数学分析(Ⅱ)试题与参考答案

数学分析（2）期末试题

课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

A ．1(1)n n ∞=-∑

B ． 1n

n ∞= C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n

n n ∞=+∑

2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处 （ ）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于1((0)(0))2

f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散

3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）

A ．

1x B ．ln x x C ． 21x

- D ． x e 5、已知反常积分2

0 (0)1dx k kx +∞>+?收敛于1，则k =（ ） A ． 2

π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+ 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数

1n n n a x ∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数

1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n n S n =+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1y x

=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，

10()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?

?-=??+??

的聚点为 ． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．

65

三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1、 (1)dx

x x +?． 2、2ln x x dx ?．

3、 0 (0)dx a >?．

4、 2 00cos lim sin x

x t dt x →?．

5、dx ?．

四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）

1、讨论函数项级数21sin n nx

n ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性．

2、求幂级数1n

n x n ∞

=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．

3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

1、已知级数1n n a ∞

=∑与1

n n c ∞=∑都收敛，且

, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤= ，

证明：级数1

n n b ∞

=∑也收敛．

2、证明： 22

0 0sin cos n n x dx x dx ππ

=??．

66

试题参考答案与评分标准

课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D

二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ 2 ⒉ 2, =2(1)

n u S n n =+ ⒊ ln 2 ⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍

201, (,)!n n x x n ∞=∈-∞+∞∑

三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1. 解

111 (1)1x x x x

=-++ 1 (1)

dx x x ∴+? （3分） 11()1dx x x

=-+? ln ln 1.x x C =-++ （3分）

2. 解 由分部积分公式得

231ln ln 3

x xdx xdx =?? 3311ln ln 33

x x x d x =-? （3分） 33111ln 33x x x dx x

=-?? 3211ln 33

x x x dx =-? 3311ln 39

x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2

x a t t π

=∈ 由定积分的换元积分公式，得 0?

2220cos a tdt π

=? （3分）

67

68

2

20(1cos 2)2

a t dt π=+? 2201(sin 2)22a t t π

=

+ 2

.4a π= （3分）

4. 解 由洛必达(L ＇Hospital)法则得

200cos lim sin x x tdt x

→?

20cos lim cos x x x

→= （4分） 0lim cos x x →= 1= （2分）

5. 解

= （2分）

20

sin cos x xdx π=-? 4204

(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx ππ

π=-+-?? （2分） 2

40

4(sin cos )(sin cos )

x x x x π

ππ

=+-+ 2.= （2分）

四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1. 解 (, ), x n ?∈-∞∞?+（正整数）

22sin 1nx n n

≤ （3分） 而级数211n n

∞=∑收敛，故由M 判别法知，

21

sin n nx n ∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛． （3分）

2. 解 幂级数1n

n x n ∞=∑的收敛半径1R =

=，

收敛区间为(1,1)-． （2分）

易知1n

n x n ∞

=∑在1x =-处收敛，而在1x =发散，

故1n

n x n

∞

=∑的收敛域为[1,1)-． （2分）

01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑ （2分） 逐项求积分可得

0001, (1,1)1x

x n n dt t dt x t ∞==∈--∑??． 即101ln(1), (1,1).1n n

n n x x x x n n

+∞

∞==--==∈-+∑∑ （2分） 3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下

函数f 显然是按段光滑的，

故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。 （2分）

由于()f x 在(,)ππ-为奇函数，

故 0, 0, 1, 2, n a n ==…，

而 1sin 11 cos cos n b x nxdx x nx nxdx n n π

ππππππππ--==-+-??

1(1)2n n

+-?= （4分） 所以在区间(,)ππ-上，

11

sin ()2(1).n n nx f x x n ∞+===-∑ （2分）

69

五、 证明题（每小题5分，5×2＝10分）

1. 证明 由1n n a ∞=∑与1

n n c ∞

=∑都收敛知，

级数1()n n n c

a ∞=-∑也收敛。 （1分）

又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤= ，

可知， 0, 1,2,3,n n n n b a c a n ≤-≤-=

从而由正项级数的比较判别法知 1()n n n b

a ∞=-∑收敛， （2分）

于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=

知级数

1n n b ∞=∑收敛． （2分）

2. 证明 令2x t π

=-，则2t x π=

-. （1分） 由定积分的换元积分公式，得 0202 sin sin ()2n n xdx t dt πππ

=-??－ （2分） 2200sin ()cos 2n n t dt tdt ππ

π=-=?? 20cos n xdx π

=? （2分）

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）

一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设 82lim =??? ??-+∞→x

x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数)

2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。

3、设)1ln(2

x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10?+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1

0?= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞

→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若

n x 1为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且?-=dt t f x F x

e x )()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。 （B ）())(x f e f e x x +---。

（C ） ())(x f e f e x x --- 。 （D ）())(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3

π=x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3

(,1πf a =是极小值。 （B ）)3(,1πf a =是极大值。

（C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3

(,2π

f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）

1、求 )

1ln(sin 1tan 1lim

30x x x x ++-+→

2、设4lim 221=-++→x

x b ax x x ，求 b a 、。

3、设)(x y y =由参数方程 ???+=+=t

t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dx

x df x )(sin lim 20+→ 。

5、求不定积分 dx x x

x ?3cos sin 。

6、求定积分dx x ?cos 4

。

7、设???≥<=-00

sin )(22x xe x x x f x ，

求 ?-dx x f )2(31 。

四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2π

π∈<

；

2、2sin 120ππ<

五、（本题10分）

设 000)()(=≠??

???-=-x x x e x g x f x ，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。

（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

六、（本题8分） 设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(22

2ξξf a b a f b f '-=-。 (8分)

答案

一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设 82lim =??? ??-+∞→x

x a x a x ， 则 =a ln 2 。 2、设函数)

2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断0 ，第二类间断点 是 2 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy

。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10?+=，则=)(x f

1x - 。

5、xdx arctan 10?=

4π-。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）

1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞

→n n n y x ，则下列断言正确的是（ D ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n

x 1为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ C ）。

（A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ C ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且?-=dt t f x F x

e x )()(，则)(x F '等于（ A ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。 （B ）())(x f e f e x x +---。

（C ） ())(x f e f e x x --- 。 （D ）())(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3

π=x 处取得极值，则（ D ）。

（A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3

(,1π

f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3

(,2π

f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）

1、求 )

1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→

00300lim 21tan sin 1lim lim 2

4x x x x x x x →→→→=-=== 解：（分）（6分）

2、设4lim 221=-++→x

x b ax x x ，求 b a 、。 21

2211lim()010,(1)(22lim lim 242, 3.(621

x x x x ax b a b b a x ax b x a a a b x x x →→→++=?++==-++++==+=?==--- 解：分）分）

3、设)(x y y =由参数方程 ???+=+=t

t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。 ()()2222222223222(3112212(624dy t t t t t dx t

t t d y d t dt dx dt t dx t

++==++-+??+== ??? 解：分）分）

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dx

x df x )(sin lim 20+→ 。 220020(sin lim lim[(sin (4lim[(sin (0)(4x x x df f dx f f +++→→→'=''= 解：分）=分）

5、求不

定积分 dx x

x x ?3cos sin 。 233222sin (cos )1(cos )(2cos cos 211[][tan ](62cos cos 2cos x x xd x dx xd x x x x dx x x C x x x

--===-=-+???

? 解：分）分）

6、求定积分dx x ?cos 4

0。

42220000,2,

0,0;4, 2.22cos 2[sin sin ]2(2sin 2cos 21)t dx tdt x t x t t tdt t t tdt ======∴==-=+-??? （分）（6分）

7、设???≥<=-00sin )(22x xe

x x x f x ， 求 ?-dx x f )2(31 。 2223101021011

111201002,,1,1;3, 1.21cos 2(2)()sin 21111()[sin 2]2222

121[sin 2]4x x x x t dx dt x t x t x f x dx f t dt xdx xe dx dx e d x x x e e

--------====-==-∴-==+=--=--=-+?????? 解：令（分）（4分）（6分） 四、证明下列不等式（本题10分）

1、)2,0(,sin 2ππ∈<

； 2、2sin 120ππ<

?∈?=??=?则函数在0x =处连续，且 22cos sin cos ()(tan )0,(0,)32

x x x x f x x x x x x π-'=

=-<∈ （分） 所以，当(0,)2x π∈时，()f x 单调减少，2sin ()(0)162x f f x f x ππ???<<∴<< ???

（分） 220022sin sin ,(0,).110222x x x x x dx dx x πππππππ∴<<∈?=<<=?? （分） 五、（本题10分）

设 000)()(=≠??

???-=-x x x e x g x f x ，其中)(x g 具有二阶连续导数，且

1)0(,1)0(-='=g g 。 （1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

200000()0()(0)()1(0)lim lim lim ()()(0)1lim lim 222

x

x x x x x x x x g x e f x f g x e x f x x x g x e g x e g x --→→→--→→----'==='''''+--=== 解：（）（3分）

22

2(())(()()()(1)()()()(1)0()(6)

(0)102

x x x

x

x g x e g x e xg x g x x e f x x x xg x g x x e x x f x g x ----''+---++'=='?-++≠??'∴=?''-?=?? ）分 （2）当0x ≠时,()f x '连续.当0x =时,

200()()(1)1lim ()lim [(0)1](0)2

x x x xg x g x x e f x g f x -→→'-++''''==-= 所以, )(x f '在),(+∞-∞上都连续. (10分)

六、（本题8分）

设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得

[])()()()(22

2ξξf a b a f b f '-=-。 证明:设2()g x x =,则)(x f 与()g x 在[]b a ，上满足柯西微分中值定理条件,故至少存在一点(,)a b ξ∈,使得

22()()()()()()()()()2f b f a f f b f a f g b g a g b a ξξξξ

''--=?='-- 所以, 222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=- (8分)

数学分析1 期末考试试卷（B 卷）

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设0111,1n n

x x x +==+， 则 lim n n x →∞= 。 2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x x f x →存在的充要条件是：

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。

5、已知)(x f 的一个原函数是cos x x ，则()xf x dx '=?

。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且

（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim 1x a f x x a

→'=--，则（ ）。 （A ）x a =是)(x f 的极小值。 （B ）x a =是)(x f 的极大值。

（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。 （D ）x a =不是)(x f 的极值点，

(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。

5、下述命题正确的是（ ）

（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续；

（B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0

lim ()()0x x f x g x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <，并设0

lim (),x x f x a -→= 0lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；

（D ）设00

lim (),lim ()x x x x f x a g x b --→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。

三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

1、 11cos 0sin lim x x x x -→?? ???

求

2

、0x x →求

3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p p n a a a a a a →∞+++ 求

4

、设sin (0)sin a x b y a b a b x +??=

>> ?+??其中，求y '。

5

、求不定积分?

6、求不定积分 dx x

x x ?

3cos sin 。

四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）

1、试用εδ-语言证明极限22lim 4x x →=；

2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。

3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时 1101ln(1)x x <

-<+ 。

五、（本题8分）

设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f = ()0()0f x x g x x a x ?≠?=??=?

（1） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；

（2） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。

六、（本题4分）

设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。

答案

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设0111,1n n x x x +==+， 则 lim n n x →∞

=1

2 。

2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0

lim ()x x f x →存在的充要条件是： 对任何含于00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n f x →∞都存在且相等。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy

dx

。

4、当x = 1

ln 2- 时，函数()2x f x x =取得极小值。

5、已知)(x f 的一个原函数是cos x

x ，则()xf x dx '=?cos sin 2x

x C x --+

。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ B ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ C ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且

（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（C ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim 1x a f x x a

→'=--，则（ B ）。 （A ）x a =是)(x f 的极小值。 （B ）x a =是)(x f 的极大值。

（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。 （D ）x a =不是)(x f 的极值点，

(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。

5、下述命题正确的是（ D ）

（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续；

（B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0

lim ()()0x x f x g x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <，并设0

lim (),x x f x a -→= 0lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；

（D ）设00

lim (),lim ()x x x x f x a g x b --→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。

三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

1、解： 011sin 1sin ln()lim ln()1cos 1cos 1cos 00sin lim lim x x x x x x x x x x x e e x →---→→??== ???

（2分） 220001sin cos sin cos sin cos 1lim ln()lim lim 1cos sin 33

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-- （4分） 1

11cos 30sin lim x x x e x --→??∴= ???

（5分） 2

、解：000cos )lim lim lim(sin )1x x x x x x e x e x x

→→→-==+= （5分）

3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p p n a a a a a a →∞+++ 求

解：设{}121max ,,,j p j p

a a a a ≤≤= ，则由迫敛性可知： ()()

1

11112()n n n n n n n n n j j p j j a a a a a pa p a =≤++≤= （4分） ∴(){}112121lim max ,,.n n n n p p n j p a a a a a a →∞≤≤+++= （5分）

4

、设sin (0)sin a x b y a b a b x +??=>> ?+??其中，求y '。

cos (5sin cos y x a b x x

'==+ 解：分） 5

、求不定积分?

(

)

(

)22222

222(1)8,,(2114ln (1)12arctan

(5t t t x dx dt t t t dt t t C +-===--∴==+--+?? 解：令则有分）分）

6、求不定积分 dx x

x x ?3cos sin 。 222332sin (cos )cos 1()(sec sec )cos cos 221(sec tan )(52

x x xd x x dx xd x x xdx x x x x x C --===-=-+???? 解：分）

四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）

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