2009年高考理科数学试题及答案-陕西卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷) 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 21．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 答案：A

解析：不等式x?x?0的解集是?0?x?1?，而函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为

2，故选择A ??1?x?1?，所以M?N的交集是[0，1）

2.已知z是纯虚数,

z?2是实数,那么z等于 1-i（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案：D

解析：代入法最简单

3.函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为

121x?2(x?0) (B) f?1(x)?x2?2(x?2) 221212?1?1（C）f(x)?x?4(x?0) (D) f(x)?x?4(x?2) 22（A）f?1(x)?答案：B

解析1：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f?1(x):y?4,x?2.逐一验证，知B正确。 12?1解析2：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f(x)?x?2,x?22

4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学x?y?4y?0所截得的弦长为 2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 22

（A）3 （B）2 （C）6 （D）23 答案：D

2解析：x2?y2?4y?0?x2?（y?2）?4，EJL AN?A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,?ON=3?弦长23

1的值为 2cos??sin2?1052（A） （B） （C） (D) ?2 3335.若3sin??cos??0,则答案：A

AOBKF解析：3sin??cos??0?cos??0?tan???222131cos??sin?1?tan?10???cos2??sin2?cos2??2sin?cos?1?2tan?3

6.若(1?2x)2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R),则

aa1a2?2???2009的值为 2222009（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2 答案：C

2009?r解析：ar?(?1)rC2009?12009?r?2r则a1,a2Kar都能表示出来，则2009?r于(?1)rC2009，再利用倒序相加法求得。

aa1a2?2???2009等2222009

7.“m?n?0”是“方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C

解析：m?n?0说明b?a?0

22?????????8.在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则科网????????????PA?(PB?PC)等于 2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

（A）?4444 （B）? （C） (D) 9339答案：A

?????????解析：PA?2PM?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP, ?????????????????????2??????22????4????4PA?(PB?PC)?PA?PH?(?AM)?AM???AM??3399

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

4C32A4?72

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

2143C3C2[A4?A3]?108

共有，180个数

10．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A)

2223 (B) (C) (D)

3633答案：B

解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体

V?2??[?2?2]??2?高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，

1312122 32009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

?x?y?1?11．若x，y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小

?2x?y?2y?B1I4G1I1F1值，则a的取值范围是

34) (A) （?1，2 ） (B) （?4，2 ） (C) (?4,0] (D) (?2,2答案：B

-2-1101234G解析：根据图像判断，目标函数需要和x?y?1，2x?y?2平行， 由图像知函数a的取值范围是（?4，2 ）

D1RSH1C1

12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意

的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0. 则当n?N时,有

*(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B) f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

(C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D) f(n?1)?f(n?1)?f(?n) 答案：C

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修?选修Ⅱ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则limSn? . n??n22009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

答案：1

?a6?12?a1?5d?12?a1?2SSnn?1n?1解析：?????Sn?n(n?1)?n??lim?lim?1?22n??n??s?12a?d?12nnnn?d?2?1?3

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8

A 15．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO?2，A、B 1是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为答案：

O O1 B 2?，则?AO1B= . 3? 2n?116．设曲线y?x（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，(n?N*)在点

则a1?a2???a99的值为 . 答案：-2

解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点，y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)令y=0得切点的横坐标：xn?nn?11298991a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg??...???lg??22399100100

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????2?2?,?2). 交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(32(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[17、解（1）由最低点为M(）的图象与x轴的

,]，求f(x)的值域.

122??2?,?2)得A=2. 32009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

111(??)?1,??[,2], 2?3189由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,

33418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值

33.8∴△AOB面积的取值范围是[2,].

3记S(?)?解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

y?kx?mm2m,), 由{ 得A点的坐标为(y?2x2?k2?k 由{

y?kx?m?m2m,). 得B点的坐标为(y??2x2?k2?k????????m1?2m1?(?),(?)), 由AP??PB得P点的坐标为(1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?x?1得?. 将P点坐标代入244?k?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

S?AOB?S?AOQ?S?BOQ?111|OQ|?|XA|?|OQ|?|x8|?m?(xA?xB) 2221mm14m211?)???(??)?1. =m(222?k2?k24?k2?以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤() 22题 证（1）由x1?1265n?1。 112513及xn+1?得x2??x4?，x4? 21?xn38212009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?

1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111 ??1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x1555

12n-1?（）65?2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

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