初中奥数系列：9第09讲 组合问题第03讲

华校导引五年级上学期 第09讲 组合问题第03讲

复杂抽屉原则

【内容概述】

运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题.这里不仅 “抽屉”与 “苹果”需要恰当地设计与选取,而且有时还应构造出达到最佳状态的例子. 【典型问题】

1. 从1,2,3,?,1988,1989这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每个数的差不等于4?

2. 从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数,使得其中任意的两个数都不连续且差不等于4?

3. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中最多能选出几个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍? 4. 从1,3,5,7,?,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数?

5. 证明:任给12个不同的两位数,其中一定存在着这样的两个数,它们的差是个位与十位数字相同的两位数. 6. 从1,2,3,?,49,50这50个数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个

数?

7. 从1,2,3,?,99,100这100个数中任意选出51个数.

证明: (1)在这51个数中,一定有两个数互质;(2)在这51个数中,一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中,一定存在9个数,它们的最大公约数大于1.

8. 求证:可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数.

9. 有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任

何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100.那么你最多能挑选出多少个孩子? 10. 在边长为1的正方形内随意放进9个点,证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于

1. 811. 某班有16名学生,每个月教师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某

个月分是分在不同的小组里?

12. 上体育课时,21名男、女学生排成3行7列的队形做操.老师是否总能从队形中划出一个长方形,使得站在这

个长方形4个角上的学生或者都是男生,或者都是女生?如果能,请说明理由:如果不能,请举出实例.

13. 8个学生解8道题目.(1)若每道题至少被5人解出,请说明可以找到两个学生,每道题至少被这两个学生中的

一个解出.(2)如果每道题只有4个学生解出,那么(1)的结论一般不成立.试构造一个例子说明这点.

14. 时钟的表盘上按标准的方式标着1,2,3,?,11,12这12个数,在其上任意做n个120度的扇形,每一个都恰好

覆盖4个数,每两个覆盖的数不完全相同.如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数,求n的最小值.

15. 试卷上共有4道选择题,每题有3个可供选择的答案.一群学生参加考试,结果是对于其中任何3人,都有一个

题目的答案互不相同.问参加考试的学生最多有多少人?

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