运筹学课后答案2

运筹学(第2版) 习题答案 运筹学（第2版）习题答案2

第1章 线性规划 P36~40

第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页

1

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习题六

6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。

【解】边[i，j]的长度记为cij，设

?1边[i,j]包含在最小部分树内xij???0否则

数学模型为：

图6－42

minZ?cijxij??xij?5?i,j?x?x13?x23?2,x23?x24?x34?2?12?x34?x36?x46?2,x35?x36?x56?2??x12?x13?x24?x34?3 ?x?x?x?x?334354656??x23?x24?x46?x36?3??x12?x13?x24?x46?x36?4?x?x?x?x?x?4,2335244656??x12?x13?x24?x35?x46?x56?5??xij?1或0,所有边[i,j]

6.2如图6－43所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。

图6－43

运筹学(第2版) 习题答案

【解】弧(i，j)的长度记为cij，设

2

?1弧(i,j)包含在最短路径中xij???0否则数学模型为：

minZ??ci,jijxij?x12?x13?1??x12?x23?x24?x25?0?x?x?x?x?013233435 ???,x24?x34?x45?x46?0?x?x?x?x?0354556?25?x46?x56?1???xij?1或0,所有弧(i,j)6.3如图6－43所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。

【解】 设xij为弧（i,j）的流量，数学模型为

minZ?x12?x13?x12?x13?x?x23?12??x13?x23?x?x34?24?x25?x35???0?xij?

?x46?x56?x24?x25?x34?x35?x45?x46?x45?x56cij,所有弧(i,j)

6.4求图6－41的最小部分树。图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。

图6－44

【解】图6-44（a），该题有4个解，最小树长为22，其中一个解如下图所示。

运筹学(第2版) 习题答案 3

图6-44（b），最小树长为20。最小树如下图所示。

6.5 某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。

表6-20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解】属于最小树问题。用加边法，得到下图所示的方案。

两村庄之间修建公路的费用(万元) 1 2 12.8 3 10.5 9.6 4 8.5 7.7 13.8 5 12.7 13.1 12.6 11.4 6 13.9 11.2 8.6 7.5 8.3 7 14.8 15.7 8.5 9.6 8.9 8.0 8 13.2 12.4 10.5 9.3 8.8 12.7 14.8 9 12.7 13.6 15.8 9.8 8.2 11.7 13.6 9.7 10 8.9 10.5 13.4 14.6 9.1 10.5 12.6 8.9 8.8 运筹学(第2版) 习题答案 4

最低总成本74.3万元。

6.6在图6－45中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图(a)和(b)的结果进行比较。

图6－45

【解】图6－45(a):

A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。

对于图6－45(b)：

运筹学(第2版) 习题答案 5

A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20； 结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。

6.7已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。使用时间在1～5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总费用最小。

【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态，（i，j）为第i年年初购置新设备使用到第j年年初，弧的权为对应的费用（购置费＋维护费），绘制网络图并计算，结果见下图所示。

总费用最小的设备更新方案为：第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。总费用为11.5万元。

6.8图6－46是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。

【解】教师可利用模板求解：data\\chpt6\\ch6.xls

L1 v1 v1 v2 v3 v4 v5 0 8.8 9 5.6 8 v2 8.8 0 10 5 100 v3 9 10 0 3 4.8 v4 5.6 5 3 0 12 v5 8 100 4.8 12 0 v6 6 4 14 100 9 图6－46

运筹学(第2版) 习题答案 6

v6 6 4 14 100 9 v1 0 L2

v2 8.8 0 8 5 13 4 v3 8.6 8 0 3 4.8 14 L3

v4 5.6 5 3 0 7.8 9 v5 8 13 4.8 7.8 0 9 v6 6 4 14 9 9 0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 8.8 8.6 5.6 8 6 v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 8.8 8.6 5.6 8 6 v2 8.8 0 8 5 13 4 v3 8.6 8 0 3 4.8 12 v4 5.6 5 3 0 7.8 9 v5 8 13 4.8 7.8 0 9 v6 6 4 12 9 9 0 最优票价表：

v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6

0 v2 8.8 0 v3 8.6 8 0 v4 5.6 5 3 0 v5 8 13 4.8 7.8 0 v6 6 4 12 9 9 0 v1、v2、?、v6到各点的最优路线图分别为：

运筹学(第2版) 习题答案 7

6.9 设图6－46是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离(km)。现要在6个工厂中选一个建装配车间。

（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。

（2）装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是0.5、0.6、0.8、1.3、1.6和1.7吨，运价为2元/吨公里。应选那个工厂使总运费最小。 【解】(1)利用习题6.8表L3的结果

L?minmax?Lij??12.8

ij v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 选第1个工厂最好。

0 8.8 8.6 5.6 8 6 v2 8.8 0 8 5 13 4 v3 8.6 8 0 3 4.8 12 v4 5.6 5 3 0 7.8 9 v5 8 13 4.8 7.8 0 9 v6 6 4 12 9 9 0 Max 8.8 12.8 12 9 12.8 12 (2)计算单件产品的运价，见下表最后一行。计算单件产品的运费，见下表最后一列。 v1 v2 v3 v4 v5 v6 运价 选第4个工厂最好。

6.10 如图6－47，（1）求v1到v10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。 【解】给出初始流如下

图6－47

v1 0 8.8 8.6 5.6 8 6 1 v2 8.8 0 8 5 13 4 1.2 v3 8.6 8 0 3 4.8 12 1.6 v4 5.6 5 3 0 7.8 9 2.6 v5 8 13 4.8 7.8 0 9 3.2 v6 6 4 12 9 9 0 3.4 单件产品运费 84.88 89.16 82.16 71.96 81.92 82.2 运筹学(第2版) 习题答案 8

第一轮标号：得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示

调整流量。

第二轮标号：得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示

调整流量。

第三轮标号：得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示

调整流量。

第四轮标号：不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示

运筹学(第2版) 习题答案 9

取 V1?{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8},V1?{v7,v9,v10}，最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。

6.11 将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2，中途有2个加压站B1、B2，天然气管线如图6－48所示。输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij, dij)。求(1)流量为22的最小费用流；（2）最小费用最大流。

图6－48

【解】虚拟一个发点和一个收点

T6.11－1

得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。求解过程参看习题部分答案PPT文档。

运筹学(第2版) 习题答案 10

T6.11－13

最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。

6.12如图6－46所示，（1）求解旅行售货员问题；（2）求解中国邮路问题。

图6-46

【解】（1）旅行售货员问题。

距离表C 1 2 3 4 5 1 ∞ 8.8 9 5.6 8 2 8.8 ∞ 10 5 ∞ 3 9 10 ∞ 3 4.8 4 5.6 5 3 ∞ 12 5 8 ∞ 4.8 12 ∞ 9 6 6 4 14 ∞ 9 ∞ ∞ 6 6 4 14 在C中行列分别减除对应行列中的最小数，得到距离表C1。 距离表C1 1 2 1 ∞ 2.8 2 3.2 ∞ 3 3.4 6 4 0 1 5 0.6 ∞ 6 0.4 0

运筹学(第2版) 习题答案 31

PN??N??N?11??N?1N?1?0.07N?1??N????0.07????(1?0.93?)?0.070.07

NN0.071?0.93?ln0.751?0.93?0.75?0.2314N?ln0.2314?5.087

则应设立4个座位供顾客排队。

9.4某服务部平均每小时有4个人到达，平均服务时间为6分钟。到达服从Poisson流，服务时间为负指数分布。由于场地受限制，服务部最多不能超过3人，求：

（1）服务部没有人到达的概率； （2）服务部的平均人数； （3）等待服务的平均人数；

（4）顾客在服务部平均花费的时间； （5）顾客平均排队的时间。

【解】依题意，这是[M/M/1]:[N/?/FCFS]排队系统。其中：

N=3，?=4，?=10，???/?=0.4

（1）P0?1?ρ1-ρN?1=（1-0.4）/[1-（0.4）4]=0.6158

（2）L?0.5616（人） （3）Lq?0.1616（人） （4）W?0.1404（小时） （5）Wq?0.0404（小时）

9.5某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求该排队系统的数量指标，P0，Lq，L，Wq，

W和P5。

【解】由题意知，每台机器每小时出故障的平均次数服从泊松分布，故该排队系统为

[M/M/1]:[?/m/FCFS]系统，其中：

?=1/15，m=5，?=1/12，???/?=0.8

?1?55!k?P0??????0.0073

?k?0(5?k)!?1/15?1/12Lq?5?(1?0.0073)?2.766（台）

1/15L?Lq?(1?P0)?3.759（台） Wq?Lq(5?L)??33.43（分钟）

W?Wq?m!1??45.43（分钟）

5???5!5??P5?P?(0.8)(0.0073)?0.287 ??0(m?5)!???0!

9.6证明：一个[M/M/2]:[?/?/FCFS]的排队系统要比两个[M/M/1]:[?/?/FCFS]的排

运筹学(第2版) 习题答案

队系统优越。试从队长L这个指标证明。

32

【证】设[M/M/1]:[?/?/FCFS]的服务强度为?，则[M/M/2]:[?/?/FCFS]服务强度为2?。则

两个单服务台的系统 L1?两个服务台的系统 P0??1???2?1??1121

??(2?)2?1??21??1??

1?2??队长 L2?2???2?(2?)??2?(1??)22?1??1???2

由于0???1，?L1?2?1???L2?2?1??

即系统1的队长大于系统2 的队长，故单队2服务台的系统优于2队单服务对的系统。

9.7某博物馆有4个大小一致的展厅。来到该博物馆参观的观众服从泊松分布，平均96人/小时。观众大致平均分散于各展厅，且在各展厅停留的时间服从1/??15分钟的负指数分布，在参观完4个展厅后离去。问该博物馆的每个展厅应按多大容量设计，使在任何时间内观众超员的概率小于5%。 【解】此问题中服务员数量s??，属于M/M/?系统，每个展厅内：

??964?24人/小时，??6015?4人/小时，??i???6

Pi???i!e?? (i?0,1,2,?)

要确定展厅的容量n，使观众超过n的概率小于0.05，即有

?i?n6ii!e?6?0.05

由泊松累积分布表查得n?10。

故每个展厅应至少容纳10人，使在任何时间内观众超员的概率小于5%。

9.8两个技术程度相同的工人共同照管5台自动机床，每台机床平均每小时需照管一次，每次需一个工人照管的平均时间为15分钟。每次照管时间及每相继两次照管间隔都相互独立且为负指数分布。试求每人平均空闲时间，系统四项主要指标和机床利用率。

【解】由题意可知，该系统为[M/M/s]:[?/m/FCFS]系统，且：

s?2，m?5，??1台/小时，??60/15?4台/小时， s?/m??/??1/4，

?/m??/?s?1/8。

工人空闲率：

P0?1?5?0.25?5?4/2?0.25?0.316?2?5!?0.125n3?5!?2?0.1254?5!?2?0.1255??1

???(mPn????(m??计算得：

???????P0?0?n?2??n)!n!???m!m!n)!s!sn?s????????P0?3?n?5???n

Ls?P1?2P2?3P3?4P4?5P5?1.092台

Lq?P3?2P4?3P5?0.116台

运筹学(第2版) 习题答案 33

1工人平均空闲时间：1/2??2?n?Pn?0n?1/2?2P0?P1??0.5119

?c?1??5?1.092??3.908

Ws?Ls/?c?Wq?Lq/?c?1.0923.9080.1163.908?0.279（小时）=16.8（分钟） ?0.029（小时）=1.8（分钟）

机床利用率：1?Ls/m?1?1.092/5?78.016%

9.9某储蓄所有一个服务窗口，顾客按泊松分布平均每小时到达10人，为任一顾客办理存款、取款等业务的时间T服从N～(0.05,0.012)的正态分布。试求储蓄所空闲的概率及其主要工作指标。 【解】这是一个[M/G/1]:[?/?/FCFS]排队系统。由题意知：

??10人/小时，??20人/小时，???/??0.5，E(T)?0.05，Var(T)?0.01 储蓄所空闲的概率及其主要工作指标为：

2P0?1???0.5

Lq?0.5?10?0.012(1?0.5)L0.7610222?0.26（人）

L?Lq???0.76（人）

W?Wq??Lq?h?5（分钟）

9.10某检测站有一台自动检测机器性能的仪器，检测每台机器都需6分钟。送检机器按泊松分布到达，平均每小时4台。试求该系统的主要工作指标。

解：这是一个[M/D/1]:[?/?/FCFS]系统，且：

??0.2610h?2（分钟）

??4台/小时，1/??6分钟/台，???/??0.4Var(T)?0

各主要工作指标为：

Lq?0.422(1?0.4)815?215（台）

L?Lq???（台）

301W?Wq??8（分钟）

Wq?Lq??1h?2（分钟）

?9.11一个电话间的顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，平均通话时间为8分钟，方差为8分钟，直观上估计通话时间服从爱尔朗分布，管理人员想知道平均列队长度和顾客平均等待时间是多少。 解：该系统为[M/Ek/1]:[?/?/FCFS]排队系统，其中：

k?[E(T)]22Var(T)?8216?4，??6??2（人）

860?0.8

Lq?0.8?(4?1)2?4(1?0.8)运筹学(第2版) 习题答案 34

Wq?Lq

9.12对某服务台进行实测，得到如下数据： 系统中的顾客数（n） 记录到的次数(mn) ??26h?20（分钟）

0 1 2 3 161 97 53 34 平均服务时间为10分钟，服务一个顾客的收益为2元，服务机构运行单位时间成本为1元，问服务率为多少时可使单位时间平均总收益最大。

【解】该系统为[M/M/1]:[3/?/FCFS]系统，首先通过实测数据估计平均到达率?： 因为

PnPn?1mnmn?1??

可以用下式来估计?

^??13?3?13(0.6?0.55?0.64)?0.6

n?1由??6/小时，可得?的估计值为：

^^ ?????0.6?6?3.6人/小时

为求最优服务率，根据公式9.6.5，取：

N?3，

可得 ?故 ?*csG?12?0.5

?1.21

^*???*?3.61.2134?3

当??6人/小时时，总收益为：

z?2?3.6?1?0.61?0.6?1?6?0.485（元/小时）

当??3人/小时时，总收益为：

z?2?3.6?1?1.211?1.2134?1?6?1.858（元/小时）

单位时间内平均收益可增加1.373元。

9.13某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从Poisson流，平均到达率为

??48（次/天）；工厂每次来检验由于停工造成损失6元；服务（检验）时间服务负指数分布，平均服务率为??25（次/天）；每设置一个检验员的服务成本为每天4元，其他条件均适合

[M/M/s]:[?/?/FCFS]系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最少。

【解】已知cs?4，cw?6，??48，??25，???s?11.92P0????n?0n!n???1.92，设检验员数为s，则：

???(s?1)!(s?1.92)?1.92s?1

L?Lq???P01.92s?12(s?1)!(s?1.92)?1.92

*将s?1,2,3,4,5依次代入，得到下表。由于cs/cw?0.67落在区间(0.583,21.845)之间，故s当设3 个检验员时可使总费用z最小，最小值为：

?3，即

运筹学(第2版) 习题答案 35

*z(s)?z(3)?27.87（元）

检验员数 s 1 2 3 4 5

平均顾客数 L(s) ∞ 24.49 2.645 2.063 1.952 L(s)-L(s+1)～ L(s-1)-L(s) 21.845～∞ 0.582～21.845 0.111～0.582 总费用（元） z(s) ∞ 154.94 27.87 28.38 31.71 习题十

10.1某企业每月甲零件的生产量为800件，该零件月需求量为500件，每次准备成本50元，每件月存储费为10元，缺货费8元，求最优生产批量及生产周期。 【解】模型1。D=500，P=800，H＝10，A＝50，B＝8

Q*?2ADHH?BBPP?DQ*＝2?50?500?(10?8)?80010?8?(800?500)?173.21

t*?D?173.21500?0.346(月)

最优订货批量约为173件，约11天订货一次。

10.2某产品月需要量为600件，若要订货，可以以每天50件的速率供应。存储费为5元/（月·件），订货手续费为100元，求最优订货批量及订货周期。

【解】模型2。D=600，P=30×50＝1500，H＝5，A＝100

Q*?2ADHt*?PP?DQ*D??2005002?100?600?15005?(1500?600)?200(件)

?0.333(月)=10(天)

最优订货批量约为200件，约10天订货一次。

10.3某公司预计年销售计算机2000台，每次订货费为500元，存储费为32元/（年·台），缺货费为100元/年·台。

试求：（1）提前期为零时的最优订货批量及最大缺货量；（2）提前期为10天时的订货点及最大存储量。

【解】模型3。D=2000，A=500，H=32，B=100, L=0.0274(年)

Q?2ADHH?BB?2?500?20003232?100100?287(台)

S?2ADB2ADHHH?BBH＋B＝2?500?20001002?500?2000323232?10010032?100?69(台)

Q1???218(台)

R＝LD－S＝0.0274×2000－69＝55－69＝－14（件）

(1)最优订货批量为287台，最大缺货量为69台；(2)再订货点为－14台，最大存储量为218台。

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