最新-“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 精

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

??x?y?12,1．方程组?的解的个数为（

??x?y?6 ）．

（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4

答：（A）． 解：若x??x?y?12,≥0，则?于是y?y??6x?y?6,?????x?y?12, ?x?y?6,???9，显然不可能．

若x?0，则

于是

y?y?18，解得y，进而求得x??3．

所以，原方程组的解为?故选（A）．

?x??3,?y?9,只有1个解．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20

答：（B）． 解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B）．

3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过

△ABC的（ ）．

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）．

解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以

?BAC，?ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外

DE接圆的半径相等，且

?BAC??ABE为两圆的公共弦，所以

??BAC??ABE?2?BAC?2?BAC．于是，?BEC．

若△ABC的外心为O1，则?BOC1一定过△ABC的外心．

故选（B）．

，所以，⊙O（第3题答案图） 4．已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0a2，bxb22?cx?a?0，cx22?ax?b?0

恰有一个公共实数根，则

bc?ca?cab的值为（ ）．

（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3

答：（D）． 解：设x0是它们的一个公共实数根，则

ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0222．

把上面三个式子相加，并整理得

(a?b?c)(x0?x0?1)?02．

?0因为x02于是

?x0?1?(x0?12)?234?0，所以a?b?c．

a2bc?b2ca?c2ab?a?b?cabc333?a?b?(a?b)abc333

??3ab(a?b)abc?3．

故选（D）．

5．方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解（x，y）的个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 答：（A）．

解：原方程可化为

x(x?1)(x?2)?（3x?x）?y(y?1)(y?1)?22，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC中，?ACB?90?，CA＝4．点

P是半圆弧AC

的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而

S?BPO?12PO?CO?12?2?2?2．

（第6题答案图） 因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图, 点A，C都在函数y?3x3(x?0)的图象上，点

B，D都在x轴上，

且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．

答：（26，0）．

解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝所以，点A，C的坐标为

（第7题答案图） 3a，CF＝3b，

（a，3a），（2a＋b，3a23b），

??所以 ????33,3b(2a?b)?33,解得

??a????b?3,6?3,

因此，点D的坐标为（2

6，0）．

8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数y?x??a?3?x?32的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 ．

答：?1≤a??12，或者a?3?23．

解：分两种情况： （Ⅰ）因为二次函数y?x??a?3?x?32的图象与线段AB只有一个交点，且

点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

?1得?1?a??122?(a?3)?1?3?2??2?(a?3)?2?3?0?，

．

，得a，得a??1，此时x1?1，x2?3??12由12由22?(a?3)?1?3?0，符合题意；

32?(a?3)?2?3?0，此时x1?2，x2?，不符合题意．

3（Ⅱ）令x2当a?3?2??a?3?x?3?0，由判别式??0，得a?3?23．

?x2?3时，x1?x2??3，不合题意；当a12?3?23时，x1，符合题意．

综上所述，a的取值范围是?1≤a9．如图，?A??B??C 答：6．

解：如图，设AF与BG相交于点Q，则

?AQG??A??D??G??，或者a?3?23．

??D??E??F??G?n?90?，则n＝ ．

，

于是

?A??B??C??D??E??F??G??B??C??E??F??AQG??B??C??E??F??BQF

（第9题答案图） ?540??6?90?．

所以，n＝6．

10．已知对于任意正整数n，都有

a1?a2??an?n3，

则

1a2?1?1a3?1??1a100?1? ．

答：

33100．

解：当n≥2时，有

a1?a2???an?1?an?na1?a2??an?1?(n?1)233，

，

两式相减，得 所以

1an?11a2?1an?3n?3n?1，

?13n(n?1)1a3?1?13n?11a100(1?1n),

n?2,3,4,?

因此

????1

11100)

??1313(1?(1?12)?1111(?)?32333100?1399(?100)?．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y上的一个动点．

（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y（2）设直线PM与抛物线y证：?PNM??QNM??1的位置关系；

?14x2?14x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求

．

14x0)2解：（1）设点P的坐标为(x0,PM＝

又因为点P到直线yx0?(2，则

(14x0?1)2214x0?1)22??142x0?1;

2??1的距离为

14x0?(?1)?214x0?1，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切．

…………5分

（2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂

足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．

（第11A题答案图）

因为PH，MN，QR都垂直于直线y 所以

QMRNQRRN??1，所以，PH∥MN∥QR，于是

??MPNHPHHN， ，

因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM．

12 …………15分 12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x1,?x1?x2?ab,? ?1xx?(a?b),?122?x2(x1≤x2)，则有

所以 xx?x1?x2?1212a?12b?ab，

. …………5分

?1≥0,x2?1≥0，

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5因为a,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，x12a?1≥1,2b?1≥1，所以 ??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5, 或 ?（?x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1.

（1）当??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5时，由于a,b都是正整数，且a≤b，可得 a＝1，b＝3，

此时，一元二次方程为x2（2）当??3x?2?0，它的两个根为x1?1，x2?2．

?(x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1时，可得 a＝1，b＝1，

此时，一元二次方程为x2?x?1?0，它无整数解.

综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x

1?1，x2?2． ……………15分

因为PH，MN，QR都垂直于直线y 所以

QMRNQRRN??1，所以，PH∥MN∥QR，于是

??MPNHPHHN， ，

因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM．

12 …………15分 12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x1,?x1?x2?ab,? ?1xx?(a?b),?122?x2(x1≤x2)，则有

所以 xx?x1?x2?1212a?12b?ab，

. …………5分

?1≥0,x2?1≥0，

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5因为a,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，x12a?1≥1,2b?1≥1，所以 ??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5, 或 ?（?x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1.

（1）当??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5时，由于a,b都是正整数，且a≤b，可得 a＝1，b＝3，

此时，一元二次方程为x2（2）当??3x?2?0，它的两个根为x1?1，x2?2．

?(x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1时，可得 a＝1，b＝1，

此时，一元二次方程为x2?x?1?0，它无整数解.

综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x

1?1，x2?2． ……………15分

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