为MN?平面MNP，

所以MN//平面ACD 1故点M、N到平面ACD的距离相等，有三棱锥M?ACD和N?ACD同底等高，所以体积相111等. ……………..14分

A1MEBNPCDBENMA1QDC

法二 法三 方法三：如图，取A1D中点Q，连接MN，MQ，CQ.

因为在?A1DE中，M，Q分别是A1E，A1D的中点，所以MQ//ED且MQ?1ED 2

因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以NC//ED且NC?1ED 2 所以MQ//NC且MQ?NC，故四边形MNCQ是平行四边形，故MN//CQ……………..11分 因为CQ?平面ACD，MN?平面ACD， ……………..12分 11所以MN//平面ACD. ……………..13分 1故点M、N到平面ACD的距离相等，有三棱锥M?ACD和N?ACD同底等高，所以体积相111等. ……………..14分

5.（朝阳） 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 A

A. 4 B.

4 3C.42 D.42 3

△ADE6. （朝阳）如图1，矩形ABCD中，AD?3.点E在AB边上， CE?DE且AE?1. 如图2，

1800时， 沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A?DE?A1的平面角为?，当??0，① 存在某个位置，使CE?DA1；

A1??② 存在某个位置，使DE?AC1；

A③ 任意两个位置，直线DE和直线AC1所成的角都不相等.

EDCB以上三个结论中正确的序号是C

图2 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③

7. （朝阳）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，

?ACB?90，D是线段AC的中点，且A1D? 平面

A1

B1 C1

ABC．

（Ⅰ）求证：平面A11C； 1BC?平面AAC（Ⅱ）求证：B1C//平面A1BD；

（Ⅲ）若A1B?AC1，AC?BC?2，求二面角 A?A1B?C的余弦值. （Ⅰ）证明：因为?ACB?90，所以BC?AC．

根据题意， A1D?平面ABC，BC?平面ABC，所以A1D?BC．

因为A1DA

D

B

C

AC?D，所以BC?平面AAC11C．

又因为BC?平面A11C． ………………4分 1BC，所以平面A1BC?平面AAC（Ⅱ）证明：连接AB1，设AB1A1B?E，连接DE．

A1

B1 E C1

根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点， 因为D是AC的中点， 所以DE//B1C．

A

又因为DE?平面A1BD，

D B

C

B1C?平面A1BD，

所以B1C//平面A1BD． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF//BC，

因为BC?AC，所以DF?AC， 又因为A1D?平面ABC， 所以DF,DC,DA1两两垂直．

以D为原点，分别以DF,DC,DA1为x,y,z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC?平面AAC11C,

A F x D B C y z A1 B1 C1 所以BC?AC1． 又因为A1B?AC1，BCA1B?B,

所以AC1?平面A1， 1BC，所以AC1?AC所以四边形AAC11C为菱形． 由已知AC?BC?2，

则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A10,0,3． 设平面A1AB的一个法向量为n??x,y,z?， 因为AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以?设z?1，则n?

??????n?AA1?0,??n?AB?0,，即???y?3z?0,

??2x?2y?0.?3,?3,1．

?再设平面A1BC的一个法向量为m??x1,y1,z1?，

????y?3z1?0,?m?CA1?0,因为CA1?0,?1,3，CB??2,0,0?，所以?，即?1

???2x1?0. ?m?CB?0,??设z1?1，则m?0,3,1．

故cos?m,n????m?n?3?17??．

m?n77?2由图知，二面角A?A1B?C的平面角为锐角， 所以二面角A?A1B?C的余弦值为7． …………14分 78.（通州）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC?A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交， 点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是 B

MA1B1C1 A．

23 B． 22NABCC．1 D．2 9. （通州）网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______. 12

D中，AA1?平面ABCD,底面ABCD为梯形， AD//BC，10.(通州)在四棱柱ABCD?A1BC111AB?DC?2，AD?AA1?1BC?2， 2点P，Q分别为A1D1，AD的中点. （Ⅰ）求证：CQ//平面PAC1； （Ⅱ）求二面角C1?AP?D的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在点E，使PE与平面PAC1所成角的正弦值是长；若不存在，请说明理由.

D1PC1 A1

B1

D CQA

B

解：（Ⅰ）连接PQ，因为点P，Q分别为A1D1，AD的中点，所以PQ//C1C，PQ?C1C. 所以四边形PQCC1是平行四边形. 所以CQ//C1P.

因为CQ?平面PAC1，C1P?平面PAC1，所以CQ//平面PAC1.……………………4分 （Ⅱ）因为AA1?平面ABCD,AA1//PQ，所以PQ?平面ABCD.……………………5分 所以以Q为坐标原点，分别以直线QA，QP为x轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，则y轴在平面ABCD内．

214，若存在，求BE的21

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