高数教案(4)
更新时间:2023-09-19 12:41:01 阅读量: 小学教育 文档下载
课 题 日 期 教 学 目 的 重 点 难 点 课 堂 类 型 §2.1极限的概念 星 期 科长签字 1.理解无穷大、无穷小的概念, 2.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,会用无穷小量的性质求极限 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用 理论课 教学方法 讲授法 方法与 环节 教 学 内 容 与 过 程 一、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量概念 定义: 极限为0的量称为无穷小量,简称无穷小; 注:1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。 2、数零是唯一可作为无穷小的常数。 3、无穷小指量的变化状态,而不是量的大小。 一个量无论多么小,都不能是无穷小,零唯一例外。 当x→a(或∞)时,如果函数f(x)的极限为0,则称当x→a(或∞)时,f(x)是无穷小量。 若数列{an}的极限为0,则{an}是无穷小量。 例如:limsinx?0,所以,当x→0时,sin x 是无穷小量。 x?0 同样,当x→0时x (?>0),1-cosx,arcsinx 等都是无穷小量。 当x→+∞时,lim?11?0 ,所以{}是无穷小量. n???nn111同样,当x???时,,2,n都是无穷小量。nn2 定理: 极限与无穷小之间的关系: 1
若limf(x)?A,则f(x)?A??(x)。x?x0其中?(x)为无穷小量:lim?(x)?0,逆命题也成立。x?x0 二、无穷小量的性质 定理1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 例如,当x→0时,x+sinx也是无穷小量 定理 2 无穷小量与有界量之积是无穷小量。 例如,当x→0时,xsinx也是无穷小量。 推论1:任一常数与无穷小量之积是无穷小量。 例如,当x→0时,3sinx也是无穷小量。 推论2:有限个无穷小量之积是无穷小量。(注:两个无穷小之商未必是无穷小) 三、无穷大量 当x→x0(或±∞)时,如果函数f(x)的绝对值无限增大,则称当x→x0(或±∞)时,f(x)是无穷大量。记作lim f(x)=∞,或f(x)→∞。 x?x0定义 若limf(x)??(或limf(x)??),则称f(x)为当x?x(或 0x?x0x??)时的无穷大量,简称无穷大。 如limx?o1=?,表示当 x时, 1为无穷大. x关于无穷大量几点说明: 1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念; 2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作 . 3.若数列{xn}当n→+∞时,它项的绝对值无限增大,则{xn}是无穷大量。 或 四、无穷小与无穷大的关系 定理:如果当x→x0(或±∞)时,函数f(x)是无穷大量,那么1就是当x→f(x)x0(或±∞)时的无穷小量,反过来,如果当x→x0(或±∞)时,函数f(x)是 2
非零无穷小量,那么1就是当x→x0(或±∞)时的无穷大量。 即⑴无穷大f(x)量的倒数是无穷小量。⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界,但反之不真。 因此,证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0, 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。 三、课堂练习 P20 习作题 1、2 P31 习题二 1、3 四、小结 理解无穷大、无穷小的概念,掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,会用无穷小量的性质求极限. 五、布置作业 P31 习题二 2、4、
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